小学校算数科における文字の学習指導に関する研究

平成

26年

度

学 位 論 文

小学校算数科における文字の学習指導に関す る研究

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院

教育 内容 ・方法 開発 専攻

Ⅳ

113141H

学 校 教 育 研 究 科

認識形成系教育 コース

長 谷 川

献 祐

次

は じめ に 序 章 本研究 の 目的及 び方法 と本論 文の構成 。・・・・・・・・・・・・・・・ 第 1節 本研 究 の 目的及 び方法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 第

2節

本論 文の構成 ・・・・・・・ ・・・・・・・ ・・ ・・・・・ ・・・ 第1章 小学校算数科 にお ける文字 の学習指導・・・・・・・・・・・・・・・・・ 第1節 小学校算数科 。中学校数学科 で扱 われ る文字・・・・・・・・・・・ 第

2節

学習指導要領 にお ける文字 の関す る指導 内容 の変遷 。… ・・・・・ 第

3節

教科書 にお ける文字 の指導 の実際・・・・・・・・・・・・・・・・ 第

4節

教科書 にお ける文字 の指導の考察・・・・・・・・・・・・・・・・ 第

2章

文字 の理解 の様相・・・・・ 第 1節 小学生 の文字 の理解 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 57 第

2節

中学生の文字 の理解・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 61 第3節 文字 の意 味理解 の枠組み の構築・・・・・・・・・・・・・・・・・ 68 第3章 □,△な どの記 号の認識 に関す る実態調査 ・・・・ ・・ ・・ ・・・・・

77

第 1節 実態調査 の 目的・概要・・・・・・・

目

つ 乙 18 56 78 第

2節

実態調査 の結果・分析 と考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 83

第

4章

第 1 文字 の理解 を促す指導 のあ り方・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 節 算術 と代数 の関係 ・・・ 第

2節

小学校段 階 にお ける代数指導・・ ・・・ ・・ ・・ ・・・・・・・ ・

l Blanton氏

・

Kaput氏

の研究・・・・・・・・・・・・・・・・・・

2 Carraher氏

。SCHlemann氏_{の研究・・・・・・・・・・・・・・・} Radford氏 の研 究・ ・・ ・・ 藤井氏 の研 究・・ ・・・ 第

3節

文字 の理解 を促す授 業構成・・・ 第

5章

授業実践・・・・・・・・・・・ 第 1節 授 業実践 の概 要・・・ 第

2節

授業実践 の実際・・・・・。 第3節 授業 実践 の分析・考察 終章 本研究 のま とめ と今後 の課題 第 1節 本研 究のま とめ 。・・・・ 第

2節

今後 の課題 おわ りに 引用・参考文献 92 100 105 110 ０ 乙 Ｏ υ 115 119 124 125 130

は じめに

今 日、私 たちが数 学 を学ぶ際 に、文字 を使用す るこ とは必要不可欠 であ る。 この よ うに 学校数学 において文字や 文字式が重要で あるに もかかわ らず 、文字や文字式 の理解 に困難 を示す児童・生徒 が多 く、文字や 文字式 の指導 は児童 。生徒 に とつて困難 な教材 とされて きてい る。 さらに、学校現場 において も「小学校の算数は得意だつたのに、中学校 になつ てか ら数学が苦手 になつた」、「ノlヽ学校 の算数で は計算 して答 えが1つになつたのに、中学 校 の数学では文字 を使 うた め、答 えが具体的 に決 ま らなかつた り、求 ま らなかつた りす る か ら何が答 えか分か らない 」 な ど算数科か ら数学科 の移行 において、具体的 な数 か ら抽 象的 な文字へ の理解 に戸惑い、数 学科 に苦手意識 をもつ生徒 の声 を よく耳 にす る。 また、 筆者 は小学校 の現場 で算数科 を教 えて きたが、平成

20年

度告示 の学習指導要領 の改訂 に 伴 い、月ヽ学校算数科 で も文字 の学習 を扱 うことになつた。 しか し文字 を扱 う指導 の中で、 数 を用いた式や表現 では理解 がで きて も、数 を文字 に置 き換 えた途端 、何 を してい るのか 何 を表 してい るのか理解 で きず 困惑 した表情 を見せ る児童 が多 く、数 と文字 には大 きな壁 があることを実感 した。本 来、文字 は様 々な場面で使 用 され便利 な もので あ るはず だが、 児童 。生徒 に とつて文字 を理解 し使用す ることは大 きな障害 の1つになつてい る とも言え る。 この よ うな現状 をふまえた上で筆者 は、本格的に文字が導入 され る中学校数学科の前段 階である小学校算数科 の段 階 において、児童 に文字 の意味や理解 を促進す るこ とがで きれ ば、中学校 。高等学校以降の文字 を使 つた学習 に大 きく寄与す るのではないか と考 える。 本研 究では、小学校算数科 にお ける文字 の理解 に焦 点 を当て、まず先行研 究 を分析・考 察す る文献解釈的研 究 を行 う。 それ らを もとに児童 の文字 の理解 の様相 を捉 えるた めの枠 組 み を構築す る必要 があ る と考 える。 そ して小学校算数科 にお ける文字の理解 を促す指導 のあ り方 について探 ってい くこ とにす る。 2014年 12月 22日 長谷川 献祐

序章

本研究の 目的及び方法 と本論文の構成

第

1節

本研究の目的及び方法

第

2節

本論文の構成

1節

本研究の目的及び方法

平林 (1986,1996)は 、小学校算数科 と中学校数学科 を明確 に区別す る指導 内容として、 「論証」の出現 と「文字 (変数)」 の取 り扱いがあ り、 これ ら二つが中学校数学科で子 ども が落ちこばれ る原因である と指摘 してい る。この よ うに児童・生徒 は、小学校算数科 か ら中 学校数学科へ の移行 において、文字 の学習 に困難 を示 してい ることがわか る。 また、中学校以降 の数 学科 にお ける文字・文字式の学習では、文字式 を形式的 に操作した り、文字 を変数的に捉 えて考察 を進 めていつた りす ることが中心になつてお り、文字の理解 が重要 となつて くる。しか し多 くの生徒 は、文字 に関す る内容 を理解す るのに抵抗 を感じて い ると考 え られ る。そのため、文字 に関す る研究は多 くな されてい る (国宗,1994,1997,杜 威

,1991,日

野 ・ 叶

,1998,藤

井

,1989,1999,2002,藤

井

&Stephens,2002,2006,

Kuchemann,1981,Booth,1988)。 それにもかかわ らず藤井

&Stephens(2002)は

、次の よ うに指摘 してい る。 「中等教育段階での文字式の指導が困難であることは、国際的 にも定説 にな ってい る。 にもかかわ らずその具体的な改善策が見出せ ないままである。その 背景 には、小学校算数 と中学校数 学 との乖離 をいわば暗黙 に容認 し、それぞれ の指導が展開 されて きた実態があると思われ る。」 (p163) この よ うに藤井

&Stephens(2002)で

は、中等教育段階での文字式の指導の困難性 は、 小学校算数科 と中学校数学科 の乖離 が原 因であることが指摘 されてい る。また、社威 (1991) も小学校 での誤 つた文字指導が、中学校 での誤 つた文字 の概念・認識 につ なが ることを指摘 してい る。 この よ うな小学校算数科 と中学校数学科の乖離の原因 を、平林 (1986)は 歴史的背景か ら カ リキュラム理念 上異 な る教科 として扱 われて きた算術 と代数 に あると指摘 してい る。 同 様 に藤井

&Stephens(2006)も

、「文字 の式」の理解 が困難 で あるこ とは、算術 と代数 が 人工的 に分離 され てい るためであ る と指摘 してい る。例 えば、平成 17年に実施 され た 「特 定の課題 に関す る調査」においては、以下の よ うに「数値 を一般化す ることに課題がある」 とい う結果 が報告 され てい る (国立教育政策研 究所,2006)。

