長崎大学学芸学部自然科学研究報告第16号1‑21 (1965)
可換環におけるイデヤル論
江口俊男
(昭和39年12月25日受理)
Ideal‑theory in Commutative Ring
Toshio EGUCHI
一般に絢鋭律の仮定さたた可換環におけるイヂヤル論はW.Krull, N.H.McCoy, E.
Lasker, E.Noether,園,秋月,森の諸教授によって優れた成果があげられている。この中 で, 「任意のイヂヤルが有限個のPrim護ridealの共通分としてあらわせる」という定理は, 多項式環の場合にはF.Laskerにより,一般の場合にはE.Noetherによって証明されたも ので,一般イヂヤル論における最も主要な定理である。本論文においてはPrimaridealを次 のように二つの場合に分けて定義し,新しい二つのPrim五ridealについて上記の定理が成立 するための条件を求めて,本定理を拡張することを試みる。
定義
イヂヤルqについてab…o(q), aキo(q)ならばbr…o(q)となる整数′が存在するときq をPrh蛸ridealと呼び, qがその属する素イヂヤルの有限個の巾を含むか,含まないかに従 って夫々Starker Primarideal, Schwache Primえridealと呼ぶ。
以下次の要項にわけて詳述する。
I Starker Prim芝ridealによる分解定理について(i) C分解が成立するための十分条件) 丑Starker PrimSridealによる分解定理について(2) (分解が成立するための必要条件) U Schwache Primaridealによる分解定理について(分解が成立するための必要且十分
条件)
*本論文の一部の内容については既に下記題目で講演をしたものである。
1963. 9.21 T.Eguchi, T.Eguchi, 1964. 2. 2C
T.Eguchi, 1964. 9. 18
江口俊男,
1964. 10. 16
江口俊男,
日本数学会九州支部会(長崎〕
Idempotentes Element und Idempotentes Ideal.
Uber Ringe, die dem Durchschnittssatz.
日本数学会九州支部会C熊本〕
Zerlegbarkeit der Ideal in Durchschnitt von starken prim丘ridealen.
日本数学会九州支部会(大分〕
MultiplikationsringにおけるIdempotentes Elementについて 日本数学会総合分科会(福岡)
Multiplicative Ringのイデヤルについて 串*長崎大学学芸学部数学教室
2 江 口 俊 男 I Starker Prim翫idea1による分解定理（1）
貌を可換環とし，先づ次の2条件をかかげる。
条件1
ρ1Q2Q3⊂…を肌における 素イデヤルの連鎖とする。各ρ6÷・はρ6の真部分である。この ときこの連鎖は有限の項で終る。
条件豆
イデヤル商の連鎖α⊂α：α・α2⊂…は有限の項で終る。
先づ本論において重要な役割を演ずる所の素イデヤルの概念を明らかにする。
定義
任意のイデヤノレαに対して素イデヤルPがあって次の式を満足するとする。
P＝α：（r），嘩α
このときPをαに属する素イデャルという。1つのイヂヤルに属する素イデヤルに関して は次の定理が成立する。
定理1
環貌において条件1，皿が満足されるとき，肌の任意のイデヤルαには有限箇の最小素 イデヤルη、，糎，や3…があって，鞍はαに属する素イデヤルである。
証明
めをαに関してnilpotente elementの全体とする。すると｛）はイデヤルで，争に関し てnilpotente elementは存在しない。争が素ならば争の元γに対して種＝｛）：（γ）であり 従って争は夫自身に属する素イデヤノレである。むが素でないならば，二っの元γ1，γ、 が存 在してγ陣争，γ・往争，γ、γ・ ∈｛）である。イデヤル商勒二｛）：（γ・）を考察すると，明らか に㊨・⊂争である。亀が尚素でないならば，更に二っの元γ2，γ2 を，γ2γ2 ⊂勒，γ2面）1，
γ2 磯）1なるように見出しうる。然らば軌二亀：（γ2）⊂璽〉1，勧＝争：（γ2γ、）⊂痴：（γ1），か っ γ、γ2制）。然らずんばγ2∈亀である。条件2からこの操作は有限で終り，終には紫イデ ャルη＝｛）：（γ1γ2…γπ）をうる。γ、γ2…γ処は争に属しないから定義によりρはむに属す る素イデヤノレである。
り、，P2…はξ）に属する素イデヤルであるから，
軌＝毒）：（γ乞） γ締ξ）（仁1，2，3…）
鞍＝㊨：（γ2）であるからγ2年争：η・，他方γ2∈争：卿2で従って次の連鎖をうる。
ξ）⊂め：P1⊂争ψ1や2⊂…
条件2からこの連鎖は有限で，従って争に属する素イデャルや・，や2，…ηπの数は有限であ る。各悔は争のteilerであるから
争⊆P・∩P2∩…∩Pη
可換環におけるイデヤル論
3
争⊂ρ・∩や2∩…∩p．と仮定するとのに含まれないP・∩ρ2∩・一∩擁の元γに対して，黛＝母）：
γである。争 が素でないならば上の場合と全く同じ方法で争に属する素イヂヤルザ＝争：
（γγ …γ（㌃））をもち且γγ ・ γ（㌃）麟〉，γγ㌧●γ㈲∈P1∩P2∩0 ∩鞍。
P・，η2，…Pηはすべて勒こ属する素イデヤルであるからP はや・…，禰の中のどれか，例え ばρ・に一致する。γγ …γ（勘）⊂や1から（γγ …γ（胎））2⊂｛〉となり〜）の性質に反する。ゆえに （1）争＝伍∩η2∩…∩伽，従って，坤2…搦⊆頚
である。η。をαの任意の素イデヤルとすると㊨⊆η・で，象の各元はαに関してnilpotent である。（1）からP。はP・，や2，…，P％の中の少くとも一つを含む。故にαとη との間には素
・fデヤルは存在しない。さて次の二つの場合が考えられる。P乞の外にαに関してNuUteiler が存在する場合と然らざる場合とである。はじめの場合には二元素p・，γ・があって，
P1γ1∈α，P1∈P盛，P陣α，γ1帥乞，が成り立っ。ゆえにp2r1＝α：（γ1）⊃α
なお，r1に関してNullteilerな元γ2がp5の外にあるときは更にr1⊂r2＝r1：（γ2）⊆P乞 となる。なおまたr2に関してNullteilerがη歪の外にあればこの操作を続けて，終りには 隔こα：（γ1γ2…γ励）⊆≡や61こ関してNullteilerがη6の外にないようにすることができる。
