早稲田大学大学院 基幹理工学研究科
博 博
博 博 士 士 士 士 論 論 論 論 文 文 文 文 概 概 概 概 要 要 要 要
論 論 論
論 文 文 文 文 題 題 題 題 目 目 目 目
On Weber’s Class Number Problem
ウェーバーの類数問題について
申 請 者
Takayuki MORISAWA 森澤 貴之
数学応用数理専攻 整数論研究
2 0 11 年 1 2 月
（ 受 理 申 請 す る 部 科 主 任 会 開 催 年 月 を 記 入 ）
申請者の専門である代数的整数論とは,代数体に関して研究する分野である. 代 数体とは,有理数体Qの有限次拡大体のことであり,その中には,整数環と呼ばれ る特別な部分環がある. 代数体の整数環の(分数)イデアル全体は乗法に関して群 をなし,その群を単項(分数)イデアル全体のなす部分群で割った剰余類群をイデ アル類群と呼び,その位数を代数体の類数という. これは,代数的整数論における 最も重要な研究対象の１つである.
代数的整数論の基本的な定理として, 代数体の類数は有限であることが知られ ている. 定義からもわかるように,類数は,整数環が単項イデアル整域からどれだ け遠いかを表す不変量である. 特に,代数体の類数が1となることと,その代数体 の整数環が単項イデアル整域となることは同値である. ２００年程前に, Gaussは 実二次体と呼ばれる特別な代数体に関して, 『類数が 1となる実二次体は無限に 存在するであろう』と予想したが,この問題は未だに解決されていない. それどこ ろか,実二次体という条件をはずし,『類数が1となる有限次代数体は無限に存在 するであろう』という予想ですら未解決である.
この問題に取り組むために, Weberの仕事に注目する. 素数 p と非負整数 n に対し, Bp,n と書いて有理数体の円分的 Zp-拡大の n-th layer を表すものとす る. この体の列 {Bp,n}∞n=0 は岩澤理論に現れる最も基本的で重要な対象である. ここで, Bp,n の類数を hp,n と置く. Weberは, p = 2 で n = 1, 2, 3 のとき, h2,n = 1 であることを示した. さらに,任意の n に対し, h2,n は奇数であること も証明している. このことから Weber は『任意の非負整数 n に対し, h2,n = 1 ではないか』と予想した. この問題に関してはその後, Bauer, Cohn, Masleyら によって h2,4 = 1が, van der Lindenによってh2,5 = 1 が示されている. また, (p, n) = (3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(7,1) に関してもhp,n= 1 であることがわかっ ている. そこで次のような問題を考える：
Weberの類数問題. 素数 p を固定する. このとき任意の非負整数 n に対し, hp,n= 1 であるか？
しかし,類数そのものを計算することは非常に難しい. そこで,この問題へのア プローチとして, 素数ℓ に関して,類数のℓ-partを考える：
問題 (ℓ-非可除性). 素数 p を固定する. このとき任意の非負整数 n に対し,hp,n
が素数 ℓで割れないか？
素数 pと素数ℓが等しい場合には, Weber, Iwasawaらによって,任意の非負整 数 nに対し,hp,n はp では割れないことがわかっている. また, p とℓ が異なる 場合には, Washington によって,hp,n の ℓ-partがn について有界であることが 示されている. 上述の ℓ-非可除性の問題に関しては,近年, Horieが様々な結果を 出している. 特に p= 2 の場合に関しては, Fukuda-Komatsu やOkazaki らが精
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力的に研究を進めており,新たな結果を出している. これに対し申請者は,奇素数 pの場合に,有理数体の円分的Zp-拡大の中間体の類数のℓ-非可除性に関する研究 を行った.
本論分は全８章からなる. 第１章においては,本論文における重要な考え方,及 び,道具についての紹介をする.
第２章においては,まず, Horieの単数と呼ばれる特殊な単数に関して, Mahler 測度の上界を求める. そして,Bp,n/Bp,n−1 における相対単数についてSchinzelの 補題を用いることで,相対単数の下界を得る. 最後に, Minkowskiの格子点定理を 適用することで, 次の定理を得た:
定理 1. 奇素数 p を固定する. p とは異なる素数 ℓ に対し, ps が ℓp−1−1 を丁 度割り切るとする. また, c= (p−1)ps−1 とし,f を円のp 分体 Q(µp) での ℓの 惰性次数とする. ここで,
G1(p, s, f) = ((√
6p 2
)c
·c!