お は じ を を 使 つ て

,な

の 図 の よ うな工 方 形 の 形 を 作 り ま す。 工 方 形 の 一 辺 の お は じ きの 数 は, 4こ で す 。 あ き ら さ ん は

,一

辺 の お は じ きの 数 が 4こ の と きの 工 方 形 の お は じ き の 数 を

,次

の よ うに2つの 方 法 で も とめ

,国

と式 に 表 しま した。 方 法 イ 式 2X4+4

0 -理

の お は じ き の 数 が 6こ の と き の 工 方 形 の お:よ じ き の 数 を も と め ます 。 方 法 ア と方 法 イ を 使 う と. ど ん な 国 と式 で表 す こ とが で き ます か 。 も と め 方 を表 す 国 と式 を

l lの

中 に か き ま し ょ う。 ③ 一 理 の お は じ き の 数 が 100この と き の エ オ 彰 の お は じ き の 数 を も と め ま す 。 方 法 ア と 方 法 イ を 使 う と ど ん な 式 で ま せ ま す か 。 も とめ 方 を 表 す 式 を

i lの

中 に 書 き ま し よ う。 ○ ○ ○ ○ ○       ○ Ｏ       Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 図

0-1-1

調 査 問題 (国立教育研究所,2006) この問題 において、「100個 の場合 の問題 を解 くとき、6個の場合の式 を考 えた ことが役立 った」 と回答 した児童の割合 は

80%以

上だったのに対 して、「役 立 った」 と回答 した児童 の うち正答 した割合 は、約 35∼

55%で

あつた。 この結果 か ら

6個

の場合 か ら一般化 して 100 個 の場合 を考 え よ うと試 み る ことはで きて も、正答 にた ど りつ けない場合 が多い ことがわ か る。その原 因の一つ は、

4個

の場合 の 「3×4」 「2× 4・4」 や 、

6個

の場合 の 「5×4」 「4×4+4」 の数字の式の中で、 どの数字 を 100と 置 き換 えて よいのかがわか らない とい うこ とがあげ られ る。つ ま り児童 は数字 の式 の中で、どの数字が定数で、どの数字が変数 の機能 をもつて い るのを見抜 けず、式 を一般化で きていないためである。この よ うな一般化が文字の理解 に おいて必要で あ り、数字 の式 に内在す る数 と文字 の関係 を把握す ることが、文字 を理解す る 上で重要である と筆者 は考 える。そ して「特定の課題 に関す る調査 (算数・数学

)結

果」(国 立教育政策研究所

,2006)で

は、次 の よ うに述べ られ てい る。

「数 と文字の概念 の理解やその計算 に関す る課題 を改善す るには、生徒の抵 抗感 がで きるだ け少 な くな るよ う、中学校 と小学校 のつ なが りを踏 まえ、あ る 程度長 い期間 を見通 した指導計画等 を立案す ることが必要 であ る。」 (p40) この よ うに、数や文字の概念 の理解 には、小学校算数科 と中学校数学科 の接続 を意識 した 指導が重要で ある と指摘 され てい る。しか し多 くの児童 に とつて、数 と文字には大 きな壁 が あ り、数 を文字 に置 き換 えた途端 、理解 で きな くな る児童 が多 く存在す る。 この よ うな現状か ら筆者 は、児童の文字や文字の素地である□,△な どの記号や ことばの 式 の様相 を明 らかにす るこ と、小学校算数科 における文字 の理解 を促す指導のあ り方 につ いて研究す ることが必要であると考 えた。この よ うなことか ら、本研 究の 目的 を以下の

2点

とす る。 ① 小学校算数科 にお ける文字 の理解 を捉 えるための枠組 み を構築 し、文字が導入 され る前段階 の児童 が、文字 の素地である□,△な どの記号 を どの よ うに認識 してい るのか を明 らか にす るこ と。 ② 文字 の理解 を促進 す るた めに、小学校算数科 にお ける代数 的思考 を取 り入れ た授 業 を構成 し、その実践及 び効果 について考察す ること。 これ らの 目的 を達成す るために① に関 しては、まず小学校算数科 にお ける文字を扱 うま での学習過程 の分析 と先行研 究をもとに小学生。中学生の文字の理解 を明 らかにす る。これ らを もとに小学校 算数科 にお ける文字 の認識 、理解 を捉 える枠組 み を構築する。次 に、現状 の児童の認識 を把握す るために実態調査 を行い、児童 の実態 を明 らかにす る。 ② に関 しては、① で述 べた実態調査 を もとに、小学校算数科 にお ける代数的思考 を促す指 導 のあ り方 につ いての先行研 究 を概観 す る。 そ して小学校算数科にお け る文字 の理解 を促 す ための授業 を筆者 が構成 し、実践す る。そ して授業実践の結果 を分析 し、効果 について考 察す る。

第

2節

本論文の構成

本論 文は、五つ の章か らな る。 第 1章 では、小学校算数科。中学校数学科で扱われ る文字について概観 し、小学校学習指 導要領 、『 小学校学習指導要領解説算数編』、教科書

6社

を対象 に文字 の理解 につ なが る□, △な どの記号、こ とばの式 、文字 を使 つた式 を中心 に指導 内容 を比較・分析 し、文字 を扱 う までの学習過程 について考察す る。 第2章では、小学校算数科 と中学校数学科 における文字 に対す る児童。生徒の理解の現状 や 困難性 を把握す るた めに、先行研究 として杜威(1991)、 日野 。口十(1998)、Kuchemann(1981)、 国宗 (1997)を 概観 し、整理す る。そ して、これ らをも とに小学生が□

,△

な どの記号や こ とばの式 を どの よ うに理解 してい くのか を捉 える枠組 み (「文字 の意味理解 の枠組み」)につ いて考察す る。 第

3章

では、第

2章

で構築 した 「文字 の意味理解 の枠組み」 をもとに、文字が導入 され る前段階である第 5・

6学

年 の児童 が、□

,△

な どの記号 を どの よ うに認識 してい るのか を実態調査 をも とに分析 。考察す る。そ して、文字の理解 を促すための有効 な学習指導に ついて代数的思考 を中心に考察す る。 第

4章

では、小学校算数科 における文字の指導のあ り方 を検討す るために、算術 と代数 の関係 について “プ レ代数指導

"と

“初期 の代数指導

"の

二つの視点か ら考察 し、小学校 算数科 にお ける代数指導 のあ り方 につ いて検討 し、小学校算数科にお ける文字 の理解 を促 すための授業構成 として次 の二つ の仮説 について述べ る。 第

5章

では、二つ の仮説 を検証す るための調査方法・分析方法 について検討 し、二つの 仮説 を検証す るた めに授業 実践 を行 い、その効果 について考察す る。 終章では、本研 究 のま とめを行 い、今後 の課題 につ いて述べ る。

第

1章

小学校算数科における文字の学習指導

本章では、まず、小学校算数科 。中学校数学科で扱われ る文字について概観 し整理す る。そ して、小学校算数科 における文字の指導について、小学校学習指導要領、『/1ヽ学校 学習指導要領解説算数編』、及び

6社

の教科書を対象に、文字の指導に関連す る学習過程 について検討する。

第

1節

小学校算数科・ 中学校数学科で扱われる文字

第

2節

学習指導要領における文字に関する指導内容の変遷

第

3節

教科書における文字の指導の実際

第

4節

教科書における文字の指導の考察

第

1節

小学校算数科・中学校数学科で扱われる文字

本節 では、小学校算数科 。中学校数学科 で扱 われ る文字 について概観す るこ とを 目的 と す る。算数・数学 を学習す る上で文字 は様 々な場面で使用 され便利 な ものだが、児童 。生 徒が算数・数 学 を理解す る上で大 きな障害の一つで もある。 文字 の理解 は代数 の学習の基 盤 とな り、学校数 学 において不可欠 な ものである。そ こで、まず学校数 学で扱 われ てい る 文字 とその意味 について概観 し整理す る。 学校数学で扱 われ る文字 の意味 は多面的であ り、 この よ うな文字 の多面性 が児童 。生徒 が文字 を用いて立式 した り、文字 を含 んだ式 を読んだ りす ることを妨 げてい る一因である とい える。 しか し、文字 を使 うこ とで複雑 な問題 において も数量 の関係性・ 規則性 。一般 性 な どを簡潔 に表現す るこ とがで きる。 そ こでまず 、学校数学 で扱 われ る文字 の意味 について、先行研 究 (宇田,2001,片 桐 ら, 1985,佐 々木,2000,日 野・ 叶,1998)を も とに整理す る。 宇 田 (2001)では、中学校数学科 にお ける文字 の意味 は、次 の よ うに整理 され てい る。 ① 未知数