砺が素でないならば，隔Q鵬＋・＝α：（γ・γ2…砺p・）⊆悔。p・はp乞の元である。二元素γ，
γ に対してγ年pδ，γ笠r鵠＋1，γγ ∈隔1とするとγ〆p1∈玩，γ p嘩隔，γ年Pδ。然しこ れは隔の性質に反する。かくして隔＋・に関して Nullteilerは悔の外には存在しなくな る。この様な方法で我々は条件1から次の様な素イデヤルη をうる。即ち
や ＝α：（γ1γ2… γη毎P1…Pπ）⊆≡P乞
P とP6はidentischであるからαとη￠の間には素イヂヤルはない。定義から鞍はα に属する素イデヤルである。
第二の場合にも第一の場合と全く同じ方法でαに属する次のような素イデヤノゆ を見出 しうる。り ＝α：（plp2…p6）＝η葛。以上より定理は訂明された。
定理1から次の系をうる。
系
Rを条件1，皿を満足する環として，ηをαの素イデヤルとする。診は少くとも一っのαに 属する素イデヤノレを含む。
定理2
Rを条件1，Hを満足する環，ηをイデヤルαの素イデヤノレとする。十分に大きな自然数n に対して
Pη⊆≡（P1， P2…， P8， α）⊆P
となるような有限個の元素p・，p2…，・p3をとることができる。
証 明
αのHalbprimidea1を争とすると定理1から｛）坤、∩…∩Pηで，P・，P2，…，擁はαに
4 江 口 俊 男
属する素イヂヤルである。従ってイデヤル商r・＝α：p・η2…p％はα≒Rのときαの真部分で ある。r・が素ならば定理1の系から＃・，…，概の何れか，例えばP・を含む。従ってρ孟2η2…
ηη⊆αである。r・が素でないならば定理1の証明の場合と全く同じ方法で素イデャノゆ・ ＝r1：
（r1）．r1 ∈r1，r、＝r1：ρ、 と』おくとr2はr・の真部分である。r2が術素でないならば， 上 の操作をくり返して連鎖α：η・…搦⊂α：ρ・一物P1 ⊂…をうるが条件1から終には素イデヤノレ P 筋＝α：坤2・・転P・ …P ㎜一・が得られる。定理1の系から十分に大きな整数a・，a2，…aπに対
してP・σ・P2α2…ηπαπ，⊆α。各P喜は争の因子であるから整数々・＝a・＋a2＋…aπに対して （1）ξ）左・⊆α
定理1の系からη⊇P・ と仮定しうる。今次のような元系p・・をとる。p・・a・，p・・卿￠（づ＝
2，3，…，n）。 このときη・⊇（p・・，争）で定理1からP・は（p・・，争）に属する最小の素イ デャルである。（p・・，争）が他の最小素イデヤノレP2 をもつとすると，冨は真部分でP2，一・，
Pπの何れか，たとえばP2と一致し，P11年P乞（づニ2，3，…n）である。P12をP、の元とし，
（P・・，争）に属するP・以外の各素イヂヤルには属しないものとする。するとη・は（p・・，p、2，
争）に属し（p・・，p・2，痴）に属する最小の素・イデヤノレの真部分となる。条件1から素イデャル の連鎖の有限性から，この操作は有限で終り，P・は（P・・，P・2，…，P・π、，争）に属する唯一 の最小素イヂヤルとなる。従って
（2）PII⊆⊂P・・，P・2，…，P・π、，争）⊆ρ・
再びP2・をρ・に含まれないηの他の元とすると（P2・，り・）に属する最小素イデヤルや2・が あって
（3）P⊆η2・⊂η・
上に得られた結果から
（4）争を2⊆（P1，η1），pl2⊆（P22，…P2η，争、）⊆η2、，種2、
2
亀は（P、1，η、）に属するHalbprimidea1である。連鎖P・Q2・⊂・一Qは有限で終らねば ならぬから終には
（5）争た1⊆（P f，悔．1、），ηεε⊆（P呂2，Pε3，…，P伽 ，≦）呂一1）⊆≡P
ここに争6−1は（P 1，ρ 一11）のHalbprimidea1である。今n＝k1×k2・一×11×…×18とおく
と，（1），（2），（4），（5）から
ρπ⊆（P11， …2 P1η1ンP21y …， P2η2， 一・P81， …P漉6， α）⊆ρ かくて定理2を得る。
定理3
条件1，nが満足されるとき，イデヤノレαに属する素イヂヤルの連鎖α⊂…⊂p組⊂p乞⊂…
⊂ρ2⊂η、は有限である。1
証明
＃・，η2，…，Pδ一・をαに属するすべての素イデヤルとする。定義から
可換環におけるイデヤル論 5 （1）PFα：（γ6），γ￠∈α（i＝1，2，…）
また
（2）α：P・⊂α：P・P2⊂…⊂α：P・……靴⊂α：η・P2…η窃ロ乞＋・⊂……
汽＝α：や・…鞍＝α：P・一・…P鵡＋・から（」）によって汽＋・⊂r乞，（γ擁）p・…η ⊆αとなるが楓・＝α
：（γ￠＋、）であるから矛盾P、…η盛9￠＋、を得る。故にη ＋・⊂籍 ⊂…⊂P・である。条件豆から（2）
は有限である。
定理4
条件1，豆を満足する環Rの任意のイデヤルαに属する素イデヤノレの数は有限である。
証明
定理1によりαには少くとも一つαに属する素イデヤルがある。今η・，P2，・・9，砺，…を αに属する素イデヤルとする。
（1）ηf＝α：（γ ），γ痒α（斧1，2，…，％，…）
診、，…，Pη，…の部分集合勘，陣，・・ によって連鎖P ・Qδ2⊂……を作るとき条件1からこ れは有限であり，また定理3によって，や・，り2，…から連鎖融⊃pフ2⊃…⊃αを作るとこれも また有限でなければならぬ。定理1によってαには有限個の最小素イデヤル因子η1・，P・2，…，
η殉があるがすべてこれらはαに属する最小素イデヤノレである。上述の事実によりαに属す る素イデヤルP2・，P22，…，伽2…があって，これらはP・・，…，η・π1に含まれる最小の・かつ・
それら相互の間には最早やαに属する素イデヤルが存在しない様なイデヤルである。砺，衿22・
・・ 互にunteilberでイデヤヤル商
α⊂α：P2・⊂…⊂α：P2・P22…り2π2⊂…
は条件1から有限の項で終る。更にαに属する素イデヤルP3・，陣，…，P鞠があって有限値 η3をうる。而もこの操作は有限で終るから本定理は証明された。
定理5
Rを条件1，1を満足する環，ηをイデヤルαに属する素イデヤル，勉を十分に大きな整数 とする。籍こα：（p），p年α，p∈印㎜
証明
定理2から，
（1） ‡〕π⊆（P1， P2ン …， Pε， α）⊆η
b＝（p・，p2，…，Ps，α）とおくと，留⊆b⊆η。他方，条件Eから，十分に大きい整数k・に対
して，
（2） α：（P1）⊂α：（P12）⊂…⊂α：（P1柄）二＝α：（pfl＋1）＝…
が成り立つ。更にα・＝（α，（p・冶1）R）とおき，適当な整数k2をとると，
