Bulletin of Faculty of Liberal Arts, Nagasaki University
5Natural Science Vol. 8
SEMIGROUP における CONGRUENCE
(by Mario･Petrich) についての考察(1) 江口俊男
(昭和42年9月30日受理)
ON THE CONGRUENCES (by Mario Petrich) OF SEMIGROUPS (1) By
Toshio Eguchi
semigroupのideal extensionについては, Clifford, Yoshidaによって研究されている が,またMario, Petrichによって, semigroupにおけるcongruenceについての結果が 報告されている｡ここでは, Ⅴをsemigroup, SをⅤのideal, TをⅤ/Sにisomorphicな semigroup, V〕u, S〕a; T∋rTに対してV SがweaklyreductiveであるようなⅤの congruence 〃について考察する｡
1. ⅤをOをもつsemigroup Tによるsemigroup Sの拡大とする｡ 0‑〔C(S), PをTのイ デヤルで,任意のA〔P*に対して,次のようなa〔Sが存在するとする｡
(1) Axo‑ax, xAo‑xa (XCS)
若しAとaが条件(1)を満足するならば,それらを, Ha‑link"と呼ぶ｡ T〔C (T/P) で0‑restrictで且つ,
(2) AxarBy, xAo‑yBもL AtB, xcryならば(A, B〔T＼P, x, VCS)
Ⅴにおける関係〃を次のように定義する｡
A, B〔T＼P : A〃B≠ATB;
A, B〔PX :A^Bく‑≧A,Bに対して‑1inkな,即ち, ao‑bなるa, b〔Sが存在する｡
A〔P*, b〔S : A^bく±buAをきA a‑1inkなる,即ち, ao‑bなるSの元aがあり: a^b‑^ao‑b.
かゝる7,をv‑ (cr,P,r)とかく｡
補題1,
Ⅴにおけるcongruenceは(α, P, t)の形である｡
証明
FLCC(V); P‑ {A〔T当Aytta, a〔S) uO.
6 江口俊男
このときPはTのイデヤルである｡ <T‑IXとし, T/PにおけるTを
ATBこ*AaサB (A, B〔T＼P) ;Oro.
で定義する｡明らかに, α∈C(S),丁〔C(T/P)で, 0‑restrictで, (1), (2)が成り立ち, /*‑ CO‑, P,丁)である｡
定理1,
gがSに於て, weakly reductive congruenceならば, v‑ (<r, P, t)は, 〟 J sが weakly reductivであるような, Ⅴにおけるequivalenceである｡
証明
u〒 O, P, t), <rほweakly reductiveとするo uがⅤのequivalenceであることを 示すためには, A〃a, A〃bがa〃b,即ちaabを含むことをいえばよい｡若し, A〃a, A〃bならば(l)によって
axbx, xao‑xb (x〔S),
を得る0 0‑からaqbはweakly reductiveである｡ ZJが右congrnenceであること を明らかにする｡左についても同様である｡
第一A, B∈T＼P,A〃B, C〔Ⅴの場合,
このときは,若し, AC〔T＼P, BC∈T＼PならばTからATBは0‑restrictである｡
従って, ACTBC,即ち, AC〃BCである｡
AC〔P潔uSと仮定するとBC〔P'X uSは0‑restrictであるOそこで次のいくつか の場合に別ける｡
a) AC,BC〔p*の場合.