・・・・ 方程式

2x+3=7に

おけるx ② 定数 。特定の定数・・・ π ・任意定数 。・・ 関数

y=axに

おける a

。一般数

・・・ a■b=bttaにおける a,b

③ 変数

・・・ 関数

y=3xに

おけるx,y

また片桐 ら (1985)は、文字 の意 味について考察 してお り、要約す る と以下の よ うにな る。 ① プ レイスホル ダー (place h01der)と しての文字 ある集合

Xの

要素 を代入す ることが許 され てい る場所 であ るこ とを意味 してい る。 ② 数 。量の関係 を表す こ とばの中で対象 を示す文字 例 えば、「1個 a円の あめを・・・」 とい うよ うに文章題 で用い られ る□や文字。 また、(あめ1個の値段

)×

(買つた個数

)=(代

金

)な

どの こ とばの式 ③ 未知 の定数 を表す文字 例 えば、一次方程式 3x+12=0の

xの

こ とである。 ④ 既知 の定数 を表す文字 例 えば、円周率 πや 自然対数 の底 θな ど ⑤ 数や量の性質 を示す た めの文字

例 えば、三平方 の定理 で 「AB=a、 BC=b、 CA=c、 ∠ABC=90° で あ る直角三角形 ABCに

ぉぃて、a2=b2+c2」 とぃ ぅ数量の関係 を文字で表 した もの。 ⑥ 数 の処理手続 きを示す のに用い られ る文字 例 えば、分数 の乗法 でみれ ば、_:×:光景の よ うに「分数 に分数 をかけるには、分母 と 分母 の積 を分母 と し、分子 と分子 の積 を分子 とす る分数 をつ くれ ば よい」 とい うこ と を記号化 して表現 した もので ある。 ⑦ 変化す る数 を表す文字 例 えば、一次 関数y=2xの

xや yで

ある。 また、7000円 貯金 していて、毎月 500円 ず つ貯金 した時 の

nか

月後 の貯金 高 を考 えた とき、7000+500×

n(円

)で

表 され るよ な文字n ③ 考 えてい る対象 の数量 を代表す る文字 ここでは、変数 の意味的価値 に注 目す ることにす る。例 えば、サイ コロの平行 な面 にある 目の数 をm、 nと す る とmと nの間には、mttn=7と い う関係 がある。 この場面の 中で、mttn=7と い う式 を見た とき、われわれ はサイ コロの平行 な面 にある 目の数 をm、

nは

表 してい る とい うm、

nの

意味 を即座 に了解 してい る。 (片桐 ら,1985,pp 5卜59)

また佐 々木 (2000)では、文字の意味は次のよ うに整理 されてい る。 ① 定数 としての文字 円周率 πや 自然対数の底3な どが代表的であ り、これ ら以外でもよく用い られる。 ② 未知数 としての文字 ③ 変数 (変量

)と

しての文字 集合Xの要素を代数す ることが許 されている文字を変数 といい、一般にアル ファ ベ ッ トx,y,z,tな どで表す。また変数はXの任意の元の代表でもある。また、とも なつて変わる二つの数量があ り、一方の値 に他方のただ一つの値が対応 していると き、この対応 を関数 とい う。そ して、それぞれの数量を変数 といい、前者 を独立変 数、後者 を従属変数 とい う。変数の とる値の範囲を、その変数の変域 とい う。 ④ 一般数 としての文字 attb=btta に16けるa,b ⑤ 任意 定数 としての文字 これ は、「既知量」を記号化 した もので、16世紀 フランスの数学者 ヴィエ タによつ てな され た。 関数 の追究や方程式の公式 に必要なものである。 しか し「変数のよ う な定数」であ り、生徒 には理解 しに くい ものである。 ⑥ プ レイスホル ダー としての文字 これ らの文字 の意 味 と関連 して、算数・数学 における文字指導、変数指導 を概観 しよ う。小学校

2年

で、未知数 として、□が用い られ始 める。

5年

で、「数量の関係」 の指導 において、変数 としての□

,△

が用い られ る。 ここでは、いろいろの数値 を 代入 しうる場所 として□

,△

が扱 われ る。 また、変数 は必要 に応 じて集合 の要素 を代入で きる場所 (プレイスホル ダーplace holderと 呼ばれ る

)で

もある。 この場合 、数値 を代入 しうる とい うこ とだ けではな く、式 も代入 で きる。 (佐々木,2000,p265)

また 日野・ 叶 (1998)では 、文字 の意 味 は次 の よ うに整 理 され てい る。

・任意の数 として 長 方形 の面積

S=ab(Sは

面積 、a、 bは 長方形 の縦、横 の長 さ)、 比例式 y=axのa、 交換 法則 a+b=bttaな どで用い られ る文字 で、特定の場 面において は決 まった値 を表す が、そ うでない ときは数一般 を表 しい ろい ろな値 を表す文字。 。定数 として πな ど、ある決まった数(31415926535 )の 代 わ りをす る記号 を表 す。 ・未知数 として 方程式 5x+9=6x+3に おけるxなど、いまわかつていない数 の代 わ り を表す記号 としての文字。 ・変数 として

1個

50円 の飴玉x個の値段50x、 関数 y=4xな ど、

2つ

の変量が ともな っていろいろな値 を とるとき、その数の代わ りをす る記号 を表す文字。 ここで、 〃 50x″で使 われてい る文字xについて考 えると、

xは

飴玉 の個数 であ り、その値 の変 域 は 自然数 の範 囲であ る。 また、関数 y=4xに ついて考 える と、文字xは、 〃飴玉の 個数″の よ うな制約がな く、その変域 は実数 である。 このよ うに、変数 として扱 わ れ る文字 には、それ ぞれ の場面 に応 じて変域 が決 まって くる。 以上 の先行研究か ら、小学校算数科 。中学校数学科 で扱 われ る文字 の意味 は以下の よ う に整理す るこ とがで きる。 ○ 定数 と しての文字 円周率 πや 自然対数 の底θな ど、あ る決 まつた数 の代 わ りをす る記号 を表す文字。 ○ プ レイスホル ダー と しての文字 必要 に応 じて集合 の要素 (いろい ろな数値

)を

代入 で きる場所 としての□

,△

な どの記 号。 また、数値 を代入 しうる とい うこ とだ けでな く、式 も代入 で きる。 ○ 未知数 と しての文字 例 えば、□+7=15 3×

x=15な

どの よ うに、

xや

□は、一般的な数 を表 してい るのではな く、式 を満 たす ある特定の数 を表 してい る。しか し、この特定 の数 が分 か るのは式 を解 いた 後 であ り、式 をつ くる段階 ではまだ、未知 の数 である。この よ うに

xや

□には、いまわかつ ていない数 の代 わ りをす る記号 を表す文字。

○ 一般数 と しての文字 一般数 としての文字は、例 えばa×b=b×aなどの法則・′1/1質を表す場合や三角形 の面積 を S=1/2 ahと す る公式 な どを表す場合 に用い られ る。三角形の面積 を表 わす公式 (S=1/2 ah) において、与 え られ た三角形 の底辺や 高 さは一定で定数 であ る。しか し、沢1定 していないの で この値を

aや hの

文字 を使 って表 してい るだ けで、

aや hは

決 まつてい る文字 としての意 味がある。また、法貝」・性質・公式 な どの恒等式 を表す のに用い られ る文字 は、特定の場面 においては決 まつた値 を表す が、そ うでない ときは、数一般 を表 し、いろい ろな値 を表す文 字である。 ○ 変数 と しての文字 変数 としての文字 は、例 えばy=X×

