早稲田大学大学院 先進理工学研究科
博
博 士 士 論 論 文 文 概 概 要 要
論
論 文 文 題 題 目 目
Lifshitz 型理論における量子論的側面の探求
Investigation for Quantum Aspects of Lifshitz-Type Theory
申 請 者
物理学及応用物理学専攻 理論宇宙物理学研究
2015 年 11 月
北村 比孝
Tomotaka KITAMURA
近い将来の宇宙観測により、ビッグバン以前の宇宙初期(インフレーション期)の機構が明らかにさ れつつある。また、近年の重力波を捉える試みは、ブラックホール(Black Hole: BH)の存在を確固た るものにするであろう。上に挙げた宇宙初期の機構及び BH の存在は、Einstein 重力を始めとする古典 重力から予言された産物である。一方、高エネルギー(短距離)領域であるインフレーション期以前の 宇宙や BH の特異点近傍では、古典論が破綻すると考えられている。従って、古典重力が予言能力を失 うこれらの高エネルギー領域の記述には量子重力理論が必要とされている。量子重力理論の立場は 様々であるが、本学位論文では場の量子論の立場で議論を展開する。場の量子論の枠組みで重要な量 子論の性質は次の 2 つである。1 つは繰り込み可能性であり、もう 1 つはユニタリー性である。
(1+3)次元の Einstein 重力は繰り込み不可能である。この重力の繰り込み可能性の問題は量子重力理 論を構成する上で長年の懸案である。理論の繰り込み可能性を簡便に判定する条件がある。この条件 とは、「繰り込み可能な理論に含まれる結合定数の質量次元は、全てゼロ以上であれ」という Power -counting-renormalizablility(PCR)の条件である。Einstein 重力の結合定数の質量次元は負であり、
パワーカウンティングで繰り込み不可能である。また、loop 計算によって、具体的に Einstein 重力が 繰り込み不可能であることも証明されている(t Hooft＆Veltman‘74)。一方、この重力理論のユニタ リー性は、ツリーレベルで破綻している(F. A. Berends＆ R. Gastman‘75)。従って、Einstein 重力 は場の量子論の枠組みで摂動的に記述が不可能とされている。
場の量子論の枠組みで記述が可能な重力理論の構成に向けて、上記 2 つの量子論に必要な性質を満 たす重力理論が探求されてきた。この探求の中でも超重力理論や高階微分を含む重力理論(Higher Derivative Quantum Gravity：HDQG)が有力視されてきた。N=1 超重力理論は、グラビトンの超対称性 パートナーであるグラビティーノがグラビトンの発散を相殺し Two-loop まで有限である事が確かめら れている(Grisaru‘77)。しかし、Three-loop を超えた計算では、繰り込み不可能である事が示されて いる(Deser etal‘77)。現在、N=8 の超重力理論は、Eight-loop で有限であると予想されているが、
まだ証明はされていない。HDQG は Einstein 重力の作用に曲率高次項を加えた理論である。加えられた 高次項により修正されたプロパゲーターが、loop 積分から生じる発散の次数を下げる。そのため、高 エネルギーでの発散の振舞いが改善されている。この発散の振舞いに対する改善により、紫外発散が 有限個の相殺項で処理される。その結果、HDQG は繰り込み可能となる事が証明された(K.S.Stelle‘77)。
しかし、この重力理論には致命的な問題が存在する。この高次項に含まれる高階の時間微分に由来す るゴーストの問題である。このゴーストは、理論全体のエネルギーが際限なく負になりうる存在であ る。このゴーストの存在により、系の不安定性が生じる。従って、HDQG は理論的に整合性のある量子 重力理論として生き残る事はできなかった。
上記で述べた状況の中、近年、Petr Horava によって新しい量子重力理論の候補が提唱された (P.Horava ‘09)。この理論は Horava-Lifshitz(HL)重力と呼ばれ、次の二つの注目すべき特徴を持つ。
1 つ目の特徴は、曲率高次項を含むにも関わらず、不安定性をもたらすゴーストの問題を回避した事で ある。2 つの目の特徴は、パワーカウンティングで繰り込み可能となる事である。これらの特徴は、時 間と空間のスケールを非等方に扱う事で得られる。この非等方性は、場の量子論の基礎的な対称性と してみなされてきた Lorentz 対称性の破れを意味する。この対称性の破れにより、HL 重力の作用は時 間微分を 2 階に保ちつつ、高階の空間微分を含む項(時間微分を含まない高次項)で構成される。従っ て、ゴーストのない繰り込み可能な量子重力理論として位置付けられている。これら 2 つの注目すべ き特徴と Lorentz 対称性の破れにより、HL 重力には多く研究者の関心が寄せられている。特に宇宙論 の分野では盛んに応用されている。この応用の中には、特異点を回避する宇宙初期のシナリオが示唆 されるなど Einstein 重力とは異なる興味深い結果が得られている。(R. Brandenberger‘09,‘10, K.