（3）α・：（P2勘2q1）⊂α・：（P2㌃2）＝α、：（P2㌃2＋1）＝…・・
更にα2＝（α、，（p幽）R）＝（α、，（p一あ1）R，（p2七2）R）とおきイデヤル商α2⊂α2：（P3）⊂α2：（P32）
6 江 口 俊 男
⊂…を作る。かくて終に十分大きな整数尭、に対して，
（4） α8＿1：（Ps㌃8−1）⊂α8＿1：（Ps喬s）＝αε＿1：（P8㌃s＋1）ニ……，
α8ニニ（α8＿1， （Ps㌔）R）
となり糸冬壱こは
（5）α⊆α、⊆α2⊆一一⊆αs，
αF（α，（P、竜1）R，（P2喬2）R，…，（P勘R），
をうる。さてん1，為2，…，ん、の最大のものをんとし，♂＝h（s＋1）とおく。b己の元pに対
し，
（6）P二α：（P） P年α 従って（1）から，
（7）P…≡γ、P、㌃＋γ2P2竜＋……＋γ8P8㌃（α），P年α
をうる。ここにγ・，γ2，…，γ，はRの元である。この式にPsを乗じて，（6）と（5）を用い，
γ，P，勘＋1∈α8−1或は γ，∈α，一1：（P8冶＋1），ゐ≧ん8
（4）よりγ、p、㌃・∈α、．・であるから（7）を次のように書き直すことができる。
P牽≡γ1 P1七十…十γ8＿1 P仁1（α）
γ・ ，γ2 …，γ s一・はRの元である。この操作を続けてゆくと終には
P……≡…γ1（3−1）P1κ （α）
（6）によって，γ1−1pを＋1⊂αとなり，（2）によって矛盾P⊂αとなる。この事からBは，η＝α：
（P）， P∈αなる元を含まない。卿＝1nとおくと（1）から糟は，P＝α：（P），P年αなる元P を含まない。証明終り。
かくて本節の目的を証明することができる。
主要定理
Rを条件1，豆を満足する可換環とする。Rの任意のイデヤルは有限個のStarker Primar−
idea1の共通分として表わされる。
証 明
Rの任意のイデヤノレをαとする。定理4よりαに属する素イデヤルη・，P2，…，慨があり 定理5より，pFα：（Pゑ），P緯αであるような動を含まない所のイデヤノレ（P凸，α）をも つ。ただし吻は十分に大ぎい整数である。いまη においてηバこ属しない或る元をかけて
（η凸，α）に属する様な元の全体をq￠とする。恥はηδに属するStarker Primaridea1であ って，（P凸，α）のteilerである。終にはq￠にはηFα：q6，q蒜αなるq￠はなくなる。従 ってやFα：（q ），q￠∈q信，q痔αとするとq￠の構造から
γq乞⊂：（物騙乞シ α）， P5＝α：（γq6）， γq ∈α
γはρ」に属しない元であるが，これはすでにのべた（p芦，のの性質に矛盾する。
今，b＝q・∩q2∩…∩q恥とおく。q一，…，q島は上のようにして得られたすべての準素イデヤル
可換環におけるイデヤル論 7 で，夫々αに属する素イデヤルP・，P2，…，P七がある。明らかに
（1）α⊆b
である。もし，α⊂bとすると，αに含まれないbの元dが存在して，この元dはαに関して nilpotentであるから， γ＝α：（d）⊃αである。条件豆によって，定理1の証明の方法をく
り返す事によって
P＝α：（q），q∈b，q年α
ここにq＝dd・d2…d6でηはαに属する素イデヤルである。ηはp・，…，P㌃の何れか一つに一 致し，q⊂qεとなるが之は琳の性質に矛盾する。従って（1）から
α；01∩…∩q㌃
となり，q6はαに属する素イデヤルηδに属するStarker Primaridea1である。かくて本定 理は証明された。
豆 Starker Prim翫idealによる分解定理について（2）
本節においては可換環Rの任意のイデヤルが有限個のStarker Primaridealの共通分とし て表わされる為の必要条件は，
1．素イデヤルの連鎖p・⊂P2⊂…は有限の頂で終る。
2．イデヤル商の連鎖α⊂α：α・⊂α：α・α2⊂…もまた有限の頂で終る。
である事を論ずる。
定理1
可換環Rの任意のイデヤルが有限個のStarker Primaridealの共通分として表わぎれると する。このとき任意の元aエ，a2，…，砺，…に対して，イデヤル商α⊂α：（a・a2）⊂……⊂α：
（a、a2…販）⊂…は有限の頂で終る。
証明
恥，q2，…，％をStarker Primaridea1とし，
α＝q1∩q2∩一・ ∩q処
とおく。η乞をq乞に属する素イデヤルで糖⊆ロ乞，h＝々・＋鳶2＋…＋々％＋1，更にp・，p2・…鼻は α⊂α：（P1）⊂：α：（PIP2）⊂… ⊂α：（PIP2…P㌃）
となるような元で，各Pδ（づ＝1，2，…π）に含まれないとする。α：（P乞）＝（q・：（P6））∩…∩（q。：
（p5））＝q1∩…∩qπ＝α。元p1，…，pz，pz＋1を各η1，…，η の元で，」＝々1十々2十…々 と する。するとP赤⊆qεからPIP2…Pε∈q乞（6＝1，2，…，渉）となりq1：（PIP2…pz）＝R，…，qδ
：（P、P2…Pz）＝R，（1）から矛盾α：（P、…Pz）＝α：（P・…PzPz＋玉）が生ずる。この結果を利用し て次のことを得る。
連鎖α⊂α：（p・）⊂α：（p・p2）⊂…の長さはkより長くはない。
8 江 口 俊 男
この定理によって我々は，環Rの素イデャル連鎖の有限性を証明するが，先づ次の定理2，
3，4を補助として述べる。以下Rは定理1の場合と同じ条件を満足するとする。
定理2
Pを環Rの一つの素イデヤルとする。ηがイヂヤルα（≒R）に属するのは，や二α：（γ），γ
∈αなる元素γが存在するときに限る。
証明
（1）α＝q1∩02∩…∩qπ
をαのStarker Primaridea1による最短の表現とし，q が属する素イデヤルをP とする。
bFq、∩…∩q伺∩q乞＋1∩…q％はq蛋に含まれず，糖⊆q6なる正整数々6が存在するから，（1）に よってP弄b￠⊆αを得る。ゆえに恢γ乞）⊆α，γ庭b乞，γ痒αなる一元索γ￠が存在する。η∂γ に対してγγ ∈αとなるならば，γγ6∈q6，γ帥6によりγ6∈q ，従ってγσ∈αなる矛盾を生 ずる。ゆえにpFα：（γ∫），γ庭αとなる。
（2）η＝α：（γ），γ庄α
なる元素γが存在するとする。更にゃはすべてのη，…，P．と異なっていて，や、，…，阪に は含まれず3残りのP叫、，…，η．のいづれにも含まれるとする。η（γ）⊆α⊆恥によって上の k皿＋1仮定から γ∈娠仁1，2，…，卿）を得る。蜜た（2）によって（γ）P榊1…η診軽…αをうるから，