)1/f
.
とおく. このとき, ℓ が ℓ > G1(p, s, f) を満たすならば, 任意の非負整数 n に対 して ℓは hp,n を割らない.
第３章, 第４章においては,新たな凸体の体積について考察し,よりよい状況で
Minkowski の格子点定理を用いることで,定理 1 の精密化を行った.
第５章以降は p= 3 の場合に限定して議論をする.
第５章においては,まず,堀江の単数のMahler測度の上界の計算を,p= 3であ ることを利用して,より精密に行う. また, Hilbertの定理90を用い,h3,1=h3,2= h3,3 = 1 であることに注目することで, 相対単数の下界をよりよいものに取り替 える. これらの結果に, 再びMinkowskiの格子点定理を組み合わせることで次の 定理を得た:
定理 2. 5 以上の素数 ℓ に対し, 3s が ℓ2 −1 を丁度割り切るとする. また, c = 2·3s−1 とし, f を ℓ の Q(√
−3)/Q での惰性次数とする. このとき, ℓ が ℓ > (2c/2·c!)1/f を満たすならば, 任意の非負整数 n に対して ℓ は h3,n を割ら ない.
この定理を用いることで,後述の定理5,定理 6を得ることができる. これらは Horie の結果からは得られず, Mahler 測度と Hilbert の定理 90 を用いるという 当研究のオリジナリティからくる結果である.
定理 1,及び,定理2に現れるs,f という値は,素数 ℓが,円の pベキ分体の中 で, どのような素イデアル分解をするか,という情報を持っている. すなわち,こ れらの定理からわかることとしては,ℓの値がその分解の様子に対し十分大きい場
合には,類数 hp,n を割らない, ということである. しかし,例えば,p = 3 の場合 であっても,ℓ= 17, 19, 37 など,小さな素数については定理 2からは何もわから ない. そこで,第６章においては,小さな素数に対して具体的に計算するために用 いる定理として, 一般Bernoulli 数を計算することで次を示した:
定理 3. 素数 ℓ≥5 に対し, 3s が ℓ2−1 を丁度割り切るとする. ここで,
mℓ = 2s+
⌊1
2log3(ℓ−1) + 1 2
⌋
とおく. ただし,⌊x⌋は実数x を越えない最大の整数とする. このとき,ℓがh3,mℓ
を割り切らないならば, 任意の非負整数 nに対して ℓ はh3,n を割り切らない. この定理により, B3,mℓ の類数の ℓ-非可除性を示すことで, 無限個の代数体 {B3,n}∞n=0 の類数の ℓ-非可除性を確認することができることとなった. この結 果を用いることで,任意の非負整数nに対してh3,n のℓ-非可除性を計算するアル ゴリズムを作ることが可能となる. このアルゴリズムに関しては, 第７章で紹介 する.
第８章では,定理 3,及び,第７章のアルゴリズムを用いて実際に計算機で計算 することによって得た２つの結果について述べる. まず,得られた結果の１つ目は 次の定理である:
定理 4. 400000 より小なる素数は任意の非負整数 n に対してh3,n を割らない.
ここで, 素数ℓ を27 を法として ±1 でないものとする. このとき,s= 1 また は 2,f = 1または 2 となり, (2c/2·c!)1/f ≤5760 であるため,定理2,定理 4よ り,以下の定理を得た:
定理 5. 素数 ℓ が 27 を法として ±1 と合同でない場合には, 任意の非負整数 n に対し,ℓ は h3,n を割らない.
また,素数ℓを81を法として26または53と合同なものに限定して計算し,定 理2 と併せることで,以下の結果を得た:
定理 6. 素数 ℓ が81 を法として, 26 または 53と合同である場合には,任意の非 負整数 n に対し, ℓ はh3,n を割らない.
