線形代数学2 No.9 2005.12.21
2.3 核と像（解答） 担当：市原
問題 14 f(
x y z
) =
( x+y+z 2x−y+z
)
できまる線形写像をfとする.
(1)f の核Ker(f)をベクトルの集合として表しなさい.
定義より, Ker(f) =
x y z
∈R3
¯¯¯¯
¯¯¯¯ f(
x y z
) =0
従って, Ker(f) =
x y z
∈R3
¯¯¯¯
¯¯¯¯ x+y+z= 0, 2x−y+z= 0
(2) Ker(f)の基底を求め,次元を求めなさい.
(1)より, Ker(f)の任意のベクトルは,
x
1 2x
−32x
=x
1
1 2
−32
と表されるので,
1
1 2
−32
がKer(f)の基底. よって, dim(Ker(f)) = 1
(3)f の表現行列を求めなさい.
f(
x y z
) =
( x+y+z 2x−y+z
)
=
(1 1 1 2 −1 1
)
x y z
より,fの表現行列は
(1 1 1 2 −1 1
)
(4) Im(f)の次元を求めなさい.
掃き出し法により,
(1 1 1 2 −1 1
)
°1 ×(−2)+ 2°
−−−−−−−−−−−→
(1 1 1 0 −3 −1
)
よって, dim(Im(f)) = rank(
(
1 1 1
2 −1 1 )
) = 2
(5)fについて次元定理が成り立つ事を確かめなさい.
(2)より, dim(Ker(f)) = 1. (4)より, dim(Im(f)) = 2.
dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = 1 + 2 = 3. よって次元定理は成立.