γγ建αなる元素γ をq馳＋1∩…∩q．内に見出しうる。これと上述のγの性質からγγ ∈α なる矛眉を生ずる。ゆえにρはP1，P2，・や．の何れか一つと一致せねばならない。
定理3
αをRの任意のイデヤルとする。ηをαに属する素イデヤノレ，qをηに属するStarker Primaridea1とすれば，qがαの準素成分である為に必要且充分なる条件は，qがαを含み αに含まれない町の元素qに対して，4＝α：（q）は決してηに属するStarker Primarideal にならないことである。
証萌
（1）α二q1∩q2∩…∩％
を準素イデヤルによる分解とする。
α＝q6のときは明らかである。故にn≧2の場合のみを考える。q痒α，q￠∈q とし，q」α：
（q6）をη∫に属する一つのStarker Primaridea1とすれば，適当に大きな正整数に対して 犀⊆q 。今準素成分q1，…，q。の中でP轟に含まれない凡てをqδ1，q霧2，…7q㌔とすれば，
q の性質から
η西ご1q彦2……q翫（q￠）⊆α，q￠1q 2……qδ馳（q堪）牢α
を得る。従って
（2）やδ（γ盛）⊆α・（γ名）⊆（q6）7（γ￠）⊆q6∫（ブー1・2・…・…窺）・γ妊α
なる一元素γ6が存在する。他方d）から恢γ蛋）⊆恥（ブ＝1，2，……，π）を得るから，（2）より凡て
可換環におけるイデヤル論
9
の％に含まれることとなり，（2）の最後の関係と矛盾する。故にαに属しない元素g志がαの準 素成分06内にあれば，イデヤル商q ；α：（qσ）はP￠に属するStarker Primaridealにならな
い。
ロをαに属する素 イデヤルとし，qをαを含みηに属するStarker Primaridea1とする。
更にαに含まれないqの元素qに対して，イデヤル商q ＝α：（q）はPに属するStarker Primaridea1にならないとする。％の属する素イデヤルp虚は定義によってαに属する素イデ
ヤルである。従ってηは悔の内の一つ，例えばP1と一致する。α⊆qであるから α⊆b訓・（q2∩q3∩∩q％
を得る。若しα⊂bとすれば，αに属しないbの一元素dが存在する。dはαに関して巾零 であるから，r＝α：（d）⊃αを得る。rがイデヤルでないならば，r、＝α：（dd1）⊃r⊃α，dd1嘩α なるように元素d・をとりうる。然し定理1からこのような操作は有限回で終らねばならぬか ら，遂にはq ＝α：（d・d・…賑），dd・d2…d礁α，dd・…砺∈bなる素イデヤルP と元素dd・d2…
煽とを得る。定理2によってη はαに属するから，例えばや ニPとなる。従ってq内にあ ってαに属しない元素dd・d2…d励に対して，イデヤル商α：（dd1…d㎜）がPに属するStaτker Primaridealになって，向の性質と矛盾する。故にα＝bとなり，またα≒qなれば，q亨q2∩
q3…∩％であるから，qはαの準素成分である。
定理4
環Rの素イヂヤノレをη，任意のイデヤルをαとし，次の関係を仮定する。
や⊂α，（P，α溜）ニ（P，α2冶）＝5
々は有限なる一正整数を示す。このとき，剰余環R／η＝頁においてbに対応するイデヤルb は，Rと合致して単位元素をもつ。
証 明
頁に於てαに対応するイデヤルを己，とすれば
万＝伊二査2㌃≒（0），
となる。環Rの仮定から豆に於ても分解が可能である。その上Pは素イデヤルであるから，
iRには零因子がない。それ故に以後Rは零因子を有せずとし，
（1）b；α治＝α肋≒（0）
なる条件より，b＝RにしてRに単位元素が存在することを証明する。
bをb内の零でない一元素とすれば，
（2） （b）＝q1∩q2∩…∩q％
（3） （b）b＝＝q1 ∩σ2 ∩…⊃qら
なる分解をうる。若し（b）がRに属するStarker PrimarideaIであるならば，適当なる正 整数」に対して（b）⊇RZ⊇α㍑となる。故に（1）から（b）＝b，従って（b）＝（b2）をうる。
これからbeニbなる元素eをb内に見出し得て，零因子がないことから，eはRの単位元素
10 江 口 俊 男
であって，め＝Rとなる。それゆえに（b）がRに属するStarker Primaridea1でない場合を 論ずればよいがその為には次の二つの場合に分けると都合がよい。
1
（b）に属する素イデヤル恢z；1，2，…，n）はいづれもαに含まれないとする。定理2よ
り
（4） Pε＝（b）：（γ乞） γ乞∈（b）
なる元素γ5が存在する。若し（γ乞）α治⊆（b）α竜であるならば，（γ乞）ακ⊆（b）⊆qゴ（ゴ＝1，2，
吻）を得る。切はαを含まないから，（γ6）⊆qノ（ノ＝1，2，…，π），即ち（γ￠）⊆（b）なる矛 眉を生ず。ゆえに（γ￠）α性（b）α左であるから，γ￠a年（b）α尭，a∈バなる元素aが存在す る。然もこの場合aをη∫に含まれないように取りうる。若し一つの元素γに対して，γγ轟年
（b）α㌃⊆（b）であるならば，（4）によって，γa帥￠となる。然しα∈P活よりγ∈悔である。
故に（b）α碗（γ乞a）⊆鞍。従って（4）とa∈α彫とから，PF（b）b：（γ￠α），γ乞a∈（b）bとな るから，定理2によってり透はイデャノレ（b）bに属する。かくして（b）に属するすべての素 イデヤルは（b）bにも属する。（b）はRに属するStarker Primaridea1でないから，（b）b もまたそうではない。今q6の中の一元素q6に対して
（5） q￠ ＝b：（q乞），q乞年（b）b
がPεに属するStarker Primaridea1であったと仮定する。もしη活に含まれない一元素γに 対して（γ）（q￠）⊆（b）であるならば，（γ）（q￠）b⊆（b）bとなり，（γ）bがq乞に含まれない
ことから，（5）に対して矛盾を生ずる。故にq￠ ⊆（b）：（q6）⊆P￠，（q6）奪（b）であるべきであ る。この関係をもととして，定理1により元素q盛q …q（m）を（b）に含まれないように，且 叉イデヤノレ商（b）：（q悟q 一・q（勉））がP盗に属するStarker Primaridea1であるように選び
うる。これは定理3によって，恥が（b）の一準素成分であることと矛盾する。ゆえにq渉内の 元素に対しては，（5）のイデヤノレ商はP5に属するStarker Primaridea1ではあり得ない。従
って定理3によって，（b）のすべての準素成分qdま（b）bの準素成分となる。以上より
（6）（b）b＝q1∩q2∩…∩qπ∩q 処＋1∩…∩q π，
