長崎大学学芸学部自然科学研究報告第15号1‑4 (1962)
核をもつ準群の単純両側イデャル
江口俊男
Simple two‑sided Ideals of a Semigroup having a Kernel By Tosio EGUCHI
前回に,単純右イヂヤルの存在とidempotentの関係を明らかにしたが,その証明の途中, イヂヤルを両側イヂヤルとすると,全く別の結果が生じることが判明した。即ち, Sが核をも つとき, Sの両側イヂヤルMもまた核をもち,それがSの核と一致するのである。之に反して,
Sの部分準群は必ずしも核をもたない。所で両側イヂヤルMが核をもつと, Mの単純イヂヤル がまたSの核をもつという, Sの構造上重要なる結果が得られた。そこで次に, Mに, M2≠
Nの条件をつけてみた。するとこの条件の下ではMは再び単純準群なることが確かめられ,且, Mの単純左イヂヤルはSの単純左イヂヤルとなるし,その道も成立することがわかった。
以下証明する。
定理l
Sを核Nをもつ準(辛)群とする。 Sの任意の両側イヂヤルMは,一つの核をもち,之はNと 一致する。
訂三明
MN=ゴN,且, NM‑Nだから,集合Nは明らかに両側イヂヤルMである。 NはMの最小両側 イヂヤルと同等だから, N′⊆NをMの一つの両側イヂヤルとすると, MN′⊆N′, N′M⊆N′, i, e, MN′M⊆N′でなければならない。然し, MN′MはSの両側イヂヤルである。従って, MN'M⊃N,となる。 N⊂MN′M⊆N′,と, N′⊆NよりN′‑N証明終り。
注意1
着LSが核をもつならば, Sの部分準群S′⊂S (Sの両側イヂヤルではない)は核をもっと は限らない。例えばS‑tO, 1, 2, ‑・つとすると,核N‑{0>である。然し,部分準 群il, 2, 3, ‑‑1は核をもたない。
注意2
本定理は,準群の構造をしら下るのに重要な手械りを与えた。というのは, Sの単純(左,右, 両側)'ィヂヤルは,定義からすべて集合Nを含む。 MをSの両側イヂヤルとすると,既に証明 したように, Mは,その核としてNを含む。従って, Mのあらゆる単純(左,右,両側)イヂ
*長崎大学学芸学部数学教室
2 江 口 俊 男 ヤルは，また，Nのすべての元を含むことになる。
所で，上記のMに，M2≠Nの条件を与えてみると，Mは単純準群となる。これは興味深い事 実だが，之に触れる前に，二，三の注意をのべたい。
注意1
M2−Nの場合は，上記はあてはまらない。何故ならば，Mのようなすべての部分集合は明ら かにMの両側イデヤルであるから。然し単純Nベキ準群は，Nと唯一つの元（Nベキ）よりな る。従って，M2＝Nならばあてはまらない。
注意2
準群が，Nベキであって，同時に，Nベキでない単純両側イデヤルを含むことが出来る例を示
す。
可換準群S寓｛0，の，碗，α3｝を考える。核N一｛0｝で，群表は次の様にきめる。
0
召！
召2
α3
0
召1 α2 召30 0
0
00 0 0 0
0 0
α2
α2
0 0
α2
α2
このとき，M2＝｛0，碗｝，M1＝｛0，の｝は単純イデヤルで，Ml−M2，然し，Ml呂N
注意3
M2≠Nの仮定の下では，Mは左イデヤルL，（L2⊂N）を持ち得ないことに注意せねばなら ない。若し，か玉る左イデヤルが存在すると，両側イデヤルM＝（L，LS）⊃N，M2旨N，
があることになる。
然し，N⊂M一（L，LS）⊆（L，MS）⊆M。故に，M＝M，M2＝：Nで仮定に反する。
以上の注意に基いて説明に移る。
定理2
Sは核Nをもつとす。Sの両側イデヤルをMとし，M2≠Nとする。 このときMは単純準群で
ある。
証 明
Mが1つの両側イデヤルB，N⊂B⊂M，をもっと仮定する。集合MBM⊆B⊂M。然し，M BMは，MBMニNより，Sの両側イデヤルで・ある。
先づ第一に，MB⊆N，BM⊆Nである。集合MBは，Mに含まれるSの左イデヤルである。
（MB）2昌MBMB昌，（MBM）B冨NB⊆N l故に（注意3から）MB⊆N，同様に，B
核をもつ準群の単純両側イデヤル 5 M⊆N。
第二に，S B⊆：N⊆B，B S⊆N⊆：N⊆Bである。これが本定理を証明する。というのは，こ れらの関係は，MがSの単純イデヤルであるという仮定に反する。
S B S⊆S MS⊆MはSの両側イデヤルであるから，σ），S B S＝N，または，6），S B S
＝M，である。
α），SBS＝Nのとき， （SB）2＝SBSB＝NB⊆N， （BS）2＝BSBS＝BN⊆N。
注意3から，S B⊆：N，B S⊆N。δ），S B S昌Mのとき，（S2B）2＝S B S B＝MB⊆
N，（BS）＝BSBS講BM⊆N，従って，注意3から，SB⊆N，BS⊆N。これで定理
が証明された。
次に，M2≠Nの条件をつけたとき，Mの単純イデヤルは次の性質をもつ。
定理3
Sを核Nをもつ準群，MをSの両側イデヤルで，M2≠N，とする。このとき，
σ）
すべてのMの単純左イデヤルL（κ）は，Sの単純左イデヤルである。
δ）
逆に，Sのすべての単純左イデヤルL（8），（L（8）UM⊃Nを満足する）は，Mの単純左イデヤ ルである。
証 明
α）
L（だ）がSの左イデヤルなることを示せば十分である。何故なら，Mの単純左イデヤルである L（π）は，Sに於では更に単純であるから，集合Mレ（だ）は，L（忽）に含まれるMの左イデヤルであ る。故に，ML（班）一N，か，またはML（辺）＝L（互）である。前者だとすると，L（κ）2＝L（κ）。L（掘）
⊆ML（迎）∈N。これは前述の注意3により不可である。故に，ML（刀』L（忽）である。然し，S L（互）＝SML（π）⊆ML（ど）＝L（ヱ），i，e，SL（κ）⊆L（盟）これはL（盟）がSの左イデヤルであるこ とを示す。
δ）
：L（s）をSの左単純イデヤルとする。集合：L（8）∩MはSの左イデヤルで，且⊃Nである。故にL
（ε）∩M寓L（8）。Sの左イデヤルである集合L（8）は，明らかに，Mの左イデヤルである。故にL
（8）がMの単純左イデヤルであることを示せば十分である。定理2と同じ論法で証明する。
今
：N⊂B（忽）⊂L（皿）なるMの左イデヤルB（だ）が存在すると仮定する。集合MB（π）はSの左イデヤル で・次式を満足する。MB（忽）⊆B（π）⊂L。
故に，MB（財）＝N。集合S B（辺）はSの左イデヤルで，S B（遅）⊆S L（8）⊆L（ε）。
L（8）の単純性を考えると，SB（κ）＝N，かSB（κ」L（s）。
4 江 口 俊、 男
α）若し，SB（κ）一Nならば，N＝SB（翌）⊂B（M），i，e，B（覆）はSの左イデヤルで，これはL
（s）の単純性に反する。