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Ｎｏ.1
早稲田大学 早稲田大学 早稲田大学
早稲田大学 博士 博士 博士 博士（ （ （ （理 理 理学 理 学 学） 学 ） ） ） 学位申請 学位申請 学位申請 学位申請 研究業績書 研究業績書 研究業績書 研究業績書
氏 名 森澤 貴之 印
（２０１１年 １１月 現在）
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
論文 １１１１. . . 掲載. 掲載掲載掲載, , , または, またはまたはまたは, , , 掲載, 掲載掲載掲載がががが決定決定決定したもの決定したものしたもの（したもの（（査読有（査読有査読有査読有りりり）り）））
(1) (1) (1)
(1) A Class Number Problem in the Cyclotomic ZZZ_3-Z ---extension of QQQ, Q Tokyo J. Math. 32323232 (2009), 549-558.
(2)(2)
(2)(2) Mahler Measure of the Horie Unit and Weber’s Class Number Problem in the Cyclotomic ZZZZ_3---extension of Q- QQQ,
Acta Arith. に掲載決定.
(3) (3)
(3) (3) On λ-invariants of ZZZZ_l----extensions over Real Abelian Number Fields of Prime Power Conductors,
Funct. Approx. Comment. Math. に掲載決定, 小松啓一氏・福田隆氏との共同研究.
２ ２ ２
２．．．投稿中．投稿中投稿中投稿中のもののもののもののもの (1
(1 (1
(1))) )Mahler Measure and Weber’s Class Number Problem in the Cyclotomic ZZZZ_p-extension of QQQ for Odd Prime Number p, Q
岡崎龍太郎氏との共同研究.
(2 (2 (2
(2))) ) On the ℓ -part of the ZZZ_p_1 ×…×Z_Z Z_Z_p_s-extension of QZ_ QQ. Q ３
３ ３
３．．．報告集．報告集報告集報告集 (1)(1)
(1)(1) Mahler Measure of the Horie Unit and Weber’s Class Number Problem in the Cyclotomic ZZZZ_p---extension of Q- QQQ,
Proceedings of Diophantine Analysis and Related Fields-2010.
(2)(2)
(2)(2) 奇素数 p に関する Q の Z_p 拡大の類数についての Weber 問題,
「解析数論--複素関数の値の分布と性質を通して」RIMS 研究集会報告集, 掲載予定, 岡崎龍太郎氏との共同研究.
(3) (3) (3)
(3) 素数巾導手実アーベル体の岩澤不変量, 「代数的整数論とその周辺 2010」RIMS 研究 集会報告集, 査読有り, 掲載予定, 小松啓一氏・福田隆氏との共同研究.
Ｎｏ.2
早稲田大学 早稲田大学 早稲田大学
早稲田大学 博士 博士 博士 博士（ （ （ （理 理 理学 理 学 学） 学 ） ） ） 学位申請 学位申請 学位申請 学位申請 研究業績書 研究業績書 研究業績書 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
研究発表 １１１１．．． ． 学会学会学会学会・・・・研究集会研究集会研究集会における研究集会におけるにおける講演における講演講演 講演
(1) 「有理数体の円分 Z_3 拡大の類数問題」, 日本応用数理学会 研究部会連合発表会 数論アルゴリズムとその応用, 京都大学, 2009 年 3 月 7 日.
(2) 「A class number problem in the cyclotomic Z_3 extension of Q」, 第 14 回早 稲田大学整数論研究集会 2009, 早稲田大学, 2009 年 3 月 9 日.
(3) 「Weber’s problem in the cyclotomic Z_3-extension of the rational field」, 第 8 回 広島整数論集会, 広島大学, 2009 年 7 月 23 日.
(4) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大における Weber の問題」, 2009 日本数学会秋季総合分 科会, 大阪大学, 2009 年 9 月 25 日.
(5) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大におけるウェーバーの問題」, RIMS 研究集会 代数的 整数論とその周辺 2009, 東京大学, 2009 年 12 月 10 日.
(6) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大における Weber の類数問題」, 第 7 回城崎新人セミナ ー, 城崎地区公民館, 2010 年 2 月 10 日.
(7) 「 Mahler Measure of Horie Unit and Weber's Class Number Problem in the Cyclotomic Z_p-extension of Q」, Diophantine Analysis and Related Fields 2010, 成蹊大学, 2010 年 3 月 4 日.
