2 積分 2.1 定積分（解答） 担当：市原

数学 2 ・数学演習 2 No.7 2004.11.25

2 ^積分 2.1 ^{定積分（解答） 担当：市原}

問題 20 区間 [−2, 2] で積分不可能な関数の例をあげなさい . y = 1

x , y = 1

x − 1 , y = tan x など

問題 21 次の定積分が符号付き面積として表す領域を図示し , それから定積分の値を 求めなさい .

(1) Z

₈

−12

µ

− 1 2 x − 1

¶ dx

図より , 求める面積は 1

2 × 10 × 5 + (−1) × 1

2 × 10 × 5 = 0 ^{-10 -5 5}

-4 -2 2 4

-10 -5 5

-4 -2 2 4

(2) Z

₂₅

16

(25 − x) dx

図より , 求める面積は 1

2 × 9 × 9 = 81 2

18 20 22 24

2 4 6 8

18 20 22 24

2 4 6 8

(3) Z

₃

−3

√ 9 − x

²

dx

図より , 求める面積は 1

2 × 3

²

× π = 9 2 π

-3 -2 -1 1 2 3

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3 -2 -1 1 2 3

0.5 1 1.5 2 2.5 3

問題

22

次の定積分を区分求積法で求めなさい

. (1)

Z

₅

0

(x − 1) dx

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

µ 5 n ×

µ 5

n × i − 1

¶¶

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

õ 5 n

¶

₂

× i − 5 n

!

= lim

n→∞

25 n

²

Ã

_n−1

X

i=0

i

!

− lim

n→∞

5 n

Ã

_n−1

X

i=0

1

!

= lim

n→∞

25

n

²

× n(n − 1) 2 − lim

n→∞

5

n × (n − 1)

= lim

n→∞

µ 25

2 × n(n − 1) n

²

¶

− lim

n→∞

µ

5 × n − 1 n

¶

= lim

n→∞

µ 25

2 × 1 −

_n¹

1

¶

− lim

n→∞

µ

5 × 1 −

_n¹

1

¶

= 25

2 − 5 = 15 2

(2) Z

₂

0

(x

²

− 2x + 3) dx

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

à 2 n ×

õ 2 n × i

¶

₂

− 2 × 2

n × i + 3

!!

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

õ 2 n

¶

₃

× i

²

!

− lim

n→∞

n−1

X

i=0

à 2 ×

µ 2 n

¶

₂

× i

! + lim

n→∞

n−1

X

i=0

µ 3 × 2

n

¶

= lim

n→∞

õ 2 n

¶

₃

·

n−1

X

i=0

i

²

!

− lim

n→∞

à 2 ·

µ 2 n

¶

₂

·

n−1

X

i=0

i

! + lim

n→∞

à 3 · 2

n ·

n−1

X

i=0

1

!

= lim

n→∞

µ 2 n

¶

₃

× 1

6 (n − 1)n(2n − 1) − lim

n→∞

2 µ 2

n

¶

₂

× 1

2 n(n − 1) + lim

n→∞

3 × 2

n × (n − 1)

= lim

n→∞

8(2n

³

− 3n

²

+ n) 6n

³

− lim

n→∞

8(n

²

− n) 2n

²

+ lim

n→∞

6(n − 1) n

= 4 3 lim

n→∞

2 −

³_n

+

_n¹2

1 − 4 lim

n→∞

1 −

_n¹

1 + 6 lim

n→∞

1 −

_n¹

1 = 8

3 − 4 + 6 = 14 3 (3)

Z

₂

0

4x

³

dx

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

à 2 n ×

à 4 ×

µ 2 n × i

¶

₃

!!

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

à 2 n × 4 ×

µ 2 n

¶

₃

× i

³

!

= lim

n→∞

à 2 n × 4 ×

µ 2 n

¶

₃

× Ã

_n−1

X

i=0

i

³

!!

= lim

n→∞

à 64 n

⁴

×

µ 1

2 n(n − 1)

¶

₂

!

= lim

n→∞

64n

²

(n − 1)

²

4n

⁴

= 16 lim

n→∞

n

⁴

− 2n

³

+ n

²

n

⁴

= 16 lim

n→∞

1 −

_n²

+

_n¹2

1 = 16

(4) Z

₁

0

e

^x

dx

= lim

n→∞

n−1

X

i=0

µ 1 n × e

^1n·i

¶

= lim

n→∞

1 n

Ã

_n−1

X

i=0

e

^n1·i

!

= lim

n→∞

1 n

Ã

_n−1

X

i=0

e

^n1·0

+ e

^1n·1

+ e

^n1·2

+ · · · + e

^1n·(n−1)

!

= lim

n→∞

1

n × 1(1 − (e

ⁿ¹

)

ⁿ

)

1 − e

ⁿ¹

(

等比数列の和の公式より

)

= lim

n→∞

1 − e

n(1 − e

ⁿ¹

) = lim

n→∞

1 − e

−1 = e − 1 ( lim

n→∞

n(1 − e

ⁿ¹

) = −1

より

)