3△

=□+5などの よ うに、一方の数量 を決 めれば、他 方の数量 も決 まる関係 を表す場合 に用い られ る。 この とき、

xや

y、 _{△や □は、いろいろに} 変わつてい く値 を とる とき、その数 の代 わ りをす る記号 を表す文字 であ る。また、変数 とし て扱 われ る文字 にはそれぞれ の場面に応 じて範 囲があ り、変域 が決 まつて くる。 ○任意定数 と しての文字 任意 定数 としての文字 は、例 えば関数y=axttbの a,bや、

nの

倍数 を表すnxの nな どを表 す場合 に用い られ る。こ うした式 においては、例 えばy=axttbであれ ば

a,bを

1つ 固定 した 上で、x,yが 変数 としてい ろい ろな値 を とる、とい うよ うにa,bは任意 に指 定で きるが定数 の役害Jを果た してい る。 この よ うに小学校算数科 。中学校数学科で扱 われ る文字 には様 々な意味があ り、それ を 解釈す る人や文字 が使 われ る文脈 な どによつて文字 は異 なる意味で用い られ る。 そのた め、児童 。生徒 は様 々な文字 の意味 を理解 し、それぞれの文脈 に応 じて適切 に文字の表す 意味 を理解す るこ とが求 め られ る。

第

2節

学習指導要領における文字に関する指導内容の変遷

文字 に関す る指導 内容 は、小学校 では 「数量関係」領域 に、中学校 では「数 と式」「関 数」 の領域 に位 置づ け られ てお り、小学校 。中学校それぞれにおいて指導 されている。 そ こで本節 では、 まず小学校算数科 の 「数量関係」領域 にお け る文字 に関す る指導内容 について、 これまでの学習指導要領 をもとにその変遷 を概観 し指導 の系統性 を見てい く。 その中で も特 に、現行 の学習指導要領 にお ける文字 に関す る指導 の特徴 を詳 しく考察す る。

1.文

字に関する指導内容の変遷

小学校算数科 にお ける□

,△

な どの記 号や こ とばの式 、文字 を用いた式 な どの文字 の理 解 に関す る指導 内容 は 「数 量関係 」領域 に位置づ け られてお り、 これ らの学習 内容 が中学 校以降の文字・文字式 の理解 と密接 に関係 してい る。 そのた め小学校段階 か ら文字 の理解 を促進す るためには 「数量 関係 」領域 に関す る指導 内容 の変遷 につ いて考察 し、指導 の系 統性 に留意 した指導 を行 うこ とが重要 である と考 える。 小 山 (2000)は、昭和26年告示 の学習指導要領 か ら平成 10年告示 の学習指導要領 まで にお ける 「数 と計算」及び 「数 と式」の指導内容 の変遷 をま とめてお り、文字 の学習指導 に関す る内容 が明記 されてい る。そ こで小 山 (2000)を 参考に小学校学習指導要領 の「数 量関係」領域 にお ける文字 に関す る指導内容が、各学年で どのよ うに位置づ け られてきた か を明 らかにす る (表 1-2-1, 表 1-2-2)。

表 1-2-1 学習指導要領 「数量関係」領域 における文字 に関す る指導 内容の変遷 (1) 日召不日26∠手 日召不日33`手 日召不口43生F 昭 和52年 /1ヽ 年 。加減 の記 号 を用いて式 を かいた り読 んだ りす る ノl｀ 一 年 ・具体的 な ことが らの関係 を、加減 乗 の記 号 を用いて 式 に表 した りそれ らを読 ん だ りす る ・数 量 の 関係 を式 に表 した り式 を読 ん だ りす る こ と(等号・ 不等 号 を 用い る) 。事柄 や 関係 を式 を用 いて簡潔 に表 した り、式 を よんだ りす る(等号・ 不等号 を用い る) 小 三 年 式 を用 い る ・ 数 量 の 関係 を公 式 に ま と め る(ことば の式) ・ 未 知 の もの が □ な どで表 わ され た式 を作 る ・ 数 量 の 関係 を公 式 の 形 に表す 。数量を□,△な どを用 いて表 した り、それ らに あ て は ま る数 を調 べ た りす る ・ 数 量 の関係 を公 式 の 形 に表す 。数 量 を□な どを用い て表 した り、それに当て は ま る数 を調 べた りす る 小 四 年 。式 を一 つ に ま とめる か っ こ を用 い て式 を書 く 。四則 混合 の式 の計算順序 。か っ こを用 い た式 が 作れ る 。等 号 の意 味 ・簡 単 な数 量 の 関係 を公 式 の形 に ま とめ 、 そ れ を用 い る 。四則 の混合 した式 や ()を用 いた式 の意味や 計算 ・ 等号の意味 。公 式 につ い て の考 え 方 を理解 し、それ を用 い る ・ 四則 の混合 した式や ()を用 いた式 の意味や 計算 ・ 公 式 につ いて の考 え 方 。□,△な どを用 い た り、それ らにあてはまる 数 を調 べ る 小 五 年 ・ 等 号 の意 味 を 知 る ・数量的な問題 の処理 に、式 を有効 に用い る 。未知のものにxなどの文 字 を使 って数 量 関係 を式 に 表 し、逆算 でxの値 を求 め る 。公式 をよ リー般的に用い る ・ 公 式 な どの示 して い る関係 が、整数 。ノlヽ数 な どに か か わ らず 用 い ら オtる 。数 量 を表す こ とばや □,△な どの代 わ りに a,xな どの文字 を用いた り、それ にあてはまる数 を求 め る 。公 式 な どの 示 して い る関係 が 、整 数・小 数 な ど に か か わ らず 用 い ら オЪる 。数 量 を表 す こ とばや □

,△

な どの 代 わ りに a,xな どの 文 字 を 用 い る 小 六 年 ・ 式や公式 を分数 の場合 に も適 用 し、 それ らに よつて 表 され る関係 を よ リー般 的 にみてい く ・ 式 を分 数 も含 め て適 用す る 。式の表す関係 を、加減 乗除 な ど、式 の形 に着 目 して とらえる

表

1-2-2

学習指導要領 「数量関係」領域 における文字 に関す る指導 内容の変遷 (2) 平成 元年 平成 10年 平成 20年 月ヽ 年 。加減 が用 い られ る場合 を式 で表 した り式 をよんだ りす る ・ 加減 が用 い られ る場合 を式 で表 した り式 をよんだ りす る 。 加減が用い られ る場面を式 に表 した り、式 を読み取 つた りす る ノ_lヽ 一 年 ・ 乗 法 が 用 い られ る場 合 を式 で表 した り式 を よん だ りす る 。事 柄 や 関係 を式 を用 い て簡 潔 に表 した り、式 を よん だ りす る(等号 ・ 不等 号 を用 い る) ・ 乗法 が用い られ る場合 を式 で表 した り式 をよんだ りす る ・ 加法 と減法 の相互関係 につ いて理解 し、式 を用いて説明 す る 。 乗法が用い られ る場面を式 に表 した り、式 を読み取 つた りす る 小 三 年 ・ 除法 が用 い られ る場合 を式 で表 した り式 をよんだ りす る 。関係 を公式の形 に表 し、よむ ・数量を□な どを用 いて表 し、 それ にあてはま る数 を調 べ る ・ 除法が用 い られ る場合 を式で表 した り式 を よんだ りす る ・ 除/■‐が用 い られ る場面を式 に表 した り、式 を読み とつた りす る 。 数量を□な どを用いて表 し、その関係 を式 に表 した り、□な どに数 を当てはめて 調 べ た りす る 小 四 年 ・ 四則の混合 した式や()を用 いた式の意味や計算 ・公式 についての考 え方 □,△な どを用 いた り、そ れ らにあて はま る数 を調 べ る 。四則の混合 した式や()を用 いた 式 の意味や計算 。公式についての考 え方 ・□,△な どを用 いた り、それ らに あてはま る数 を調 べ る ・除法 について、被除数 、除数 、 商 及 び 余 りの 間 の 関係 を式 に ま とめる 。四則 の混合 した式や()を用 いた式 の意味や計算 ・公式 についての考 え方を理解 し、公式 を用い る 小 五 年 ・ 公 式 な どの示 して い る関係 が、整数・小数 な どにかかわ ら ず用い られ る 数 量 を表す こ とばや □,△な どの代 わ りに a,xな どの文字 を用 い、それ らに数 を当てはめ て調べ る ・ 四則 に関 して成 り立つ性 質 につ いてま とめる(□,△な どの使 用) 。_{公式 な どの表 している関係 が、整} 数・ 小数 な どにつ い て も用 い られ る ・ 数量の関係 を表す式 につい ての理解 を深 め、簡単な式で 表わ され てい る関係 につい て、二つの数量の対応や変わ り方 に着 目す る 小 六 年 ・ 数 量 を表 す言 葉や □,△な どの代 わ りに 、a,xなどの文 字 を用 い て式 に表 した り、文 字 に数 を 当て は めて調 べ る

