定積分と図形の面積(1)
１
日付( 月 日 曜日 )名前 ( ）
解
定積分と図形の面積(1)
の範囲で のとき， の グラフと 軸および 直線 ， で 囲まれた部分の面積
a ≦ x ≦ b f(x) ≧ 0 y = f(x)
x 2 x = a x = b
S
放物線 ， 直線 ， で 囲まれた部分の面積 を求めなさい。
y = x2 + 2 2 x = 1 x = 3 S
o x
y
S = ∫
b
a f(x)dx
y = f(x)
a b
S
例題
S = ∫
3
1 (x2 + 2)dx = [x3
3 + 2x]
3
1
= (33
3 + 2⋅3)−(13
3 + 2⋅1)
= 15− 7 3
= 383
o x
y y = x2+ 2
S 1 3
定積分と図形の面積(2)
２
日付( 月 日 曜日 )名前 ( ）
解
定積分と図形の面積(2)
の範囲で のとき， の グラフと 軸および 直線 ， で 囲まれた部分の面積
a ≦ x ≦ b f(x) ≦ 0 y = f(x)
x 2 x = a x = b
S
o x
y
S = ∫
b
a {−f(x)}dx
y = − f(x)
a b
S
y = f(x) S
例題
放物線 ， 直線 ， で 囲まれた部分の面積 を求めなさい。
y = − x2 −2 2 x = 1 x = 3 S
o x
y
y = − x2 − 2 S
1 3
S = ∫
3
1 {−(−x2 −2)}dx = [x3
3 + 2x]
3
1
= (33
3 + 2⋅3)−(13
3 + 2⋅1)
= 15− 7 3
= 383
定積分と図形の面積(3)
３
日付( 月 日 曜日 )名前 ( ）
解
定積分と図形の面積(3)
の範囲で のとき，
と のグラフと および 直線 ， で囲まれた部分の面積
a ≦ x ≦ b f(x) ≧ g(x)
y = f(x) y = g(x) 2
x = a x = b S
S = ∫
b
a {f(x) − g(x)}dx
o x
y y = f(x)
a b
y = g(x) S
例題
つの放物線 ， と
直線 ， で囲まれた部分の 面積 を求めなさい。
2 y = x2 + 2 y = −x2 − 2 2 x = 1 x = 3
S
o x
y
y = − x2 − 2
1 3
y = x2+ 2
S
S = ∫
3
1 {(x2 + 2)−(−x2− 2)}dx
= 2 ⋅ 38 3
= 763
= ∫
3
1 (2x2 + 4)dx
= 2∫
3
1 (x2 + 2)dx
定積分と図形の面積(4)
４
日付( 月 日 曜日 )名前 ( ）
定積分と図形の面積(4)
放物線 と直線 で囲まれた
部分の面積 を求めなさい。
y = x2− 2 y = −2x + 1 S
o x
y
直線 ，放物線 で囲まれた 部分の面積
y = f(x) y = g(x) S
S
a b
S = ∫
b
a {f(x) −g(x)}dx
直線と放物線の上下関係を，グラフ書いて確認する。
求める面積は ( ) ー ( ) の積分である。
また， つの交点の 座標 ， は ( ) の解である。
2 x a b
f(x) = g(x)
上 下
例題
解
o x
y
−3 1
−2 y =−2x + 1
y = x2−2
S
S =∫
1
−3{(−2x + 1)−(x2−2)}d x 図より
=∫
1
−3(−x2−2x+ 3)d x
=[− x3
3 −x2+ 3x]
1
−3
−(− (−3)3
3 −(−3)2+ 3⋅(−3))
=(− 13
3 −12+ 3⋅1)
y = f(x)
y = g(x)
定積分と図形の面積~練習~
５
日付( 月 日 曜日 )名前 ( ）
定積分と図形の面積の求め方
Step２. (1)〜 (4) のどれかで解く。
Step１. ( ) を書くグラフ
x y
(1) S = ∫
b
a f(x)dx y = f(x)
a b
S o x
y (2) S = ∫
b
a {−f(x)}dx
a b
y = f(x) o
S
(3) S = ∫
b
a {f(x)− g(x)}dx
o x
y y = f(x)
a b
y = g(x) S
(4) S = ∫
b
a {f(x)−g(x)}dx
o x
y
S
a b
y = f(x)
y = g(x)
解
例題
つの放物線 ， と
直線 ， で囲まれた部分の 面積 を求めなさい。
2 y = x2 + 1 y = x2 −2 2 x = 1 x = 4
S
o x
y
y = x2 − 2
1 4
y = x2+ 1
S = ∫
4
1 {(x2 + 1)−(x2 −2)}dx
= 3⋅4−3⋅1
= 9
= ∫
4
1 3dx
= [3x]
4 1
S
