條件B1を滿足する単純準群
A Simple Semigroup Satisfying condition B1
江口俊男
緒言
前回に於て, N‑Potencyの概念を導入したが途中いくつかの新しい条件を附加して行かね ば理論の展開に限界を生ずるので, a‑なる条件を加えて新しい定理を導いた。然し条件a‑の みを満足する単純準群については既に言いうる最大のものを述べてしまったoここで新しく他 の条件を導入せねばならぬ。これが条件B‑である。以下条件B.を附加して理論を展開して ゆきたい。
本,文
先づ,条件B.を設けることにより, S‑Nに於けるidempotentsの存在を証明し,且S の"完全単純日を証明する。
定理1,
Sを条件Blを満足する単純準群とする。然るとき任意の元, a∈S‑N,に対し
a‑ea, =af・CD
なる二つの元、e, fが存在するe, f∈S‑N。
更にSの任意の元a, b, x, y,に対し次の関係が成立する。
a‑xb b‑豆a ・・‑一一・(2)
aエコby b‑‑ay ‑‑ ‑‑‑・・一・・一(3)
盃, y∈S‑N
証明
前回の定理2, 5より明らかである。
定理2,
定理Iの元e, fはidempotentsである。
証明
a)
先づeがidempotentsなることを示す。関係.a‑eaは(3)によりaa‑eなる元豆の存在 を意味している。故に
eC‑a缶‑ (ea)豆‑e (aa) =‑ee‑e'
故にeはidempotentsである.若LeがNに属すると仮定するとa‑ea∈a⊆N,となり仮定 に反す.故にe∈S‑M
2 長崎大学学芸学部自然科学研究報告 第6号（1957）
（b
同様に関係a＝afは（2）により，aa＝fなるaの存在を示している。故にfゴaa二a（af）
暉（aa）f＝ff＝f2 且つ，f∈S−N。
定 理3，
Sを条件B重を満足する単純準群とする。Sのすべての単純左イデヤルLは，L二N＋Seの 形をとる。eはidempotent∈L−Nである。
同様に，Sのすべての単締右イデヤルRはR＝N＋f＄の形をとる。fはidempoten㌻∈RrN。
証・明．
c∈L，とする。N＋Lc＝L叉はN＋LcコN。 これから直ちに少くとも，一つの元c∈L−N，
N＋LFコL，が存在せねばならぬ。若しすべてのc∈Lに対して，Lc⊆．Nならば，L2＝レΣc c⊆Nとなり矛盾する。
等式N＋LcロLはゴecコcなる元e∈Lの存在を表わしている。これはcがNに属しても，
Nには属しない。
さて，左イヂヤルN＋Se⊆N＋SL⊆Lを考える。SeはSの左イデヤルである。そしてee・＝
eを含む。何となれば，N＋Se⊃N，即ちN＋Se＝・L。
単純右イヂヤルに対する証明は同様にできる。
定 理4，
Sを条件B・を満足する単純準群とし，LをSの単純左イデヤルとする。そのときLは次の 性質をもつ準群である。
a）
L−Nのすべての元に対し，少くとも一つ右identity，e∈Lをもつる b） ・． 、
すべてのidempotent，♂∈L−Nは，すべての：L−Nの元に対して，右identityである。
c）
Lに於てぱすべての元cに対して，ec non∈N 証 明
a）L＝N＋Seだからすべてのa∈L−Nはa＝・ue（u∈S）の形である。故にaeコ（ue）e 2
＝＝ue＝＝ue＝a
b）すべてのidempotent，ぴ∈L−Nに対してL＝N＋S酵であるから。
c）cをLの任意の元。ec non∈Nとする。e∈L−N，c∈L−N，であるから集合N＋Lcは 少くとも一っNに属しない元（即ちec）を含む。
N＋Lc⊃N・L＝N＋Lc，これはすべてのd∈L一：Nに対して，ec non∈N。さて ac・＝bc，ec non∈N（4）
江口：条件B1を満足する単純準群 3 とす。先づ δcコeなる6∈L−Nを見出す。 次に（c6）2ゴ￠6 （c6）6＝（e）＝c6。c6は idempotentであるからL−Nに属する。それはNに は属しない。F何となればcδ3∈Nはcσc
∈N，即ちce∈Nを含み，仮定に反する。今（4）式の右側にσをかける。a￠一bcσ，a酵＝
b♂，a＝・b，これで定理4は完全に証明された。
始めに：Reesd〕によって与えられた二つの想点の一般化として， 次の定義を導入してみる。
定義1，
idempotente∈S『Nは次の時 完全に単純である とV）う9｝、．
a）任意の元a∈S−Nに対して，eaコa』aなるidempotents，e，f∈S−Nが存在する。
b）S−Nのすべてのidempotentは素である。
零元をもつ（即ちN＝・｛Z｝の場合）完全に単純な準群の構造は・Rees〔1〕、によって詳細に 研究されている。彼は行列準群の型として表現しうるとのべている。（詳しくはCLifford〔6〕
を参照）
定義から直ちに次の定理をうる。
定理5，
条件B1を満足する単純準群は完全に単純である。
証 明
a） 定義の条件a）は定理1，定理2の表現を単純化している。