小学校 にお ける□

,△

な どの記 号や こ とばの式 な どの指導 内容 の取扱 い は、昭和33年 の学習指導要領 に示 された ものが、それ以降の原型 になってい るといえる。 昭和

30年

代 では、第

3学

年 で未知 の ものを□ として扱 い立式 した り、数量 の関係 をこ とばの式で表現 した りしてい る。 それ を受 けて、第

5学

年 では、未知 の ものにxなどの文 字 を使 つて数量関係 を式 に表 し、逆算 でxの値 を求 める活動 を行 つてい る。 この よ うに、 □な どの記号や

xな

どの文字 は未知数 としての扱いを中心 とした指導内容 になっている。 昭和40年代 には、第

3学

年 で未知 の ものを□ として扱 う指導 か ら、数量 を表す □

,△

な どの記号 を用いて数量 の関係 を表す指導へ と変わつてい る。 そ して第

5学

年 で数 量 を 表す ことばや □

,△

な どの代 わ りに

a,xな

どの文字 を用 い る指導 となつてい る。 また、 それぞれ の学年 で□

,△

な どの記号や

a,xな

どの文字 に当てはま る数 を調べた りす る活 動 を取 り入れ てい る。 この よ うに、当てはま る数 を調べ る活動 を通 して、□

,△

な どの記 号や

a,xな

どの文字 が未知 の ものや特定の数 を表す もの としてだ けで な く、い ろいろな 数 を取 り得 るもの としての見方 を伸 ば してい る。 昭和

52年

と平成元年 においては、 これまでの指導内容 を受 けて第

3学

年 で□な どの記 号 を、第

4学

年 で□

,△

な どの記号 を用いて数量 を表す活動 を扱 い、第

5学

年 で

a,xな

どの文字 を用 い る とい うよ うに、文字 の使用 と文字式への接続 に よ リー層配慮 した指導 内 容 になってい る。 それ ぞれ の学年 で□

,△

な どの記号や

a,xな

どの文字 に当てはまる数 を調べ る活動 を取 り入れい ろいろな数 を取 り得 るもの としての見方 も一層伸 ば している。 平成 10年 においては、指導時間数 の削減 に伴 い、 これ まで第

3学

年 で指導 して きた□ を用いた式 が削減 され 、第

4学

年 で指導 して きた□

,△

な どの記 号 を用 いて数量 を表す活 動 が第

5学

年へ と移行 され てい る。 そ して小学校 では

a,xな

どの文字 を使 用せず に、文 字 の使用 は、 中学校 での文字式 の学習へ と移行統合 され てい る。 この よ うに、以前 までの 小 。中学校 間 にお ける文字 の使 用 と文字式への接続 を意識 した指導 か ら大 き く指導 内容 が 変更 してい る。 平成20年度 の学習指導要領 改訂 において、平成 10年 の指導 内容 か ら削減 され た「文字 を用 いた式」 の指導 が再び戻 され るこ とにな り、昭和

52年

と平成元年 にお ける指導内容 に類似す る形 で第

3学

年 で □な どの記号 を、第

4学

年 で□

,△

な どの記 号 を用 いて数量 を 表す活動 を位 置付 けてい る。 そ して、以前 は第

5学

年 で行 つていた□

,△

な どの代 わ りに

a,xな

どの文字 を用 いた指導 が第

6学

年へ と移行 され てい る。 この よ うに平成

20年

度 の学習指導要領 改訂 においては、 これ までの指導 内容 と同様 に

中学校 で行 われ る文字 の使 用 と文字式への接続 を意識 した指導 にな つてい る。 またそれ ぞ れ の学年 において □

,△

な どの記 号や

a,xな

どの文字 に数 を当てはめて調べ る活動 を位 置付 け、いろい ろな数 を取 り得 るもの としての見方 を扱 ってい る。 この よ うに文字 に関す る学習内容は、小学校算数科 か ら中学校数学科へ と一連 の学習のつなが りを意識 して指導 す ることが強 く求 め られ てい る。 また、中学校数学科 の 「文字式」や 「方程式」な どの文字 に関す る指導内容は、小学校 算数科 にお ける 「数 量関係 」領域 とつ なが りが強 く、小学校算数科 にお ける重点 を置 くベ き指導 として以下の よ うに述 べ られてい る (中央教育審議会,2008)。 「「数量関係」の領域では、数量についての事柄 を言葉や数、式、表、グラ フな どによつて表現す ること、二つの数量の間の変化や対応 を調べ るな ど関数 の考 えを育て ることを重視す る。(中略)中学年 。高学年 では、□や 文字 を用 い た式 を指導す る。 また、高学年で比例 と反比例 の内容 の指導 を充実す る」 (p85) 小学校算数科 においては、中学校数学科 の文字式や方程式 の理解 につ なが る「□や文字 を用いた式」 の内容 が重要視 され てい ることが分か る。 中学校 数学科 にお け る改善具体的 事項 について も、同様 に中央教育審議会 (2008)で以下の よ うに述べ られ てい る。 「「数 と式」の領域では、文字を用いて一般的に考えることの必要性や よさ についての理解 を深 めた り、身 の回 りの数量やその関係 を数や文字 を用 いて式 で表現 した り、式 を手順 に したがつて能率的に処理 した り、式の意味 を積極的 に読み取 り自分 な りに説 明 した りす るこ とを重視す る。」 (p86) 小学校算数科 において重点 を置 くべ き指導 と同様 に、 中学校数学科 にお いて も文字 を用 いた式 。文字式等 に関す る学習に重点が置かれてい ることが分か る。 この よ うに平成

10年

の指導内容か ら削減 された□

,△

な どの記 号 を用 いて数 量の関係 を表す指導や 文字 を用 いた式 の指導 が再び戻 され た現状 を考 える と、小学校段階 にお ける □

,△

な どの記号や 文字 を用 いた式 な どの指導 が文字 の理解 を促進 す るた めには重要で あ ると筆者 は考 える。 そ して文字 に関す る学習 においては、小学校算数科 と中学校数学科ヘ の一連 の学習のつなが りや接続 を見据 えた系統性 のある指導が重要であることが分かる。

2

現 行 の 学 習 指 導 要 領 にみ られ る文 字 に 関す る指 導 内容 の 特 徴 平成

20年

度告示の学習指導要領では、文字に関す る指導内容が再び小学校算数科に戻 され ることになつた。そのため、小学校段階における文字の理解につながる指導内容であ る□

,△

などの記号、ことばの式、

a,xな

どの文字を用いた式などの 「数量関係」領域に おける学習指導の特徴について述べてい く。今回の改訂の特徴 として、中学校の文字や文 字式の理解につながる 「式の表現 と読み」の内容が充実 されたことがあげ られ る。『 小学 校学習指導要領解説算数編』(文部科学省

,2008)に

おいて小学校の複数学年で□

,△

な どの記号や文字の意味が明記 され るよ うになつた。具体的には□

,△

な どの記号や文字の 意味について述べてお り要約す ると以下のようになる。 まず第

2学

年 においては、必要 な場合 に

( )や

□を用いた式 を取 り入れ ることが できる。そ して□の扱 い として、従来通 りに数 をか く場所 を表す もの として指導 され る(文部科学省

,2008,p52)。

次 に第

3学

年 では、未知 の数量 を□な どの記号 を用 いて表現 し、文脈通 りに数量の 関係 を立式す るこ とをね らい としてい る。 この ときの□は、数 をか く場所 としては じ めは扱い、次第 に数 の代 わ りとして未知の数量 を表す記号 とな り、文字 としての認識 が深 まるよ うに指導 され る(文部科学省