このときa,b〔Sに対して, AC〃a,BC〃bは (3) h.Zxaz.%, BCxcrbx (X〔S)
(4) xACcrxa, xBC<rxb (x〔S)
である(2)によってATBはA(Cx)0‑B(Cx)を含み, (3)によりaxcrbxを含む｡更に (2)によって, xAcrxBを,それは再び(2)によって, (xA)C<r(xB)Cを, (4)によって xao‑xhを含む.これはすべてのx∈Sに対して成立ち, qはWeakly reductiveであ るから, acrb従ってAC^BCをうる｡
b) AC〔S,BC〔Piiの場合｡
このときATBは任意のx〔Sに対して, xAcrxBを, (2)によってx(AC)<rx(BC)を 含む｡更に, (2)によって, A(Cx)crB(C;Oを含む｡ BCCP雑であるから,あるb〕Sに 対して, BC*b｡従ってすべてのx〔Sに対してx(BC)<rxby (BC)xo‑bxであり,
x(AC)(rxh, (AC)x<rbx (x〔S)
然し, Uはweakly rednctiveであるからAC0‑b;かくてACz>BCをうるo c) AC〔P*, BCCSとAC, BC〔Sは同様にして示されるo
SEMIGROUPにおけるCONGRUENCE (by Mario･Petrich)についての考察( 1 ) 7 第二. A,BCP*,Ai/B, C〔V.このときは, a〔Sに対してAv21, Bz>aである(1)によ
ってaCSに対してA(C*)<ra(C*)とxA.<Txa.をうる(2)をxAcrxaに適用して, OcA)O(*a)Cをうるo Aの代りにBを同様に用いて
(5) ACx<ra.Cx, BC*♂‑aC# OCS)
(6) #AO#aC, *BO#aC (XCS) 更に次の場合に別けて考える｡
a) AC, BC〔P朝.このときは或るb, C〔Sに対してAOb,Boc.(5)と(6)によって,す べてのx〔Sに対して, bxcrcxとxb<rxcをそれぞれ得ることができる｡然しbox
(ACpBC)である｡
b) AC〔S,BCCP瀬.このときあるb∈Sに対してBOb. (5)と(6)によって,すべての x∈Sに対して, ACxcrhxとxACcrxbをうる｡然し, AOb (AC〟BC)である｡
c) AC∈P* BC〔SとAC,BC〔Sの場合は同様に考えられる｡
その他の場合のすべての証明は,上と同様にして得られる｡かくてzJ∈C(V). vls‑a から, V Sはweakly reductiveである｡
系1
0‑がweakly reductiveであるとき, FLがO, P, t)の形であるようなpは, Vにおけ るcongrueuceである｡
系2
Sにおけるすべてのcongruenceがweakly reductiveであるとき, Ⅴにおけるすべ てのcongruenceの集合はO, P,r)の形の関係の集合と一致する｡
系2のSの条件が満足されるとき, Sの各元は左または右identityをもつ｡この場 合,任意のq〔C(S)に対して, S/O‑ほ同じ性質をもちS/<rはweakly reductiveで ある｡特にregular semigroupは系2の条件を満足する｡いまSを, S2キSなる semigroupとする｡若しαをSにおけるequivalenceの1っとし,そのclassはS2 を含むとするOこのとき, S/a‑はzero‑semigroupで, 0‑は, 0‑が一般的関係でない限 りweakly reductiveではない｡ S2≒Sでweakly reductive半群Sの例として, S‑
{a,b,c,d,e}とおき,その乗積表が次の表で示される様なsemigroupが考えられるO 若し, PがTのイデヤル(≒0)でPy:uSがSの狭義の拡張
であるならば, Pは(ォ‑,P,t)で用いられる｡この場合すべ てのAePpXに対して, XCA:Ax‑ax, xK‑xz.であるよ
うなa〔Sが存在する｡結合が, Ⅴに於てpartial
homomorphismで与えられるときは,次の結果が得られ る｡
8 江口俊男 補題2.
Ⅴをpartial homomorphism toで定められたTによるSの拡張であるとする｡
co : T米‑Scr｡ aをSのweakly reductive congruence, PをTの任意のイデヤルとす る｡このとき〃‑ (『, P,ド)がⅤに於けるcongruenceであるようなaT∈C (T/P) が存在するo更に, *蝣> Tについて, (2)の条件は次と同値である｡
(7) AcotrBc* if ArB (A, B∈T＼P)
証明.
前半は補題でのべた注意から得られるOいま, 0‑をweakly reductiveとする｡若し, (2)が成立し,且, ArBであるならば,すべてのX∈Sに対して, Ax<rBx, xAcrxBで (A<B)#3r(Bco)#, x(Aco)tx(Bq>)がOの性質から導かれる｡故にAaocrBcoはweakly reductiveで,従って(7)が成立する｡若し, (7)が成り立てばAtB, xcryはAaxrBcoを 含み(Ao>)xcr(B(o)jy,従ってAxo‑Byである｡
系.
若し, ⅤがSとTのorthogonal sum (即ち#A‑A#‑O, x∈S, A〔T*)ならば, (1), (2)は任意のα, P,丁に対して満足される｡
証明.
この場合は, a,はT*‑0で示され,従ってA<0‑Bft>‑O, A, B∈T*となり(2)が成立 する｡条件(1)は補題から成立する｡
若しTが0でないproper idealをもたないならば(即ち, Tが0‑simpleかorder
‑2の0‑半群である) Pは0またはTであらねばならない｡従って若し, 〃∈C(V)なら ば, SはzJ或はintersect T舘のすべてのclass vによってsaturatされるOこの場合 には(1)と(2)はそれぞれ不要となる｡