(8) 「A class number problem of real abelian fields of 3-power conductor」, 第 15 回早稲田大学整数論研究集会 2010, 早稲田大学, 2010 年 3 月 17 日.
(9) 「Mahler Measure and Weber's Problem in the Cyclotomic Z_3-extension of the rational field」, 九州代数的整数論 2010 (KANT 2010), 九州大学, 2010 年 3 月 20 日.
(10) 「円単数とウェーバーの問題」, Workshop on Number Theory in Saga 2010, 佐 賀大学, 2010 年 8 月 14 日.
(11) 「Weber's Problem in Class Numbers of the Cyclotomc Z_p-extension of Q for odd prime number p」, 解析数論--複素関数の値の分布と性質を通して, 京都数理解析 研究所, 2010 年 10 月 8 日, 岡崎龍太郎氏との共同研究.
(12) 「On λ-invariants of Z_l-extensions over real abelian number fields with conductors of 2-powers」, 代数的整数論とその周辺 2010, 京都数理解析研究所, 2010 年 12 月 9 日, 小松啓一氏・福田隆氏との共同研究.
(13) 「有理数体の Z_p_1×・・・×Z_p_s-拡大の中間体の類数について」, 日本数学会 2011 年度年会, 早稲田大学, 2011 年 3 月 20 日.
(14) 「On the l-part of the Z_p_1×・・・×Z_p_s-extension of Q」, 第 10 回広島 仙台整数論集会, 広島大学, 2011 年 7 月 22 日.
(15) 「On l-indivisibility of class number of Z_p_1×…×Z_p_s-extension of Q」, Japan-Korea Number Theory Seminar 2011, 名古屋大学, 2011 年 11 月 9 日.
(16) 「有理数体の Z_S-拡大の中間体の類数について」, 北陸数論研究集会, 金沢大学, 2011 年 12 月 26 日(講演予定).
Ｎｏ.3
早稲田大学 早稲田大学 早稲田大学
早稲田大学 博 博 博 博士 士 士 士（ （ （ （理 理 理学 理 学 学） 学 ） ） ） 学位申請 学位申請 学位申請 学位申請 研究業績書 研究業績書 研究業績書 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
研究発表 ２２２２．．． ． セミナーセミナーセミナーセミナーにおけるにおけるにおけるにおける講演講演講演講演
(1) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大の類数問題」, 早稲田整数論セミナー, 早稲田大学, 2008 年 11 月 28 日.
(2) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大の類数問題」, 土曜セミナー, 学習院大学, 2008 年 12 月 6 日.
(3) 「有理数体の円分的 Z_3 拡大の類数問題」, 岩澤理論セミナー, 慶應義塾大学, 2009 年 2 月 28 日.
(4) 「A class number problem of real abelian fields of 3-power conductor」, 早 稲田整数論セミナー, 早稲田大学, 2009 年 7 月 17 日.
(5) 「有理数体の円分的 Z_p 拡大におけるウェーバーの類数問題」, 土曜セミナー, 学 習院大学, 2010 年 1 月 16 日.
(6) 「有理数体の円分 Z_3 拡大におけるウェーバーの問題」, 早稲田整数論セミナー, 早 稲田大学, 2010 年 1 月 29 日.
(7) 「ウェーバーの類数問題とマーラー測度」, 談話会, 東京理科大学, 2010 年 7 月 15 日.
(8) 「円単数の Mahler 測度とＷｅｂｅｒの類数問題」, 北陸数論セミナー, 金沢大学, 2010 年 10 月 21 日.
(9) 「有理数体の Z_3 × Z_5-拡大の中間体の類数について」, 早稲田整数論セミナー, 早稲田大学, 2010 年 10 月 29 日.
(10) 「有理数体の Z_p×Z_q-拡大の中間体の類数について」, 岩澤理論セミナー, 慶應義 塾大学, 2010 年 11 月 6 日.
(11) 「Primitive Root Modulo p^2 and Weber's Conjecture for p」, 早稲田整数論セ ミナー, 早稲田大学, 2011 年 5 月 6 日.