,2008,p52,Hl)。

そ して第

4学

年 で は、変量 を表す記号 として□

,△

な どを用いた式 を適切 に用い る ことをね らい として、文字 の役割 をもつ□

,△

な どを用いて式 に表す こ とを指導す る。 また□

,△

な どの記号 にはい ろい ろな数 が当てはま り、一方 の大 き さが決 まれ ば それ に伴 つて他方 の大 きさが決 まることについての理解 が深 ま り変量を表す記号 とし て用いる場合 を中心に指導 され る(文部科学省,2008,p52,137)。 最後 に、第

6学

年 では、数 量 を表す言葉や □

,△

な どの代 わ りにa、 xな どの文字 を 用いて式 に表 した り、文字 に数 を当てはめて調べた りして文字 の使 用 に次第 になれ る ことをね らい として学習す る(文部科学省

,2008,p179)。

今回の改訂 の特徴 か ら分 か るよ うに、小学校算数科 において も文字 の理解 につ なが る□, △な どの記号に関す る扱 いの指導に重点が置かれている。 この よ うに「数量関係」領域に おいて、文字 の素地 として扱 われ る数量 を表す ことばの式や公式、□

,△

な どの記号の認 識 を段階的 に高 めてい くこ とが意 図 され てい る。

第

3節

教科書における文字の指導の実際

本節では、小学校算数科における文字を扱 うまでの学習過程を検討す ることが 目的であ る。そこで小学校学習指導要領、『 小学校学習指導要領解説算数編』、教科書

6社

を対象 と して、文字の理解につながる□

,△

などの記号、ことばの式、文字を使 った式を中心に指 導内容を比較 。分析 し、文字を扱 うまでの学習過程について検討す る。 下記のように比較・分析 を行 う。 ・ 小学校学習指導要領 「数量関係」領域における内容 。 _{『 小学校学習指導要領解説算数編』「数量関係」領域における内容 と指導の観点} ・ 教科書における指導内容の比較・分析 なお、本論文では各教科書を出版社名で以下のように略記する。 東京書籍 藤井・飯高ほか(2012),『新 しい算数』,東京書籍株式会社 啓林館

清水・船越 ほか(2012),『 わくわく算数』,株式会社新興出版社啓林館 学校図書 一松ほか(2012),『みんなと学ぶ 小学校算数』,学校図書株式会社 教育出版 澤 田ほか(2012),『小学算数』,教育出版株式会社 日本文教 小山 。中原ほか(2012),『ノlヽ学算数』,日 本文教出版株式会社 大 日本図書 橋本ほか(2012),『たの しい算数』,大 日本図書株式会社

(1)第

1学

年 ヽ_{学校学習指導要領 第}

1学

2

内容

D(1)加

法及び減法 が用い られ る場面 を式 に表 した り、式 を読み取 つた りす ることが で きるよ うにす る。

卜学校学習指導要領解説算数編 第

1学

加 法及び減法が用い られ る場面を、

+や

一の記号を用いた式 に表 した り、それ らの式 を具体的な場面に即 して読み取 つた り、式 を読み取 つて図や具体物 を用 いて表 した りす るこ とを重視す る必要が ある。 式 は、場面の様子 を表現 した り、答 えを求める過程 を表現 した りす るもの として とら え られ 、算数 固有 の表現 として重要な ものである(文部科学省,2008,p.66)。 このように、第 1学 年では次のような観点で扱 うよう定められている。 ⑦ 式は場面の様子や答えを求める過程を表現 し、算数固有の表現 として扱われること。 科書 第

1学

教科書では算数固有の表現である式の形式を指導 した り、理解 させた りす る際に□が用 い られている (観点⑦

)cま

たその他にも数直線やパターンを発見す る 「穴あき問題」な どの学習場面で、図

131と

図

132に

あるように数を書き込む 。入れ る場所 として□が 用い られている。具体的には、下記のような場面で扱われている。

2ほ

A′

4旧

レら

ぁゎせ て な んぼんです か。

し

_き巨

_J+E」

=[∃

こ

たえ

_E11ぽ

ん

図1-3-1 啓林館 わ くわ くさんす う1年 (清水・船越 ほか,2012,pp 39)

〇

□

︲

０ ０ ︲ ○ ０ １

□

︲

甲

.Pi…

甲甲

:♂

甲

1止

図

1-3-2

啓林館 わ くわ くさんす う1年 (清水・ 船越 ほか,2012,p l12)

(2)第

2学

年 小学校 学習 指 導要 領 第

2学

2

内容

D(1)加

法 と減法 の相互 関係 について理解 し、式 を用いて説 明で きるよ うにす る。

3

内容 の取 り扱 い (2)内 容の 「

A数

と計算」の(2)【加法及び減法についての理解を深め、それ らを用い る能力を伸ばす】及び 「

D数

量関係」の(1)【加法 と減法の相互関係について理解 に、式を用いて説明できるようにする】については、必要な場合には、

()や

□な どを用い るこ とがで きる。

(【

】内は筆者

)

lヽ学校学習指導要領解説算数編 第

2学

このように、第

2学

年では次のような観′点で扱 うよう定められている。 ④ □を数をか く場所として表すこと。 ○ 式が事柄や数量の関係を簡潔に表すこと。 科書 第

2学

「図をつかつて考 えよ う」は小学校学習指導要領 の

D(1)と

内容 の取 り扱いの (2)に 対応す る内容 であ る。教科 書では加法 ・減法の相互関係 の問題 を把握す るた めに、テー プ 「内容の取 り扱い」の (2)に、従前通 りに、数をかく場所を表す□などを指導する ことと示 されている(文部科学省,2008,p52)。 このような加法 と減法の相互関係 について、次に①、②、③のような場面を取 り上げ て指導する。(中略) ① 数量の関係表現は減法の形であるが、計算は加法を用いることになる場合 例 えば、「は じめに リンゴが幾つかあつて、その中か ら5個食べた ら7個残つた。 は じめに幾つあったか」を求めるような場合である。図で表せ ば、次のような場合 で 、 □ を7+5と して求 め る。 7 ② 数量の関係表現 は加 法 の形 で あるが、計算 は減法 を用 い るこ とにな る場合 例 えば、「は じめに リンゴが幾つかあつて、5個も らった ら 12個 になった。 は じめ に幾つあつたか」 を求 めるよ うな場合 である。 ③ 減法 の減数が未知 の とき、そ の減数 を求 め るのに減法 を用い る場合 例 えば、「は じめに リンゴが 12個 あつて、幾つか食べた ので残 りは

7個

になった。 幾つ食べ たか」 を求 め るよ うな場合 で ある。 これ らの場面による問題 の解決 においては、加法 と減法の関係 に着 目し、それ を問題 の把握 、演算 の決定、確 かめに用いることがで きるよ うにす る とともに、式 を用いて説 明す ることがで きるよ うにす るこ とが大切 である。(中略) なお、 この よ うな指導 の機 会 を通 して、式が事柄や数量の関係 を簡潔 に表す もので あ る とい う理解 を深 めるよ うにす る必要 がある (文部科学省,2008,pp 83-84)。

図などを用いて数量の関係や演算の決定を行つていく

(観

点◎

)。

その際に図 13-3の よ

うに、数を書く場所として□が用いられている

(観

点④

)。

警

[][1薦

量

ittl:轟

鉾

111と

ん で い つ た す ず め の 数 を も と め る し き と 答 え を 簑 き ま し よ う 。 √ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ， こ す ず め が 18わ い 誅 し た 。 は じ め の 数 18わ の こ り は 7わ に な り ま し た 。 と ん で しヽつ た 数 ￨ ￨わ の こ り 7わ は じ め の 数 18わ …………ノ わ 答 え 図1-3-3日本文教 小学算数

2年

下 (ノlヽ山 口中原 ほか,2012,p59) また、東京書籍 。学校 図書 では 「は じめに もつていたおは じきの数 を□ こ として…」 と □を用いた り「何 こか」や 「い くつか」な どの言葉の代わ りとして□が用いた りされてお り、図

134に

おいて数 をか く場所 としての□ とい うよ りは、分か らない数 を表す記号 (未知数

)と

して扱 われてい る。

18こに なっていました。 はじめに,何 こ もって いたのでしょうか。

懲個

あげた 致 : こ

Sは

じめに もっていた おはじきの 数を □こ と して,□を つかつて しきを 書きましょう。

￨ :