をうる。もしq ．＋、がbを含まねば，（b）b⊆q 、＋、からb⊆p ．＋、となる。一方において（b）⊆b＝b2 であるから，（b）⊆b 9 私＋19 、＋1なる矛盾を生ずる。ゆえにq 、＋1，一・9q ．・は皆元素bを含 まねばならぬ。それゆえに（6）から（b）b＝（b）をうる。従ってbe＝bなる元素e∈bが得ら れて零因子のないことからeはRの単位元素となり，b＝Rともなる。
皿
（b）に属する素イデヤノレの内の少くとも一つがαを含むとする。（2）に於て（b）に属する 素イデヤノレ恢仁1，2，…， ）の内で，悔＋、，厩＋2，…，Pだけはαを含み，他はすべてαを含
まないとする。（1）より（b）⊆b＝b2であるから，（2）によって （7） （b）こq1（q2∩…（q勘⊃b
可換環におけるイデヤル論 11
となる。若し01∩02∩…∩恥⊆bであるならば，（b）＝bとb2二（b2）となり，これからb二R で，然もRに単位元素が存在することを容易にうる。それでqt∩q2∩…∩q藤bなる場合を次 に論ずる。ηゴはαを含まないから，1の場合と全く同様にして，q、，q2，…，恥は（b）bの 準素成分となる。故に（3）から
（8）（b）b＝q1∩q2∩…∩q准∩q 勧＋1∩…∩q π
をうる。ここで輪＋、に属する素イデヤノゆ 冶＋、がαを含めば，明らかに（b）9二b2二b⊆b を＋1 となる。また埠＋1がαを含まねば，輪＋、が準素イデヤノレであることと，（b）b⊆輪＋、とか ら，（b）⊆輪＋、を得る。従って（8）から
（b）b＝q1∩q2∩一・∩q潟⊃（b）
を生じ，（7）によって（b）b二（b）をうる。ゆえにb＝Rであり，Rは単位元素を有する。か くて定理4は証明された。
以上の諸定理を補助として，次の定理を証明することができる。
定理5
環Rにおいて共通分々解が可能であるならば，任意の素イデヤノレの連鎖P・⊂P・⊂P2⊂…は有 限個の項で終らねばならない。
証明
（1）P・⊂P・⊂＃2⊂一・・
なる素イデヤルの無限の連鎖が存在すると仮定し，これより矛盾が生ずることを示す。上の素 イデャルから次のイデヤル
（2）α＝（ρ1yη22，P33，…，陽……）
を作れば，η・⊂α⊆Rとなる。共通分々解の仮定によって，
（3）α＝q 1∩q 2∩…∩q π となり，（1），（2）と（3）から明らかに
（4）わ・⊂η玉⊂η2⊂…⊂P 6（♂＝1，2，…，n）
なることを要する。またq 6はqρ6に属するStarker Primaridealであるから，
P 瓦￠≦q 乞 （づ＝1，2，…，n）
ゆなる有限の正整数h省が存在する。それでh1，h2，，…，妬の内の最大のものをhで表わせば，
（4）によって
（5） p｝⊆≡q ￠ （♂＝1，2… ，勿，ゴニ1，2，3，・一）
を得る。今次のようなイデヤル
α9ニ（P、，P22，一・，P2，P傷＋1，擁＋2，…）
を作れば，（2）によってα⊆α である。また（2），（3）と（5）から，α⊆q 1∩q 2∩…∩q 、を得るから，
α二α となる。即ち
（6）α＝（η⊥，P，22…，P髭，淵，…，擁，…）
12 江 口 俊 男
ニ（η1，η22，…，P髭，η髭＋、，擁＋2，…，P2，…），h≦k
となる。この式から
P島＋、≦α＝（P、，P22，…，P髭‡i，…）
を得，従って
α二（η、巾22，…，楓、（η・中2 ，…，P髭‡1，…），η髭‡塞，…）
＝（P、，P22，…，P髭，η髭‡1，離，…）
となる。更に同様の操作を行って，
α一（や、，P22，…，㍑，ηん奪、（η、，P22，…・淵，…），畷，…）
＝（ρ1，η22，…，焼，レ髭‡1，P髭‡舞，…）
を得る。かくして一般に
（7）α二（η、，P22，一、 ，P髭，P髭‡磐，P髭‡1，…），k・≧0
となり，klは任意の整数としてよい。また（6）と（7）とから，
α＝（P、，り22，…，臨辮を1，や髭‡1，鴇＋3，…）
をうるから，（7）より
α＝（P、，…，P島，η髭‡亨1，η為＋2（P、，…，η島，P髭‡乍1，隈，…），η鵬，…）
＝（や1，…，擁，協‡を1，擁‡1，擁‡1，…）
をうる。順次この操作をくり返して，一般に
く8）αニ（η1，…，P髭，擁‡蛋1，隙奮2，礁ξ3，…）
k1≧0，k2≧Ok3≧0，……
なる関係をうる。ここでk1，k2，…は全く任意の整数としてよいのであるから，（6）と（8）とによ って
（9）α＝（P1，…，協，α2）
なる関係を生ずる。
今b＝（擁，α）とおけば，b⊃η乙1であって，（9）より b＝（P瓦，α）＝（梅，α2）駕（ηん，b2）
となる。ゆえに定理4によって，剰余環RニRIP溺こおいてbに対応するイデヤル万はRと合 致し，iRは単位元素6をもつ。また（2）よりb＝（擁，礁1，…，殿，…），m≧h＋1であるから，
B＝（隙L・・♂，石撹，…）でなくてはならない。ここに転は翫に対応する百のイデヤルを示す。
石の元素6は，
e＝η毎＋P2＋一・＋P㌦
なる式で表わされ・P6．（ブ＝1・2・…・％）は∬4（ブ＝1・2・…・n）の元素を示す。従ってズ．をづ1，
づ2・…i。中の最大とすれば・6∈犠．即ち五 ．＝頁となる。一方（1）から連鎖転、1⊂翫＋、⊂…は無 限であるからここに矛盾を生ずる。
本定理を以て本節の目的は果された。
可換環におけるイデヤル論 皿 Schwache Prim銭ridealによる分解について
15
可換環Rに於て，素イデヤルによる連鎖条件が満足されるとき次の結論を得ることができ
る。
Rの任意のイデヤルは，次の条件を満足するときに限って，有限個のSchwache Prinlar−
idea1の共通分として表わされる。
条件（1）
Rの任意のイデヤルをαとする。 Rの一元素bに対してイヂヤル商の連鎖α：（b）⊂α：
（b2）⊂…は有限の項で終り，一定の正の整数nに対し第n項以下の値はすべて一っのイデャ ルrに一致する。
条件（2）
かくして得られたイデヤルrの数は，αに関して有限一定である。
以下，この2条件とイヂヤル分解の関係について考察するが始めにHalbprimidea1による 連鎖条件が与えられた環のイデヤル分解について考察する。
可換環Rの一つのイデヤノレを争とする。剰余環R櫛にはnilpotellt elementが存在しな いとき，導をHalbprimidealという。イデヤルαに関してnilpotelltな元のすべての集合 はHalbprimidea1であり，これをαに属するHalbprimidea1という。
先ず我々は次の条件を設ける。
条件1
