線形代数学
2 No.7 2004.11.292. 線形写像 2.1 線形写像と表現行列（解答） 担当：市原
問題12 f( Ã 4
−1
! ) =
à 3
5
! , f(
à −7
2
! ) =
à −1
3
!
できまる線形写像をf とし, g(
à x1
x2
! ) = Ã −x1+x2
x1+ 2x2
!
できまる写像をgとする.
(1)gが線形写像であることを示しなさい.
R23 Ã x1
y1
! ,
à x2
y2
!
に対して,
g(
à x1
y1
! +
à x2
y2
! ) =g(
à x1+x2
y1+y2
! ) =
à −(x1+x2) + (y1+y2)
(x1+x2) + 2(y1+y2)
!
=
à −x1−x2+y1+y2
x1+x2+ 2y1+ 2y2
!
g(
à x1
y1
! ) +g(
à x2
y2
! ) =
à −x1+y1
x1+ 2y1
! +
à −x2+y2
x2+ 2y2
!
=
à −x1−x2+y1+y2
x1+x2+ 2y1+ 2y2
!
よって, g(
à x1
y1
! +
à x2
y2
! ) =g(
à x1
y1
! ) +g(
à x2
y2
! )
また,R23 Ã x
y
!
と実数kに対して,
g(k à x
y
! ) =g(
à kx
ky
! ) =
à −kx+ky
kx+ 2ky
! , kg(
à x
y
! ) =k
à −x+y
x+ 2y
!
=
à k(−x+y)
k(x+ 2y)
!
=
à −kx+ky
kx+ 2ky
!
よって, g(k à x
y
!
=kg(
à x
y
! ).
以上より,gは線形写像. (2)f とgの表現行列を求めなさい.
f は,R2からR2への写像なので,fの表現行列は Ãa b
c d
!
とおける.
仮定と表現行列の定義より,
f(
à 4
−1
! ) =
Ãa b
c d
! Ã 4
−1
!
= Ã 3
5
!
f( Ã −7
2
! ) =
Ãa b
c d
! Ã −7
2
!
= Ã −1
3
!
2つの式をまとめると, Ãa b
c d
! Ã 4 −7
−1 2
!
=
Ã3 −1
5 3
!
à 4 −7
−1 2
!−1
= Ã2 7
1 4
! より, Ãa b
c d
!
=
Ã3 −1
5 3
! Ã 4 −7
−1 2
!−1
=
Ã3 −1
5 3
! Ã2 7
1 4
!
=
Ã5 17
13 47
!
よって, fの表現行列は
Ã5 17
13 47
! .
g(
à x1
x2
! ) =
à −x1+x2
x1+ 2x2
!
=
Ã−1 1
1 2
! Ã x1
x2
!
より,gの表現行列は
Ã−1 1
1 2
!
