線形代数学
1 No.5 2004.11. 83.1 逆行列（解答） 担当：市原
問題6 次の行列の逆行列を求めなさい.
(1)
Ã3 0
0 −2
!
求める逆行列を Ãa b
c d
!
とおくと,
Ã3 0
0 −2
! Ãa b
c d
!
= Ã1 0
0 1
!
これより, 3a+ 0c= 1 3b+ 0d= 0
0a−2c= 0 0b−2d= 1 . この連立方程式を解くと,a=13,b= 0,c= 0,d=−12. よって,
Ã3 0
0 −2
!
の逆行列は Ã1
3 0
0 −12
!
(2)
Ã5 −2
8 −3
!
求める逆行列を Ãa b
c d
!
とおくと,
Ã5 −2
8 −3
! Ãa b
c d
!
= Ã1 0
0 1
!
これより, 5a−2c= 1 5b−2d= 0
8a−3c= 0 8b−3d= 1 . この連立方程式を解くと,a=−3,b= 2, c=−8,d= 5.
よって,
Ã5 −2
8 −3
!
の逆行列は
Ã−3 2
−8 5
!
(3)
0 1 0
1 0 1
1 −1 0
求める逆行列を
a b c d e f g h i
とおくと,
0 1 0
1 0 1
1 −1 0
a b c d e f g h i
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
これより,
d= 1 e= 0 f = 0 a+g= 0 b+h= 1 c+i= 0 a−d= 0 b−e= 0 c−f = 1
.
この連立方程式を解くと,a= 1,b= 0,c= 1,d= 1,e= 0, f = 0,g=−1,h= 1,i=−1.
よって,
0 1 0
1 0 1
1 −1 0
の逆行列は
1 0 1
1 0 0
−1 1 −1
(4)
0 0 1 0 2 0 3 0 0
求める逆行列を
a b c d e f g h i
とおくと,
0 0 1 0 2 0 3 0 0
a b c d e f g h i
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
これより,
g= 1 h= 0 i= 0 2d= 0 2e= 1 2f = 0 3a= 0 3b= 0 3c= 1 .
この連立方程式を解くと,a= 0,b= 0,c=13,d= 0,e= 12,f = 0,g= 1, h= 0, i= 0.
よって,
0 0 1 0 2 0 3 0 0
の逆行列は
0 0 13 0 12 0 1 0 0
問題7 係数行列の逆行列を求めることにより,次の連立方程式を解きなさい.
(1)
( 3x−7y= 11
−2x+ 5y=−4
この連立方程式を行列表示すると,
à 3 −7
−2 5
! Ãx
y
!
= Ã11
−4
!
係数行列
à 3 −7
−2 5
!
の逆行列を求める. 求める逆行列を
Ãa b
c d
!
とおくと,
à 3 −7
−2 5
! Ãa b
c d
!
= Ã1 0
0 1
!
これより, 3a−7c= 1 3b−7d= 0
−2a+ 5c= 0 −2b+ 5d= 1 . この連立方程式を解くと,a= 5,b= 7,c= 2,d= 3.
よって, 係数行列
Ã3 −7
−2 5
!
の逆行列は Ã5 7
2 3
! . 以上より,求める解は,
Ãx
y
!
= Ã5 7
2 3
! Ã11
−4
!
= Ã27
10
!
(2)
x−y= 1
−7y+ 2z= 5 4x−z= 2
この連立方程式を行列表示すると,
1 −1 0 0 −7 2 4 0 −1
x y z
=
1 5 2
係数行列
1 −1 0 0 −7 2 4 0 −1
の逆行列を求める.
求める逆行列を
a b c d e f g h i
とおくと,
1 −1 0 0 −7 2 4 0 −1
a b c d e f g h i
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
これより,
a−d= 1 b−e= 0 c−f = 0
−7d+ 2g= 0 −7e+ 2h= 1 −7f+ 2i= 0 4a−g= 0 4b−h= 0 4c−i= 1
.
この連立方程式を解くと,a=−7,b= 1, c= 2, d=−8,e= 1,f = 2, g=−28,h= 4,i= 7.
よって, 係数行列
1 −1 0 0 −7 2 4 0 −1
の逆行列は
−7 1 2
−8 1 2
−28 4 7
.
以上より,求める解は,
x y z
=
−7 1 2
−8 1 2
−28 4 7
1 5 2
=
2 1 6