b）eとxをS−Nの任意のidempotentsとする。関係ex，xe，xはx＝eを含むとと を知る。Sは単純左イデヤルの和であるから，Sはx∈Lに対し，N＋Sx⊆N＋SL⊆Lなる単 純左イデヤルLをもつ。N＋Lx＝LにしてもN＋Lx＝・Nにしても然り。而してxコx2∈Lx⊆N は仮定に反するから，N＋Sx−Lが成り立たねばならぬ。
関係 xe＝xは，定理］により，e＝文xなる文の存在を認めるから，e∈Sx，e∈L。
Lに属する元e，x（従ってxe，ex）についてxコx2二ex。更に元xが，Nに含まれて且 exがnon∈Nを満足するということは仮定に反してくる。
結 語
条件B1を附加することにより一応idempotentsの存在とSの完全単純を証明することが できた。こ』で始めに帰り，一般準群の単純イデヤルの構造を究める必要が生じてきた。これ については後目稿を改めて発表したい。
参 考 女 献
（1〕 A system arising from a weakened set of group Postulates，Ann，of Math，34，（1933），865 −871．
〔2〕 Semigroups admitting relative inverses，Ann of Math，42（1941）・1037−1049．
〔3〕 Semigroups containing minimal ideals，Amer，J．Math，70（1948），521−526．
4. 長崎大学学芸学部自然科学研究報告第6号(1957)
〔4・〕 Semigroups without nilpotent ideals, Amer, J. Math, 71 (1949), 837‑844.
〔5〕 Extention. of semigroups, Trans, Amer, Math, Soc, 68 (1950), 195‑173.
Abstract
In this paper we shall show that dssuming condition B1 it is easy to prove the existence of idempotents in S‑N and to prove the so called "Complets simplicity" of S.
Condition B1 : S is a semigroup with the kerner N having at least one N‑potent simple left and at least one N‑potent simple right ideal.
Then we can prove five important theorems
(1) Let S be a simple semigroup satisfying Condition B1. Then to every a∈S‑N there exist two elements e,f∈S‑N with a=ea, a=af
Moreover : for every a, b, x, y ∈S‑N the following implications hold : a=xb→b= xa
a=by→b=ay with x,y ∈S‑N (2) The elements e and f of (1) are idempotents.
(3) Let S be a simple semigroup Satisfying Conditions B1. Then every simple left ideal L of S is of the form L=N+Se, where e is an idempotent ∈L‑N Analogously, every right simple ideal R of S has the form R=N+fs, where f is an idempotent ∈R‑N
(4) Let S be a simple semigroup satisfying Condition B1. Let L be a simple left ideal of S.
Then L is a semigroup having the following properties :
a) It has least one right identity e ∈L‑N for every element ∈L‑N.
b) Every idempotent e*∈L‑N is a right identity for every element ∈L‑N.
c) In L it is possible to cancel on the right with eyery element c for which e.c non
∈N holds.
(5) A simple semigroup satisfying Condition B1 is completely simple.
