代数学２ No.3 2006.10. 5
1.3 行列の階数と連立方程式 担当：市原
¶ 階段行列 ³
1 ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ : ∗ · · · ∗ 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗
· · ·
0 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗
0 0 0 0 0
· · ·
0 0 0 0 0
という形の行列,つまり, 左下の方に0が階段状に存在し,各段の左端の列は段のすぐ上が1,残り はすべて零となっている行列,を階段行列と呼ぶ.
注意 係数行列が階段行列になっている連立方程式は簡単に解くことができる.
µ ´
行列の階数(ランク(rank))
¶ ³
行列Aから基本変形を繰り返して得られる階段行列をSとする.
このときSの階段の数(=0でない成分を含む行の数)を行列Aの階数(ランク(rank))という.
µ ´
定理 3 (行列の階数)
行列Aからどんな順番で基本変形を繰り返しても,得られる階段行列の階段の数はかわらない.
例題4 行列
1 2 3 4 7 8 9 0 5 4 3 2
の階数を求めなさい.
定理 4 (連立方程式の解の個数と行列の階数)
n元1次連立方程式の係数行列をA， 拡大係数行列をBとする．
解がただ１組存在する ⇐⇒ rankA= rankB=n 解が無数に存在する ⇐⇒ rankA= rankB < n
解が存在しない ⇐⇒ rankA <rankB
例題5 次の連立一次方程式の解の個数を，定理を利用して調べなさい.
(1) {
2x−y = 3 4x−2y = 7 (2)
{
2x−y = 3 4x−2y = 6
4
代数学２ No.3 2006.10. 5
1.3 行列の階数と連立方程式 担当：市原
問題 4 次の行列の階数を求めよ.
(1)
1 −1 3 1 1
−3 4 −10 −2 −4 2 5 −3 11 −7
(2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 3 4 5 6 3
問題 5 連立方程式
5x+ 2y+ 6z= 1 6x+ 8y+ 10z=−3 8x+ 4y+ 10z= 1
の係数行列をAとし,拡大係数行列をBとする.
(1)AとBの階数を求めなさい.
(2)定理4を使って,「解なし」「解は唯１組」「解は無限個」のどれか答えなさい.