｛）、，軌，一・を環RのHalbprimidea1とする。連鎖争、d〉2d）3⊂…は有限の項で終る。
この条件に基き，次の定理を証明する。
定理1
可換環Rが条件1を満足するとき，Rは次の性質をもっ。
1．素イデヤルの連鎖P、⊂P2⊂…は有限の項で終る。
2．任意のHalbprimidea1は有限個の素イデヤノレの共通分として表わされる。
逆も成立する。
証 明
素イデヤルPは争の特別の場合であるから，軌⊂軌⊂…からP1⊂η2⊂…は明らかに成立す
る。
争が素でないとき，二元1素α，βに対して α∈り，βq…争，αβ∈争
とおくことができる。争．＝｛）：（α）を考える。軌はHalbprimidea1で軌⊂争である。争1 が素でないとき，軌こ｛）、：（α、）＝必：（αα1）とおくと軌はHalbprimidea1で軌d〉、で ある。以下これを繰り返していくと条件1よりこの操作は有限で終り，遂にはP、；争：（γ、）
工4 江 口 俊 男
γ1年P1をうる。かくして得られたη、，P2，…は素イデヤルで 争⊆b＝P1∩P2∩…
である。もし，㊨⊂bとすると，d年種，d∈bなる元素dに対してγ紺∈争（6＝1，2，・一）と なり，P＝｛）：（d ） d 樋）d ∈b γ ∈Pなる素イデヤルηが得られ，従ってり＝ηδとなり
γ∫∈ηδ。これはγ活∈物に矛盾する。ゆえに，争＝b＝P、∩や2∩………。
γ盗∈朽，γδ∈印5だから争＝η、∩η2∩…は最簡表示で争⊂η2∩ρ3∩…∩η．∩………から彬の数 は有限であることを知る。
逆に，軌⊂観⊂…をHalbprimidea1の連鎖とする。｛〉6＝P乞1∩…∩福乞ここに勘（ブ＝1・2・…n乞）
はや6一、（々＝1，2，…κ乞一、）の因子であるからη6−m…η洞．篇乞一】9） 一1⊂軌⊆Pりである。この事か ら素・イデヤノレの連鎖腕、⊂わ2物、⊂…が得られ，その結果連鎖軌⊂軌⊂…は性質1によって有 限で終る。
直ちに次の定理をうる。
定理2
条件1を満足する環Rにおいて，イデヤルαの素イデヤルをηとする。ηはb＝（α，p・，
p2，…，％）に関してnilidea1である。p6はやの適当な元である。
証明
争をαに属するHalbprimidea1とする。定理1より争＝や、∩や2∩一・∩や．，h⊆ηとおきう る。元素P、を，P、∈＃、，P1∈争なるようにえらび，＠，P1）に属するHalbprimidea1を 軌とする。
｛）1＝や1∩η12∩…∩や｝処、，≦）⊂争1⊆ρ1
｛）1に同じ手続きを適用して
争⊂ξ）1⊂争2＝り1∩η22∩…∩や2隔，
軌は（勒，P2）⊆η1に属するHalbprimidea1である。この操作は条件1より有限で終り や1は（争、一、，P治）に属するHalbprimidea1である。軌の性質からη1は （α，P1，P2…，
恥）に関してnilidea1である。
ここで更に次の条件を追加する。
条件H
Rの任意のイデヤルをαとし，一っの元素bに対して
αニ（b）⊂α（b2）⊂… ⊂α：（bπ）＝α：（b物＋1）⊂＝…＝α1 α：（b1）⊂α：（b丑）⊂…⊂α：（br）＝…＝α2， …
かくして得られたイデヤルα、⊂α、⊂…はαについて一定の長さで終る。
定理3
Rを条件1，豆を満足する環とし，αを準素でないイデヤルとする。γq…αなるRの元素γ に対して，q＝α：（γ）なるPrimaridea1がある。
可換環におけるイデヤル論 15
証明
αを準素でないとすると，α1＝α：（b）⊃α，b∈…αなるイデヤノレα1がある。争をα1に属 するHalbprimidealとすると定理1より，｛）＝∩P5（」＝1，2，…12）．条件1より
α1⊆α2一α1：（γr・）二η1：（狸・＋ ）91，γ1∈η1
P1に含まれない元γ2に対してα2⊂α2：（γ2）のとき，α3＝α2：（γ伊2）＝α2＝（γ2）％＋1⊃α2⊃α1 条件豆よりα1⊂α2⊂… ⊆η1は有限で
や1⊇απ＝απ＋、＝……＝α1：（γρ），γ ∈η1
α。はP1に属するSchwache Primaridealであらねばならぬ。然らざればα．⊂α．＋、である
から。
そこでα＝q，γ＝bγ とおくと
町＝＝α1：（γ ）二・α：（bγF）＝α：（γ）， γ（睾α
でqはη1に属するSchwache Primaridea1である。本定理から αに属する素イデャル の 概念を次のようにのべる事ができる。
定義
Pをαの素イ密ヤルとする。イデヤノレ商q；α：（γ）γ年αがやに属するSchwache Primaridea1であるときρをαに属する素イデヤルと呼ぶ。
定理4
条件1，皿を満足する環RのPrimarでないイデヤルをαとし，りをαに属する素イデャ ルとする。このときαに属するSchwache Primarideal q （⊃α）が存在して，q の任意の元
γ （嘩α）に対してイデヤル商α：（γ ）はηに属するSchwache Primaridealではない。
証明
定理2よりηはb＝（α，P1，P2，…，％）に関してNilidea1である。条件豆から，
じ1＝α：（P窟1）；α：（pf1＋1）
r2＝α1：（P穿2）＝α2：（P窒2＋1）
r勉＝；α㎜＿1＝（P跳鎚）＝α勉＿1；（P鑑鵠＋1）
ここ1こ，α1＝（α，PrlR），α2＝（α，PrIR，P登2R），一 ，α鳴一1・＝（α，P㍗1R，P窒2R，…，P孟1lfl
R）。いま翫＝（α，P？ユR，P22R，．…，P》R）とおくとρはα物に属するHalbprimidealで
ある。
．り⊂Rの場合・条件豆より・賜からP・に属するSchwache Primarideal q を定理3の様 にして作りうる。同時に，q儀販：（γ），疾即をうる。q が定理の準素イデヤルであること を示す。q の元γ （年α）に対して，q ＝α：（γ ）はηに属するSchwache Primaridealで
ある。
γρ∈q より
（2） γγ ∈α隔，γγ ≡…γ1Pマ・＋γ2P穿2十…＋γ晒P窺肌（α）
16 江 口 俊 男 γ、，γ2，…，γ那∈R
やはq に属する素イデヤルであるから十分に大きい自然数々に対してpをはq に属する。
従って γ p砦∈α（♂＝1，2，…，卿）
（2）から γγ p盈≡≡γ箭p第皿輔≡≡0 （α勉＿1）
（1）に含まれた条件から 砺…0（r備） 砺pか≡D（賜一、） となり（2）より γγ …γ、 P㍗・＋…＋γ挑一1Pπバ1（α）
π乙一1 この操作をくり返して終には，
γγ …≡γ1篇一1）pF1（α） 更ぐこ γ1那d）prエ＋詫…0（α）
