微分積分学１ No.12 2005. 7.13
4.3 2 変数関数の極値（解答） 担当：市原
問題22 次の2変数関数の第2次偏導関数を求めなさい.
(1)z=x3−3xy
∂z
∂x= 3x2−3y, ∂z
∂y=−3xより, ∂2z
∂x2 = 6x, ∂2z
∂x∂y =−3, ∂2z
∂y2 = 0 (2)z= sin(2x−y2)
∂z
∂x= 2 cos(2x−y2), ∂z
∂y=−2ycos(2x−y2)より,
∂2z
∂x2 =−4 sin(2x−y2), ∂2z
∂x∂y = 4ysin(2x−y2), ∂2z
∂y2 =−2 cos(2x−y2)−4y2sin(2x−y2)
問題23 次の2変数関数の極大点,極小点,鞍点を求めなさい.
(1)z=x2+y2+ 6x−5
∂z
∂x= 2x+ 6, ∂z
∂y= 2yより, ∂z
∂x= 0, ∂z
∂y= 0となるのは, (x, y) = (−3,0)
∂2z
∂x2 = 2, ∂2z
∂x∂y = 0, ∂2z
∂y2 = 2より,Hf(−3,0) = 2×2−02= 4,かつ, ∂2z
∂x2(−3,0) = 2
よって,Hf(−3,0)>0かつ ∂2z
∂x2(−3,0)>0なので,
z=x2+y2+ 6x−5は, (x, y) = (−3,0)で極小値z= (−3)2+ 02+ 6×(−3)−5 =−14をとる.
(2)z=x3−y3−12x+ 3y
∂z
∂x= 3x2−12, ∂z
∂y=−3y2+ 3より, ∂z
∂x= 0, ∂z
∂y= 0となるのは, (x, y) = (2,1), (2,−1), (−2,1), (−2,−1)
∂2z
∂x2 = 6x, ∂2z
∂x∂y = 0, ∂2z
∂y2 =−6yより,
°:1 Hf(2,1) = 12×(−6)−02=−72<0なので,z=x3−y3−12x+ 3yは, (x, y) = (2,1)で鞍点.
°2 Hf(2,−1) = 12×6−02= 72>0かつ, ∂2z
∂x2 = 12>0なので,
z=x3−y3−12x+ 3yは, (x, y) = (2,−1)で極小値z= 23−(−1)3−12×2 + 3×(−1) =−18.
°3 Hf(−2,1) = (−12)×(−6)−02= 72>0かつ, ∂2z
∂x2 =−12<0なので,
z=x3−y3−12x+ 3yは, (x, y) = (−2,1)で極大値z= (−2)3−13−12×(−2) + 3×1 = 18.
°:4 Hf(−2,−1) = (−12)×6−02=−72<0なので,z=x3−y3−12x+ 3yは, (x, y) = (−2,−1)で鞍点.