② 図に わかつている 数や ことばを 書き入れ て, はじめに もつていた おはじきの 数を もとめましょう。 ￨14=l t ,

漑つ

ば

さ

さ

脱 シ

ー

ル

を ￨10ま い もって いました。 友だちに 何まいか あげたの

(シ

ールの のこりは,83ま いに なりました。 友だちに あげたのは, 何まいでしょうか。 織 い

0

友だちに あげた まい数を □まいと して, □を つかって しきを 書きましょう。 ② 図を かんせいさせて,あ げた シールの 数を もとめましょう。 II::=‖5 図

1-3-4

学校 図書 みんな と学ぶ ′]ヽ学校算数

2年

下 (―松 ほか ,2012,pp.114-115)

(3)第

3学

年 学校学習指導要領 第

3学

2

内容

D(2)数

量 の関係 を表す式 について理解 し、式を用い ることがで きるよ うにす る。 イ 数量 を□な どを用いて表 し、その関係 を式 に表 した り、□な どに数 を当てはめて 調べた りす る こと。

小学校学習指導要領解説算数編 第

3学

イ ロを用いた式 第

3学

年 では、未知 の数 量 を□な どの記号 を用 いて表現す るこ とに よ り、文脈通 りに 数量 の関係 を立式 し、□に当てはまる数 を調べ るこ とがで きるよ うにす る。 □な どの記号については、未知の数量 を表す記号 として用い る場合 と変量 を表す記号 として用い る場合 とに大 き く分 け られ る。第

3学

年 では、未知 の数 量 を表す記 号 として 用い る場合 を中心 に指導 し、□な どの記 号 を用 いて立式 した り、図 に表す こ とと関連付 けた りして、数量 の関係 を的確 に とらえることがで きるよ うにす る。 指導 に当たつては、□な どを数 をか く場所 としては じめに扱 い、次第 に未知 の数量 を 表す記号 な どとして も扱 い、文字 としての役害1をもつ □な どにつ いての理解 が深 ま るよ う配慮す る必要が ある。 □に当てはまる数 を調べ ることについては、例 えば、□+8=17と い う式について、□ の中に1、 2、

3

と順 に数 を当てはめてい く方法、お よその見 当を付 けて8、 9と 当て はめてい く方法 な どが ある。 さらに、手際の よい方法 として、四則計算 の相互 の関係 を 基 に逆算で求 める方法がある。 この よ うな算数的活動 を十分 に取 り組 ませてい く中で、 □の表す数 が

9で

ある とい うことだ けでな く、□+8と い う式その ものが17と い う一つ の数量を表 してい るとみ ることができるよ うにす ることが大切 である(文部科学 省,2008,pp l10-lH)。 このように、第

3学

年では次のような観点で扱 うよう定められている。 ① □には未知の数量と変量を表す記号の役割があり、第

3学

年では未知の数量を中心と して扱うこと。 ④ □など数をか く場所か ら未知の数量を表す記号として扱い、文字としての役割として 扱 うこと。

o

□+8と_{いう式が一つの数量を表 していること。} 第

3学

教科書では、状況 か ら数 量の関係 を□を使 って立式す る活動

(A)と

、□を求 める活動

(B)が

設 定 され てお り、各教科書 を分析 した結果それぞれ の活動 は、以下の よ うに分類 す るこ とがで きる。

る 。 「

A:□

_{を使 つて立式す る活動」 では、立式 に至 る学習過程 が次 の二種類 に分 け られ}

A―

I

数字 の式や ことばの式 をもとに して、分か らない数や こ とばの代 わ りとして □を導入 し、数量 の関係 を立式 させてい る (啓林館 。学校 図書・教育出版)。

A―

Ⅱ 分か らない数 を□ として扱 い、文脈 に従 って数量 の関係 を立式 させ てい る (東京書籍 。日本 文教 。大 日本 図書)。

A―

Iで

は、まず は具体的な数字の式か らことばの式 を考 えるよ うに促 し、 ことばの 式 にあた る部分 の代 わ りとして、□を扱 い立式す るよ うに促 してい る。

A一

Ⅱ では、 こ れまでの学習 をも とに□を数 と同様 に見 な して文脈 に従 つて立式す るよ うに促 してい る。 この よ うに、□を数字や ことばの代わ りをす るもの として扱 う導入 と□ 自体 を数 と見な し て扱 う導入がある。 「

B:□

_{を求 める活動」 では、国の考 え方が次の二種類 に分 け られ る。}

B一

I

□を数 を入れ る場所(プレイスホル ダー)と未知数 としての扱 い (啓林館 ・学校 図書・教育 出版 。日本文教 。大 日本図書)

B一

Ⅱ □を未知数 としてのみの扱 い (東京書籍)

B一

Iで

は、□に数 を代入す ることで□を数 を当てはめる場所 (プレイスホル ダー) として扱 つた り、式やテープ図をもとに逆算で求 めることで□を未知数 として扱 った りし てい る。そのため□を未知数 としてだけでな く、変数的にも見 るこ とを意図 した指導 にな ってい るといえる。 また

B一

Ⅱ では、テープ図をもとに逆算で求 めることで□を未知数 としてのみ扱 つてい る。 以上

Aと

Bの

組 み合 わせ方 は、各教科書 において表

12-1の

よ うに分類す ることができ る。 表

1-2-1

各教科書 における□を使 つた立 式 と□の考 え方

B―

I

B―

Ⅱ

A一

I 啓林館・学校 図書・教育出版

A―

Ⅱ 日本文教 。大 日本 図書 東京書籍

各教科書 にお ける具体的 な□の扱 いは下記 の通 りである。 図1-卜

5

東京書籍 新 しい算数

3年

下 (藤井・飯高 ほか,2012,pp 55 56) 東京書籍 では、図

135の

よ うに分か らない数 を□ として扱 い、 これ までの学習 と同様 に文脈通 りに立式す るよ うに促 してい る。「わか らない数があって も、□を使 うとお話の とお りに式 に表す ことがで きます」 と分か らない数 を表す記 号 (未知数

)と

して、□を指 導 し、その よさを強調 してい る。 そ して、逆算 を用いて□の値 を求 める指導 になつてい る (観点①)。

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￨] ■ ちふ:暮1(懸基:乳I¨島裏 夏「 再壺あ … 鱚 ￨ とおりに式に表すことができます。 ￨ 金 酢 … … … 嵐 階 ￨

L]

下のお話を,ひき算の式にま しましょう。 鐵 下のお話を,たし算の式に表 しましょう。 ヽ 学級文庫に本が38さ つあります。 新 しい本 を何さつか買つたので,本は全部て 50さつにな りま レた。 ｀｀ヽ___、_{_______50さ つ―} ――´‐ ´´‐

℃ 瞑 つ

た

式

EII L。のにコ三二三亜憂の日にあてはまる数をみ―pl,ま しょう。 !￨ あめがl.Sヽくる と。ばらで 4こ あります。 0 全部で何こあるか調べてみましょう。

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麓

1'堂￨: X匡_画+4=!百_] X両面+4■_￢

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4=16 X 13■ 4=16 国 にあては め て考 え る と, コ の数 は12 墜

∠

二

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あり

まし

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友だちとみんなで食べたので. ● 食べたあめの数をコ こと して,式にかきましょう。 嚢聟―理

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喩 機 糞

図 にか いて考 え る と. 」は16より4小さい敗 だから. ∃=16-4 コ

=12

墜

1盤

￨ 1書1輩FI ヽ 菅

織

l:帯

i}T

O I.S、 くろのあめの数 を ヨ こ として。全部のあめの数を 式にかいてみましよう、 _`醜 "瞼護_“てヽ

口

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澤墨

+`F O あめの数は全部で16こになるそうです。 1、:、くろのあめの数 を 匿 こ と して,式にか きま しょう。 ● 下のここばの式を籠つてもえましょう. :ふくるの数十Lらの数■幽 []+4=16 D+4=(6のような□を使つた式について 受べ てい0まし ょう。 15このこりました。 ￨ 0霧 にあてはまる数をみつけましょう。 図

1-3-6

啓林館 わ くわ く算数3年下 (清水・船越 ほか,2012,pp 90-91) 啓林館 では、図

1-36の

よ うに式が計算の対象 ではな く、一つ の数量 を表 してい ること を理解 させ るためにフ レーズ型の式 を用いて数字の式 をもとに「あめの数を□こ」 として 分か らない数 (未知数

)を

□ と扱い、式へ と移行を促 している (観点○)。 そ して、フレ ーズ型の式 とことばの式をもとに全体の関係を提えるセンテ ンス型の式へ と促 している。 □を求める活動では、線分図をもとに□を未知数 として扱い逆算で求める方法 と、□は 数を入れ る場所 (プレイスホルダー

)と

して色々な数を代入 し、等号が成 り立つかどうか を考えさせ る方法の両方を扱 った指導になっている (観点① ①)。

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①

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卜● 次 の写 真の 場面 を式 にま しま しよ う。

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りん ご2こを,竹う｀ごに入1ヽた全 体 の菫 さ。 い ち ご 10こ を,ガラ スの さ らに入 れた全体 のま さ。 みか ん8こを,木の さ らに入 オtた全体 の童 さ。 01 ② l 01 こ150Fのポ ー ′しを3こ買 ´,た代 金。 1ヽヽ200円の ′ヽン カ 手 を41い買 っ た 代 金。 そ く350P3のくつTを2そ〈liっ た1ヽ全 。 ０ ０ ０ 0の式 eの式 0の式

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巨E亘互彊匿]コ X 買 つた数1 = ことばや 口を使 つた式 の書 き方 や,日に あては ま め 方 を考 えよ う. 〓 ヽ 98‐ 3メヨ 芭X_・`'9

圏

.●1鸞9■.…_………・・・・ み か ん を重 さ300,の入 れ もの に入 れ て 菫 さ を は か つ た ら,900,あ り ま し た 。 み か ん の 菫 さ は 何9でし よ うか 。 0 下の0∼Oに, あてはまることばを入れて,図をかんせい しましょう。 医雇電5凛藝コ iス爾三互望壇璽ヨ 全体の重さ 0 0の図を見て, ことばの式をかんせいしましよう。 IIIIIIIII:￨￨￨:::￨::￨::+::::IIIIJ=i:::IIIII:::::1 0 上の式で,わからなヽヽ数をEと して式に表 しましょう。 □+ = ￨ 0 □ にあてはまる数の もとめ方 を考 えましよう。

瘍 り

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400,を ,入

れも

の

に

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菫

さをは '｀ つた ら, 850,ありま した。 入 れ もの の菫 さは何,でし よ うか。 入 オtもの の菫 さ を回,として□ や式 に ま し,□にあ て は まる数 を もとめ ま し ょう。 ￨ バ ナ ナ400,を ,入れ もの に 入 れ て 菫 さをはか つた ら,600,あ りま した。人 4t tのの菫 さは何,てしょうか。 人4tもののま さを□ ,と して式にま し, □ にあてはまる数 をもとめ ましょう。

≪

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1)み

く

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□ の 中 に,100,200, と あ て は め て,□+300-900 とな る数 を 見 つ け ます。 100+300く900 200+300く 900 600+300=900

◎ ……

口 を俊 う て 考 え ます 。

鰤

□+300‐900 □=900-300 ℃

卿

路

C 100=□X= 11■::=101 図

13-7

学校 図書 みん な と学ぶ 月ヽ学校算数

3年

下 (―松 ほか,2012,pp 9卜101)

学校 図書では、図

137の

よ うに導入 において数量の関係 を数字の式 とことばの式で考 えるよ うに促 し、その後テープ図 とことばの式 をもとに「分か らない数 を□」 として分か らない数 (未知数

)を

□ と扱 い立式す るよ うに促 してい る (観点①)。 □を求める活動では、啓林館 と同様な方法で、□の扱いは未知数 と数を入れ る場所 (プ レイスホルダー

)の

両方である。テープ図をもとに□を未知数 として扱い逆算で求める方 法 と、□を数を入れ る場所 (プレイスホルダー

)と

して扱い色々な数を代入 し、等式が成 り立つか どうかを考えさせ る方法の両方を扱った指導になつている (観点①④)。 図

1-3-8

教育 出版 小学算数

3上

(澤田ほか,2012,pp l12-113) 教育 出版 では、図

13-8の

よ うに ことばの式か ら数字 の式 を考 えるよ うに促 し、その後 「買った本の代金 を□円 として」 と分か らない数 (未知数

)を

□ と して扱 い立式す るよ う に促 している (観点①)。 □を求める活動では、啓林館 と同様の方法で、□の扱いは未知数 と数を入れる場所 (プ

□を使つた式と図

17' たくゃさんの買ヽヽ1'の様子を 買った本の代金を □F‐として式に表して 代金をも `めましょう。 本の代金は何鍵で しょうか。 □ にあてはまる数のもとめ方 を考 えit′ょう 1 lo鉾 □の口に 1 200をあてはあるこ 700-200=500 X 1 300本わτ蛛めると 700-300‐400 メ : 4ooをあ〔 “ ■と 700-400=300 0 ヽえ ヽ,i「1,F:___ _

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1・たしか0選を受つた■ のだるさん11 ヒーニ を151持っ てい1し た。イ11■tら っ

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レイスホル ダー

)の

両方 で あ る。 □ は、数 を入れ る場所 (プレイ ス ホル ダー

)と

して扱 い 色 々な数 を代 入 し、等 式 が成 り立つ か ど うか を考 え させ る方法 と、線 分 図 を も とに□ を未 知数 と して扱 い逆 算 で求 め る方 法 の両方 を扱 った指 導 にな つて い る (観点① ④)D 日本文教では、図

139の

よ うに 「は じめに持 っていた切 手の数 を□まい

Jと

して分か らない数 (未知数

)を

□ として扱 い、数量の関係 をフ レーズ型の式で考えるよ うに促 して い る (観点○)。 □を求める活動では、啓林館 と同様な方法で、□の扱いは未知数 と数を入れ る場所 (プ レイスホルダー

)の

両方である。□は、数を入れる場所 (プレイスホルダー

)と

して扱い 色々な数を代入 し、等式が成 り立つか どうかを考えさせる方法 と、ブロック図をもとに□ を未知数 として扱い逆算で求める方法の両方を扱った指導になつている (観点① ④)。 ② 案 ■サず ヽえ 1'F ￨ _、 家を尋イ●●て 1 考え =●`=・ ￨ヽ1ろ・2' ￨「:‐122

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1:ミ

図

1-3-9

日本文教 小学算数

3年

下 (小山・ 中原 ほか,2012,pp l16 117)

参

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彗 暮 にあてはまる数は,21-15でもとめられるわけを, Tの場を見てせつめいしましょう. _…… ´ 第 一 ・__ :1羽 ‐ -21羽 :5+塁 =21-‐2:― 15■6 益え_o■ ぐ躍 午携9時に、つtっている書の高 さをはかつたら8cmてした, 午後3時にRしように織べると.鷲の高さは:&油でした。 `嗜 上のお話を,午前9時からキ後3時まで1こつも,た 雪の高i tttcmとして, 式に表しましょう。 烙 彗にあてはまる数をもとめましよう.― T中 1慮

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'上 のお諄を,ふえたひよこの数を」鍵として,蚤に表しましよう. 図

1-3-10

大 日本図書 たの しい算数3下 (橋本ほか,2012,pp.89-90) 大 日本図書は、挿絵 を用いた問題場面か ら「ふえたひよこの数 を□羽」 と最初か ら□が 未知数を表す記号 として表現す ることを指導 し、これまでの学習 と同様に文脈通 りに立式 することを促 している。 □を求める活動では、啓林館 と同様な方法で、□の扱いは未知数 と数を入れ る場所 (プ レイスホルダー

)の

両方である。□は、数を入れる場所 (プレイスホルダー

)と

して扱い 色々な数を代入 し、等式が成 り立つか どうかを考えさせ る方法 と、線分図をもとに□を未 知数 として扱い逆算で求める方法の両方を扱った指導になつている (観点① ①)。