（1）より γγ …γ1皿一1）pf・≡0（α）であるがq ＝α：（γ ）だからγ∈q ⊆Pが先きのγ∈印 に矛盾する。
R＝pのとき，
賜はRに属するPrimaridea1であるから販の元γ に対して，q ＝α：（γ ）はRに属する 準素イデヤルである。従って十分大きい自然数たに対して γβ薩⊆α，γ ∈賜から
γ …γlpf・＋…＋γ？乃P舞肌（α），玩鳳鵬軸∈賜一1，玩Pか∈賜一1，従って， γ ≡γ1ρP？・十
…＋γ ル1p診f1（α）この操作をくり返して，先きの場合と同じように矛盾γン∈αに達する。
かくて賜は準素イデヤルである。
定理5
Rの任意のイデヤルαに属する素イデヤルの数は有限である。
証明
㊨をαに属するHalbprimidea1とする。定理1より，毒）＝P1∩P2∩…∩ρ．，P ￠：αの最小 素イデヤル因子。
先づ，η1 ⊂P2 ⊂冨⊂…をαに属する素イデヤルの連鎖とする。条件1よりこれは有限の長 さをもち，αに属する最大の素イデヤルη を見出す。今αに属する素イデヤルや6 による連 鎖η1 ⊂…⊂η2 ⊂や1 ⊂η を考える。この連鎖は有限である。何故ならばP の定義からq6 ＝ α：（γ乞 ）なるγ があり，qδ はや喜 に属する準素イデヤルである。P ∈η4 ，P ∈ρなる元
素p に対し条件Hから
r＝α二（〆）＝α：（P雁1），γ ∈r，γ霊 q…r（♂＝1，2，…）
且，q ＝α；（γ ）はη に属する準素イデヤルである。更にP1 q…P2 ，P、 91 なる元P1 を とると
r1＝r l（P1脚）・＝r：（P1 七二＋1），γ ∈r1，γ1 ∈r1，γ！年r1（ ＝2，3，…）。
条件皿からこの操作は有限であり，従って，ρ1 ⊂…⊂や2 ⊂η1擢⊂P は有限である。
次に，ρ1 ，冨，…をαに属する素イデヤルとすると，桜の数はαに関し一定数λより大 きくはない。何故ならば今，λより大きい数mがあるとすると次のようなP￠ ∈桜がある。
P 貸…や1 ，や2 ， …， P 乞＿1，1）㌔＋1， …，η 励
可換環におけるイデヤル論 ユ7
町1 ＝α：（γ1 ）から条件Eによって
r1＝α：（P1欄），α⊂r1，r1 ∈r1，rご ∈r1，（♂ニ2，3，…）
なるr1をうる。同じようにして
r2＝r1：（P2 ㌃2），γ〆∈r2，γ乞 歌2（づ＝3，4，…），r1⊂r2 この操作を有限回くり返して，長さmの
r1⊂r2⊂…⊂r伽
をうる。これは連鎖の長さがλ＋1より小さいということに反する。
定理6
Rを条件1，Hを満足するとする。Rの任意のイデヤルは有限個のSchwache Primarideal の共通分として表わせる。
証 明
αに属する素イデヤルをh，ρ2，…，擁，（勉は定理5より有限の数を示す）。q1，q2，…，
航をSchwache Primaridea1（定理4より）とす。
いま，b＝q1∩q2∩一・∩賜とおくとα⊆b。dをαに属しないbの元素とするとαに関し てdはnilpotentである。従ってαのすべての最小素イデヤルは定理3よりαに属せねばな らぬ。故にα1＝α：（d）はαの真部分であり，α1から定理3の証明における様に準素イデヤ ルq＝α：（γ ）が得られ，α1が準素であればγ ニd，然らざれば，γ ＝γdである。ρに属 する素イデヤルやはη1，ρ2，…，砺の何れか一つに一致する。然るに他方η1の特質から，
γ往q1で従って仮定，γ ∈b⊆q1に反する。この定理で示されたSchwache Primaridealの 数については次の定理が成立する。
定理7
定理6における最短の弱準素成分の数はαに属する素イデヤルの数に等しい。
証明
り1，η2，…，翫をαに属する》素イデヤノレとする。q雄二1，2，…〃2）をη に属するPrimar−
idealとするとq悟 α：（γ￠）なるSchwache Primaridea1が得られる（定理4）。
pフ⊂η6のとき，q菖 ニα：（γ6pフ），動∈恥なる様な元素pノ∈Pゴがある。
p，⊂Pノのとき，γ6∈qゴである。この結果，
q6 ＝α：（γ♂）γ乞 隼q乞，γ盛∈q盛（ブ＝1，2．…勉，祷ブ）
となり最短の表現をうる。
他の或る表現をα＝q1 ∩q2 ∩…∩q！とする。η！はq！に属する素イデヤルである。P1 をり！の中の最大のものとし，P1 （‡斬（ブ＝1，2，…，卿）とする。q2 ∩q3 ∩…∩q♂⊆q，（ブ＝1，
2，…，窺）から矛盾q2 ∩…∩q！⊆αとなるからP1 はP」（ブ＝1，2，…吻）の最大のものP1 に含まれねばならぬ。＃1 ⊂P1のとき町2∩…∩％⊆q6℃＝1，2，…海）から矛眉q2∩…∩晦⊆α。
ゆえにη1＝η1 。P1＝η1 はη7η の最大のものであるから，p1∈q1，p1∈q1 ，p1年p，（ブ＝
18 江 口 俊 男
2，3，…吻），P1卸！（♂＝2，3，…々）なるP1をη1の中に見出すことができる。故に（01∩・一
∩q筋）：（P1）＝（q1：（P1））∩…∩（q励：（P1））によって α：（P1）＝q2∩…∩q㎜＝q2 ∩…∩q！
これをくり返して々＝〃zを得，ρ〃＝1，2，…吻）はη6（」＝1，2，…々）と一致する。
定理8
環Rの任意のヤルαが有限個のSchwache Primaridealの共通分として表わされるとき，
Rは条件豆を満足する。
証明
α＝q1∩q2∩…∩qπ，q乞：Schwaehe Primarideal，
とし，梅を恥に属する素イデヤルとする。p∈σ乞，p陣η」とするとR＝q3：（pを）＝ρ乞：（p砦＋1），
qフ：（pを）＝q」：（pを＋1）＝q∫となる。々は十分に大きい正の整数である。
α：（P奮）＝（q1：（焼））∩…∩（9π：（P髪））から α：（P砦）＝α：（Pξ＋1）＝α，1∩一・∩qぜ勉＝・r6
q￠・…，q加（7nく ）は娠仁1，…，π）の部分集合である。r乞に再び同じ手続きをくり返して
rJ＝r乞：（pl）＝＝r乞：（Pシ＋1）⊃r乞
この操作をくり返して，rの連鎖0⊂r乞⊂rノ⊂……⊂：Rをうる。鎖の長さはn＋1より長くは
ない。
定理9
Rの任意のイデヤノレが有限個のSchwache Primaridea1の共通分として表わされるとき，
Halbprimidea1の連鎖箪）、⊂｛）、⊂…は有限である。
証 明
HaIbprimidea1が有限個の 素イデヤルの共通分として表わされることは既に証明されてい る。α＝q、∩q，∩……∩qπとすると，犯はαに属する素イデヤルの数と一致する。任意の元γに 対して，α＝α：（γ）＝（q1：（γ））∩一・・∩（qη：（γ））でq乞：（γ）は鞍に属するSchwache Primaridea1かRであり・（γ）R∈q包かまたは（7）R∈％である。故にα・に属する素イデ ヤルはり1，…，概の何れかと一致する。
素イヂヤルの連鎖をP。⊂p、⊂P、⊂…とおき，イデャル
αニ（P1η2， PIP3η4， PIP3P5η6， PIP3P5P7η8，…），
を作る。ただしp乞はP向に属しないP乞の元とする。すると
α1＝α：（P1）⊇（η2，P3P4，P3P5P6，P3P5P7ηB，…）⊃η、
α1宰η3だからη3に属しないα1の元a 1に対して
Pla1 ＝PIP2 十PIP3P4 十PIP3P5P6 十…
P1∈P・だからal ……P2〆＋P3P4 ＋P3P5P6 十…（Po）となり矛盾a 1∈P3となる。故にや3⊇α、⊃η、
上の操作を販に施して
可換環におけるイデヤル論 19
や5≡≧α2＝α1：（P3）ニα：（PIP3）⊃η4
をうる。かくて一般に次の式が得られる。
や2π＋1≡≧απ＝α鴇＿1：（P2η＿1）ニα：（PIP3…P2π一二）⊃ρ2鴨
従ってや、．とり、．＋、の間に少くともαに属する素イヂヤルをおくことができる。若し連鎖η。⊂
り、⊂η，⊂…が有限でないならぱ，イデヤル商α：（p・p、…p、．一・）は無限の素イデヤルをもつこと となり矛盾を生ずる。従って証明がなされたわけである。
以上の諸定理を基にして次の主要定理が得られる。
主要定理1
可換環Rの任意のイデヤルが有限個のSchwache primaridea1の共通分として表わされる ための必要且十分なる条件は次の二条件である。
1・Halbprimidealの連鎖は有限の項で終る。
2．任意の元bに対して
α⊂α：（b）⊂α：（b2）⊂…⊂α：（bπ）＝α：（bπ＋1）＝…＝rl r1⊂r1：（b1）⊂r1：（b12）⊃…⊂α：（bP）＝α：（br＋1）＝…＝r2……
で得られたイデヤノレの連鎖α⊂r1⊂r、⊂…はαに関して一定の長さをもつ。
上の定理は次の様な形ででも述べられる。
主要定理2
可換環Rの任意のイデャノレが有限個のSchwache Primaridea1の共通分として表わされる ための必要且十分なる条件は次の二条件である。
1．素イデヤルの連鎖は有限である。
2．任意の元bに対して連鎖α⊂α：（b）⊂α：（b2）⊂…は有限である。
3．α⊂α：（b）⊂α：（b2）⊂…の極限として得られたイデヤルをr1とするときα⊂r1⊂r2⊂…
の連鎖は有限の項で終り，その長さはαに関して一定である。
20 C ll
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T ec C 4 '‑‑T'J )1/ : 21 Summary
There are many excellent results about the ideal‑theory of the commutative ring in which the division‑chain‑condition is assumed. The following theorem which is one of those results is most important theorem and it had been prov‑
ed by E. Lasker, in the case of the polynomial ring and by E. Noether in the case of the general ring.
"Arbitrary idea] of a commutative ring is showed as intersection of finite num‑
er primaryideals"
Now, we introduce a new concept of primaryideal. The primaryideal is called
"Starker prlmarldeal" or "Schwache prlmarldeal", either the finite power of the prime ideal belonging to itself is contair^ed or not contained.
By this new definition we examlne the necessary and sufficient conditions that arbitrary ideal is showed as intersection of those primaryideals.
1. The necessary and sufficient conditions that arbitrary ideal of commutative ring is showed as intersection of finite number "starker primarideal/' are, ( f) The length of any prime ideal‑chain, plC,p2C･･････, is finite.
(Tn) The length of any ideal‑quotient‑chain, aCa : blCa : blb2C･･････, is finite.
2. The necessary and sufficient conditions that arbitrary ideal of commutative ring is showed as intersection of finite unmber uSchwache primarideal" are, ( f) The length of any prim ideal‑chain, P*Cp.C･･･, is finite.
( !) The length of this ideal‑quotient‑chain, aCa : (b)Ca : (b2)C･･･is finite aCa : (b )Ca : (b2)C･･･Ca : (b'8)=a : (bn+1)=rl'rlCrl : (bl)Crl : (b )C･･‑
Crl : (br)=rl : (br+1) =r.,
The length of this ideal‑chain, rlCreC･･･ is finite.