Maeda＆Y. Misonoh‘09,‘10)。しかし、HL 重力の量子論的な振舞いはまだよく理解されていない。特 に、ここ のの 理理 論論 のの 要要 でで ああ るる 繰繰 りり 込込 みみ 可可 能能 性性 のの 証証 明明 はは 重重 要要 なな 未未 解解 決決 問問 題題 でで ああ るる 。。
No.1
以上の背景を踏まえ、本学位論文では、Lifshitz 型理論における量子論的側面の探求をテーマとし て扱った。この学位論文は Lifshitz 型理論に関する 4 つの研究に基づいて構成される。第 1 の研究は、
HL 重力の繰り込み可能性の研究である。この研究が本学位論文の柱である。この柱となる研究の理解 を深め完遂するべく、Lifshitz scalar 理論に関する下記の 3 つの研究位置付けられる。これらの研究 で、Lifshitz 型理論における量子論的側面が探求され、興味深い結果が得られた。ここで得られた結 果は、HL 重力の繰り込み可能性の証明に迫る有力な手がかりを与える。そこで、本学位論文では、次 の方針で著者が遂行した研究を紹介する。まずは HL 重力の繰り込み可能性の研究について紹介する。
その後、Lifshitz scalar 理論に基づく 3 つの研究を紹介する。以下で本学位論文の構成を述べた後、
各研究の概要を述べる。
本学位論文は、全 10 章から構成され、この構成は次の通りである。第 1 章では、量子重力理論の必 要性と、量子論的に破綻する Einstein 重力の問題点及びその解決を巡る量子重力理論への取り組みが 紹介される。第 2 章では、Einstein 重力の繰り込み可能性について概観される。第 3 章では、量子重 力理論の候補の１つである HL 重力の概要が示される。第 4 章では、ゲージ理論で示唆された繰り込み 可能性とユニタリー性の等価性について触れられる。第 5 章では、HL 重力の繰り込み可能性の証明に ついての議論が展開される。第 6 章では、具体的にモデル化した Lifshitz scalar 理論の One-loop 計 算が実行される。第 7 章では、Lifshitz scalar 理論の繰り込み可能性について一般的なモデルで議論 展開され、拡張された PCR の条件が定式化される。第 8 章では、Lifshitz scalar 理論のユニタリー性 の議論が展開される。そして、第 9 章では、Lifshitz scalar 理論における共鳴現象が示される。最後 に本学位論文の結論とまとめが記述される。
第 1 の研究では、HL 重力の繰り込み可能性の証明を目指して、ツリーレベルでのユニタリー性を探 求した。この研究で導入された手法は、「繰り込み可能性とツリーレベルにおけるユニタリー性が等価 である」という示唆に基づいている。この等価性は、ゲージ理論において示唆された(Llewellyn Smith‘73 ＆ Cornwall etal‘73)。ここで、ツリーレベルにおけるユニタリー性の条件を明示してお く。この条件とは、「理論のツリーレベルにおけるユニタリー性が保たれる時、この理論で計算された ツリーレベルでの散乱振幅の振舞いが高エネルギー極限においてベキで大きくならない」という条件 である。従って、この示唆が真であれば、繰り込み可能性の証明がツリーレベルにおける散乱振幅の 議論に焼き直される。繰り込み可能性とツリーレベルでのユニタリー性の間での等価性は、まだ証明 されていない一方、ゲージ理論及び Einstein 重力において、反例が知られていない。通常、繰り込み 可能性の証明には、loop 積分を評価し、この積分から生じる発散が有限個の相殺項で除去できるかの 議論が必要であるが、次に挙げる 2 つの利点から、この研究ではユニタリー性による議論を採用した。
第 1 の利点は、量子効果を含まないツリーレベルの計算で議論が完結する点である。その結果、loop 計算と比較して、評価すべき Feynman 図が大幅に減少する。第 2 の利点は、Faddeev-Popov(FP)ゴース トの導入が不要な点である。重力の loop 計算には、ゲージ固定が必要であり、その結果、理論の整合 性のために FP ゴーストの導入が伴う。しかし、FP ゴーストの導入は評価すべき Feynman 図の組み合わ せを増やすため、計算量の増加を招く。従って、Einstein 重力よりも複雑な作用で記述される HL 重力 の繰り込み可能性の証明において、計算量が軽減される上、単純な考察で済むツリーレベルにおける ユニタリー性の手法は有力である。第 5 章では、この手法を用いて得られた研究結果が紹介される。
ここで得られた結果からは、次の一見矛盾していそうな振舞いが読み取られる。この振舞いとは、高 階の空間微分を含む事で loop 積分の発散の次数を下げたのにも関わらず、HL 重力の散乱振幅の高エネ ルギー極限における振舞いが Einstein 重力の振舞いよりも悪くなっている、という不可思議な振舞い である。この振舞いから次の疑問が生じた。その疑問とは、「(Lorentz 対称性の破れた)Lifshitz 型理 論において、繰り込み可能性とツリーレベルでのユニタリー性の等価性が成り立つか」という疑問で あり、下記の Lifshitz scalar 理論を基礎とする 3 つの研究の引き金となった。
Lifshitz scalar 理論は、本来、三重点の臨界現象を記述するために提案された理論であり、短距離
（高エネルギー(Ultra Violet:UV)）の発散の振舞いを緩やかにするために、空間的に非等方なスケー ル則を採用した理論である(E. Lifshitz‘42)。
No.2
但し、著者の扱う Lifshitz scalar 理論では、“時間と空間の間での”非等方なスケール則を意味す る。この非等方なスケール則は Lifshitz scaling と呼ばれており、非等方度合いが整数 z のパラメー ター(動的臨界指数)で特徴付けられる。なお、z=1 の時、ローレンツ対称性を持つ。HL 重力は、この Lifshitz scaling を適用した重力理論であり、(1+3)次元で z=3 の値を取る時、PCR の条件を満たす重 力理論である。Lifshitz scalar 理論は近年、HL 重力のトイ・モデルとして注目され、この量子論的 な性質が調べられている(M. Visser‘09 etal)。これまでの研究では、z≠d(d は空間次元)の場合など 結合定数が正の次元を持つ(PCR を十分に満たす)モデルで議論されてきた。しかし、HL 重力は、z=d で PCR を満たす高階微分を含む重力理論であるため、これまで扱われてきたモデルでは、HL 重力の議 論には不十分である。そこで、第 2 の研究では、z=d で PCR の条件を満たす Lifshitz scalar 理論の繰 り込み可能性が One-loop 計算で調べられ、以下の結果が得られた。Lifshitz 型理論では、場の次元が z 及び d に依存するため、z=d の場合は scalar 場の質量次元が無次元となる。その結果、2z 階以下の 空間微分を持つ全ての相互作用項は PCR の条件が満たされ、その相互作用項は無限個許される。この 相互作用の特徴が原因で、どんな条件も課されていない z=d=3 の Lifshitz scalar 理論は、PCR の条件 を満たすにも関わらず繰り込み不可能である事が示された。この問題は、無限個の UV 発散をもたらす 有害な相互作用項を禁止することで避けられる。有害な相互作用項を取り除く方法は、対称性を課す ことであり、シフト対称性を導入して議論した。この結果により、たとえ PCR の条件を満たした相互 作用項を用いて loop 積分を実行したとしても、シフト対称性がない相互作用項から構成される loop 積分の発散の除去には無限個の相殺項が必要であるため、繰り込み不可能となる事が示された。この 結果、繰り込み可能な Lifshitz 型理論には、PCR の条件を満たすのみでは不十分であり、相殺項が有 限個で閉じるような対称性が必要であるという性質である。
第 3 の研究では、Lifshitz scalar 理論でも適用可能な PCR の条件が定式化された。非等方なスケー ル則により場の質量次元は z 及び d に依存するため、場の質量次元は負の値を取りうる。この場合や 第 2 の研究で考察された状況では、通常の PCR の条件では不十分である。そこで、著者は拡張された PCR の条件を定式化し、任意の z と d の Lifshitz scalar 理論における発散の振舞いを見積もる事を可 能にした。なお、この条件を用いると第 2 の研究で得られた Lifshitz scalar 理論の繰り込み可能性 をパワーカウンティングのみで評価できる事が可能となる事も確かめられた。
第 4 の研究では、Lifshitz scalar 理論におけるユニタリー性の条件が導出された。具体的には、ユ ニタリー性が満たされる 2 体-2 体散乱で得られる散乱振幅に対する外線の高エネルギー(運動量)のベ キ振舞いが評価された。Lorentz 対称性の破れのため、Lifshitz 型理論における散乱の議論では、実 験室系に類似した重心系以外の系をも考慮されなければならない。これらの各系でユニタリー性の条 件を求めた。さらに、重心系と異なる系で導出されたユニタリー性の条件は、重心系での散乱振幅の ベキの振舞いに対するユニタリー性の条件よりも厳しい制限を与える事が分かった。ここまでは、外 線のみの議論であったが、さらに、ツリーレベルにおける s-(t-)チャネルの散乱振幅のベキの振舞い に対する条件も導出した。ここで導出された条件から、ユニタリー性を満たす 3 点と 4 点の相互作用 項の形が全て決定される。ここで決定された条件は、第三の研究で得られた、拡張された PCR の条件 と一致する事が分かった。さらには、s-チャネル散乱振幅において、中間状態を伝搬するプロパゲー ターがオンシェル条件を満たす場合も議論した。この場合、一見ユニタリー性の条件がさらに強くな るため、繰り込み可能性の条件の不一致が懸念されるが、共鳴の効果を考慮することで、拡張された PCR の条件を満たす相互作用はユニタリー性の条件を破らないことが示された。
第 3 と第 4 の結果から、Lorentz 対称性が破れた Lifshitz scalar 理論においても、繰り込み可能性 とツリーレベルでのユニタリー性が等価である事が分かった。この発見により、第 1 の研究として述 べられた HL 重力の繰り込み可能性の研究で生じた疑問が解消された。
以上をまとめると、本学位論文では、Lorentz 対称性の破れた Lifshitz 型理論においても、繰り込 み可能性とツリーレベルでのユニタリティーが等価である事が理解され、Lifshitz 型理論における量 子論的側面が探求された。
No.3
Ｎｏ.1
早
早稲 稲田 田大 大学 学 博 博士 士（ （理 理学 学） ） 学 学位 位申 申請 請 研 研究 究業 業績 績書 書
氏名 北村 比孝 印
（ 2016 年 2 月 10 日現在）
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
⚪論文
⚪論文
⚪︎紀要
⚪︎紀要 講演 ( 国 際 会 議) 講演 ( 国 際 会 議) 講演 ( 国 際 会 議)
題名:Power-counting and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
掲載誌:Physical Review D,91,125007 発行年月:2014 年 5 月
連名者:Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura
題名:Tree-level Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
掲載誌:Prog. Theor. Exp. Phys. (2016)013B08 発行年月:2016 年 1 月
連名者:Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura
題名:Tree-Unitarity and renormalizability in Lifshitz scaling theory – as a toy model of Horava’s gravity theory.
掲 載 誌 :Proceedings for the 2nd LeCosPA Symposium: Everything about Gravity, Celebrating the Centenary of Einstein's General Relativity. Talk delivered by K.
Izumi on December 17, 2015, Taipei, Taiwan.
発行年月:2016 年 1 月
連名者:Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura
題名:The Relation Between Tree Unitarity and Renormalization in Lifshitz Scalar Theory.
掲載誌:Proceeding :The 24th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan, pp.342-350 (2014).
発行年月:2014 年 11 月
連名者:Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura
題名:Tree Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
発表学会:String Theory & Cosmology;New Ideas Meet Experimental Data, The Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong,China
発表年月:2015 年 5-6 月
連名者:Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura(Poster)
題名:The Relation between Tree Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
発表学会:The 24th Workshop on General Relativity and Gravitation, Kashiwa,Japan 発表年月:2014 年 11 月
連名者:Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura(Oral)
題名:Quantization and Unitarity of Horava-Lifshitz gravity.
発表学会:PASCOS19th International Symposium on Particles, Strings, and Cosmology Taipei, Taiwan
発表年月:2013 年 11 月
連名者:Takeo Inami & Tomotaka Kitamura(Oral)
Ｎｏ.2
早
早稲 稲田 田大 大学 学 博 博士 士（ （理 理学 学） ） 学 学位 位申 申請 請 研 研究 究業 業績 績書 書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
講演 (研究会)
講演 ( 国 内 学 会) 講演 ( 国 内 学 会) 講演 ( 国 内 学 会) 講演 ( 国 内 学 会) 講演 ( 国 内 学 会) 講演 (国内シン ポジウム)
海外講演
題名:Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.
発表学会:KEK 理論研究会(2013) 発表年月:2013 年 3 月
連名者:稲見武夫 北村比孝 (ポスター)
題名:Tree Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
発表学会: 日本物理学会 2015 年秋季大会 大阪市立大学 発表年月:2015 年 9 月
連名者:藤森俊明、稲見武夫、泉圭介、北村比孝(口頭)
題名:Lifshitz scalar 理論における繰り込み可能性と Tree Unitarity の関係.
発表学会:日本物理学会 第 70 回年次大会 早稲田大学 早稲田キャンパス 発表年月:2015 年 3 月
連名者:藤森俊明、稲見武夫、泉圭介、北村比孝 (口頭)
題名:Quantization and Unitarity of Horava-Lifshitz gravity.
発表学会:日本物理学会 第 69 回年次大会 東海大学 湘南キャンパス 発表年月:2014 年 3 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.
発表学会:日本物理学会 第 68 回年次大会 広島大学 湘南キャンパス 発表年月:2013 年 3 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化と繰り込み可能性.
発表学会:日本物理学会 2011 年秋季大会 弘前大学 文京町キャンパス 発表年月:2011 年 9 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.(講演番号:HEP-14) 発表学会:早稲田大学 物理学及応用物理学専 卓越シンポジウム 2013 発表年月:2013 年 12 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Tree-level Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory toward Horava-Lifshitz Gravity.
発表場所:国立台湾大学、LeCosPA 台北、台湾 発表年月:2016 年 1 月
連名者: Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura (Oral)
Ｎｏ.3
早
早稲 稲田 田大 大学 学 博 博士 士（ （理 理学 学） ） 学 学位 位申 申請 請 研 研究 究業 業績 績書 書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
海外講演
海外講演
海外講演
海外講演
海外講演
海外講演
国内講演
国内講演
国内講演
題名:Tree-level Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
発表場所:国立清華大学(NCTS)、新竹、台湾 発表年月:2016 年 1 月
連名者: Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名:Tree-level Unitarity and Renormalizability in Lifshitz scalar theory.
発表場所:国立台湾大学、台北、台湾 発表年月:2016 年 1 月
連名者: Toshiaki Fujimori & Takeo Inami & Keisuke Izumi & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名:Quantization and Unitarity of Horava-Lifshitz gravity.
発表場所:国立清華大学(NCTS)、新竹、台湾 発表年月:2014 年 6 月
連名者:Takeo Inami & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名:Quantization and Unitarity of Horava-Lifshitz gravity.
発表場所:国立台湾師範大学、台北、台湾 発表年月:2014 年 6 月
連名者:Takeo Inami & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名:Quantization and Renormalization of Horava-Lifshitz gravity.
発表場所:国立清華大学(NCTS)、新竹、台湾 発表年月:2011 年 8 月
連名者:Takeo Inami & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名:Quantization and Renormalization of Horava-Lifshitz gravity.
発表場所:国立台湾大学、台北、台湾 発表年月:2011 年 8 月
連名者:Takeo Inami & Tomotaka Kitamura (Oral)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.
発表場所:中央大学 後楽園キャンパス 素粒子論研究室 発表年月:2013 年 9 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.
発表場所:九州大学 理学研究院 素粒子論研究室 発表年月:2013 年 7 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
題名: Horava-Lifshitz gravity の量子化とユニタリー性.
発表場所:日本大学 理工学研究科 駿河台キャンパス 素粒子論研究室 発表年月:2013 年 7 月
連名者:稲見武夫、北村比孝 (口頭)
