微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 1

微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 1

2018

^年度前期

工学部・未来科学部

1

^年 担当

:

^{原 隆}

(

未来科学部数学系列・助教

)

■

^テイラー

-

マクローリンの近似定理

定理

(

^テイラー

-

マクローリンの近似定理

, [

^{石原・浅野}

] p.p. 70–71

^定理

15.1,

^定理

15.2)

 関数

f(x)

^が

(

^定義域

Df

に含まれる

)

^点

a

^{を含む区間で}

(n+ 1)

階微分可能ならば、その 区間内の各実数

x

^に対して

f(x) =f(a) + f^′(a)

1! (x−a) +f^′′(a)

2! (x−a)²+f⁽³⁾

3! (x−a)³+. . . . . . . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹

を満たすような実数

c

^が

a

^と

x

^{の間に少なくとも}

1

^{つ存在する。}

※

a= 0

^{のときの主張を特に マクローリンの定理 と呼ぶ。}

定義 テイラー

-

マクローリンの定理で登場する多項式

P_f,n^(a)(x) =f(a) + f^′(a)

1! (x−a) +f^′′(a)

2! (x−a)²+ f⁽³⁾(a)

3! (x−a)³+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

を

n

^{次テイラー多項式}

Taylor polynomial of degree n

^と呼ぶ。

babababababababababababababababababab

  テイラー

-

マクローリンの近似定理は、関数

f(x)

^{の値を テイラー多項式}

P_f,n^(a)(x)

で近似したときの誤差

R^(a)_f,n(x) = f(x)−P_f,n^(a)(x) (

^剰余項

remainder

^{と呼ばれる}

)

^を

R_f,n^(a)(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹

という形で

“

明確に

”

表せることを主張する定理で ある。この形で

R^(a)_f,n(x)

^{を表したものを ラグランジュの剰余項}

Lagrange form of remainder

^と呼ぶ。

注意 「剰余項が

“

^明確に

”

表せる」とは言っても、

(

証明からも分かるように

)

^{ラグランジュの} 剰余項に現れる数

c

^{は ロルの定理 に由来する} 存在することは保障されているけれど良く分からな い数 なので、

(x−a)ⁿ⁺¹

^の係数

f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)!

がどのような数なのかを具体的な形で完全に書き下すこ

とは ほぼ不可能である

!!

^{しかし剰余項が}

(

^{何らかの定数}

)×(x−a)ⁿ⁺¹

^{という形で書ける ことが}

分かれば、その大きさを 評価すること は可能となる。実際、テイラー展開やマクローリン展開の収

束性は 剰余項の大きさを調べる

(

^評価する

)

ことで調べられるのである。

■

テイラー展開、マクローリン展開

定義

(

テイラー展開、マクローリン展開

, [

^{石原・浅野}

] p. 74 (16.1), (16.2)

^式

)

 

f(x)

^{を 無限階微分可能 な関数とする。}

(

^{定義域内の}

)

^点

a

^{の近くの実数}

x

^{に対して、無限} 級数

∑∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(x)

n! (x−a)ⁿ =f(a) +f^′(a)

1! (x−a) + f^′′(a)

2! (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+. . . .

が

f(x)

^{に収束するとき}

(

^即ち

lim

n→∞P_f,n^(a)(x) =f(x)

^{が成り立つとき}

)

^、

f(x)

^は

x=a

^{で テイ} ラー展開可能

(

^{または 解析的}

analytic)

^{であるといい、}

f(x) =f(a) +f^′(a)

1! (x−a) +f^′′(a)

2! (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+. . . .

を

f(x)

^の

x =a

^{のまわりでの テイラー展開}

Taylor expansion

^{と呼ぶ。特に}

x= 0

^のまわ りでの テイラー展開を マクローリン展開

Maclaurin expansion

^と呼ぶ。

ブルック・テイラー^*1 コリン・マクローリン^*2 ジョセフ=ルイ・ラグランジュ^*3

注意

講義でも強調したように、テイラー展開のような 無限和

(

^級数

)

^{を考える場合には その無限和が} きちんと収束すること を確認しなければ意味がない

^*4

。テイラー多項式の列

{P_f,n^(a)(x)}^∞n=0

が

f(x)

に収束するということは、

R_f,n^(a)(x) =f(x)−P_f,n^(a)

^が

0

^{に収束すること} と同義である。ところがテ イラー

-

マクローリンの定理によると

R^(a)_f,n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹

と具体的に書き表すことが 出来たのだから、 テイラー展開が収束することを確認するためには、

R^(a)_f,n(x)

^が

0

^{に収束することを} 示せば良い ことになる

^*5

。以下、ラグランジュの剰余項

R⁽⁰⁾_f,n(x)

を調べることによって、基本的な 関数

e^x,sinx,cosx,log(1 +x),(1 +x)^α

^{に対してその}

マクローリン展開の収束性 を調べることに しよう。

*1Brook Taylor (1685–1731)

*2Colin Maclaurin (1698–1746)

*3Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

*4講義で紹介したS= 1−1 + 1−1 + 1−1 + 1−1 +. . . . のパラドックスを思い出そう。

*5他にも羃級数の収束半径の理論 を用いてテイラー展開の収束性を調べる方法もあるが、本講義の範疇を完全に逸脱す るのでこれ以上深入りしない。

■

^発展

:

基本的な関数のマクローリン展開の収束性について

以下の内容は学期末試験の範囲からは除外します

!!

1.

e^x= 1 +x+ 1

2!x²+. . .+ 1

n!xⁿ+. . . . (

^指数関数

)



f(x) =e^x

^とおくと

f⁽ⁿ⁾(x) =e^x

である。マクローリンの近似定理により、或る

0

^と

x

^の間の 数

c

^{が存在して}

Rn+1(x) =e^x− (

1 +x+ 1

2!x²+. . .+ 1 n!xⁿ

)

= e^c

(n+ 1)!xⁿ⁺¹

と表される。指数関数の単調性 より

e^c

^は

x >0

^のときは

e^x

^{より小さく、}

x <0

^のときは

e⁰ = 1

より小さい値となる。そこで

M = max{e^x,1}

^{とおくと、不等式}

Rn+1(x) ≤M xⁿ⁺¹

(n+ 1)!

^が成り立 つ

(M

^は

n

^{によらない定数}

)

。ここで次の命題を用いる

;

命題 任意の実数

x

^に対して

lim

n→∞

xⁿ

n! = 0 (“

階乗の方が指数関数より速く大きくなる

”)

【証明】

N−1≤ |x|< N

^{となるような自然数}

N

^{を考えると、}

n > N

^に対して

1 n < 1

N

^より不等

式

0<x n

<x N

が成り立つ。したがって

n > N

^に対して

0≤

xⁿ n!

=x 1

·x 2

· · · · · x

N −1 · x

N ·

x

N + 1

· · · ·x n

<x 1

·x 2

· · · · · x

N −1 · x

N ·x

N

· · · · x N

=Cx N

^n−N+1

が成り立つ

(

^但し

C =x

1 ·x

2

· · · · · x

N −1

^とおいた

)

^。ここで

N

^を

|x|< N

^{となるような自然} 数として選んだことから

x

N

<1

が成り立つので、上記の不等式の右辺は

n→ ∞

^とすると

0

に 収束する。したがって挟み撃ちの原理により

lim

n→∞

xⁿ

n! = 0

^が従う。

□

命題 により

xⁿ⁺¹ (n+ 1)!

n→∞

−−−−→0

である。したがって不等式

0 ≤ |Rn+1(x)| ≤ M xⁿ⁺¹

(n+ 1)!

^に於い て、右辺は

n→0

^とすると

0

に収束するので、挟み撃ちの原理により

lim

n→∞Rn+1(x) = 0

^が従う。

以上より 指数関数

e^x

のマクローリン展開は すべての

x

^{に対して 収束する。}

2.

sinx=x− 1

3!x³+ 1

5!x⁵−. . .+ (−1)^m

(2m+ 1)!x^2m+1+. . . . (

^三角関数

)



f(x) = sinx

とおくと、マクローリンの近似定理により、或る

0

^と

x

^の間の数

c

^{が存在して}

Rn+1(x) = sinx−

( x− 1

3!x³+ 1

5!x⁵−. . .+ f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

)

= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) (n+ 1)! xⁿ⁺¹

と 表 さ れ る 。但 し

f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

^は

±sinc, ±cosc

の い ず れ か で あ る 。そ の ど の 場 合 に 於 い て も

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)| ≤1

となるので、結局不等式

Rn+1(x)≤ xⁿ⁺¹

(n+ 1)!

^{が成り立つ。}

したがって上記の 命題 により、不等式

0≤ |Rn+1(x)| ≤ xⁿ⁺¹

(n+ 1)!

^{に於いて、右辺は}

n→0

^とす ると

0

に収束するので、挟み撃ちの原理により

lim

n→∞Rn+1(x) = 0

^{が従う。以上より 三角関数}

sinx

のマクローリン展開は すべての

x

^{に対して 収束する。}

3.

cosx= 1− 1

2!x²+ 1

4!x⁴−. . .+ (−1)^m

(2m)!x^2m+. . . . (

^三角関数

)



このときは 2.

(sinx

^の場合

)

と全く同様の議論によって、三角関数

cosx

^{のマクローリン展開も} すべての

x

^{に対して 収束する ことが分かる}

(

興味のある人は各自確認してみよう

!!)

^。

4.

log(1 +x) =x−1 2x²+1

3x³−1

4x⁴+. . .+(−1)ⁿ⁻¹

n xⁿ+. . . . (

^対数関数

)



f(x) = log(1+x)

^とおくと

f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)(−2)· · ·(−n+1)(1+x)⁻ⁿ = (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!(1+x)⁻ⁿ

である。したがってマクローリンの近似定理により、或る

0

^と

x

^の間の数

c

^{が存在して}

Rn+1(x) = log(1 +x)− (

x−1 2x²+1

3x³−. . .+ (−1)ⁿ⁻¹ n xⁿ

)

= (−1)ⁿ

(n+ 1)· 1

(1 +c)ⁿ⁺¹xⁿ⁺¹

と表される。

(

^ア

) 0≤x≤1

^{のとき このときは}

c

^は

0< c < x(≤1)

^{を満たす数なので、}

x <1 +c

^{が成り立つ。}

したがって

x

1 +c <1

^より

( x

1 +c )n+1

n→∞

−−−−→0

^{となるので、}

lim

n→∞Rn+1= 0

^が従う。

(

^イ

)^∗ −1< x≤0

^{のとき このときは} ラグランジュによる剰余項の表示を用いてしまうと、剰余項

が

0

に収束することを証明するのは難しい。そこで、以下に紹介する コーシーによる剰余項 の表示 を用いて剰余項をより精密に評価する

;

定理 点

a

^{のまわりで}

(n+ 1)

^{階微分可能な関数}

f(x)

^に対し、

x

^と

a

^{の間の実数}

c

^で

R^(a)_n,f =f(x)−P_f,n^(a)(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

n! (x−a)(x−c)ⁿ

を満たすものが存在する。剰余項

R^(a)_f,n(x)

を上記のように表したものを コーシーの剰 余項

Cauchy form of remainder

^と呼ぶ

^*6

^。

【証明の方針】

K

^を

K =f(x)−P_f,n^(a)(x) =f(x)− (

f(a) +f^′(a)

1! (x−a) +f^′′(a)

2! (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ )

で定めるとき、

a

^と

x

を端点とする閉区間上で定義された

t

^{についての関数}

g(t) =f(t) +f^′(t)

1! (x−t) +f^′′(t)

2! (x−t)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(t)

n! (x−t)ⁿ+Kx−t x−a

に対して ロルの定理を適用すれば良い

(

講義で扱った関数の最後の項を変えただけです

;

^{腕に自信の}

ある人は挑戦してみて下さい

)

^。

□

*6ラグランジュの剰余項と良く似ているが“(x− ⃝)^のn^乗”^{の形の部分が}(x−a)^nから(x−c)^{nになっているのが} 最大のポイント。

対数関数に対するコーシーの剰余項は

(a= 0

^{に注意して}

) R^Cauchy_n+1 = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

n! (x−a)(x−c)ⁿ= (−1)ⁿ

(1 +c)ⁿ⁺¹ ·x(x−c)ⁿ ∴ |R^Cauchy_n+1 |= |x|ⁿ⁺¹

|1 +c| 1−_x^c

1 +c ⁿ

と計算出来る。

0 x

−1 x c

|x−(−1)|

|c−(−1)|

ここで

−1 < x < c < 0

^{であるから、辺々を}

x <0

^{で割り算し}

て

−1

x >1 > c

x >0

^{が成り立つ。特に}

1− c

x >0

^{が従う。また、}

−1

x >1

の両辺に

c < 0

を掛け算すると不等式

−c

x < c

を得るの で、特に

1−c

x <1 +c

^が従う。

c >−1

^より

1 +c >0

であるので、最終的に不等式

0< 1− _x^c

1 +c <1

が成り立つことが分かる。特に

1−_x^c 1 +c

ⁿ <1

である。一方で上の図より

|1 +x|<|1 +c|

^であるこ とが分かる。したがって逆数をとって

1

|1 +c| < 1

|1 +x|

が成り立つ。これ等を纏めると

0≤ |Rn+1|= |x|ⁿ⁺¹

|1 +c| 1− _x^c

1 +c

ⁿ< |x|ⁿ⁺¹

|1 +x| ·1

となり、

|x| < 1

^{より右辺は}

n → ∞

^とすると

0

に収束することから、挟み撃ちの原理により

nlim→∞|R^Caucy_n+1 |= 0

が従う。

以上を纏めて、対数関数

log(1 +x)

^{のマクローリン展開は}

−1< x≤1

^を満たす

x

^{に対して収} 束することが分かる。

5.

log(1 +x)^α = 1 +αx+ α(α−1)

2! x²+. . .+ α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+. . . . (

^羃乗関数

)

以下では

α

は自然数でない とする

^*7

。

f(x) = (1 +x)^α

^{とおくと、}

f⁽ⁿ⁾(x) =α(α−1)· · ·(α−n+ 1)(1 +x)^α−n

^{である。ここでも矢張} り コーシーの剰余項 を用いると

(a= 0

^{であることに注意して}

)

R^Cauchy_n+1 =f(x)− (

1 +αx+α(α−1)

2! x²+. . .+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ

)

= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

n! x(x−c)ⁿ = α(α−1)· · ·(α−n)

n! (1 +c)^α−n−1xⁿ⁺¹ (

1− c x

)n

=α·α−1

1 ·α−2

2 · · · · · α−n

n (1 +c)^α−1

(1− _x^c 1 +c

)n

xⁿ⁺¹

= (αx) {−x(

1−α 1

)} {−x( 1−α

2

)}· · · · ·{

−x( 1−α

n )}

(1 +c)^α−1

(1−_x^c 1 +c

)n

と計算出来る。そこで

|R_n+1^Cauchy|

を段階的に評価してゆこう。

⋆ 1− ^c_x

1 +c

ⁿ

^は 4.

(

^イ

)

^{と同様にして}

1

より小さいことが分かる

^*8

。

*7自然数の場合は通常の多項式の二項定理なので、すべてのx^{に対して成り立つ。}

*8先程は−1< x <0のときしか扱わなかったが、0≤x <1のときも同様に評価出来るのでやってみよう。

⋆ |1 +c|^α−1

^の部分は

−|x|< c <|x|

^{であること、つまり}

1− |x|<1 +c <1 +|x|

^{であること} を用いると、羃乗関数の単調性から

◦ α−1>0

^のときは

(1 +c)^α−1<(1 +|x|)^α−1

◦ α−1<0

^のときは

(1 +c)^α−1<(1− |x|)^α−1

となる。したがって

M = max{(1 +|x|)^α−1,(1−|x|)^α−1}

^とおけば

(1 +c)^α−1< M

^となる。

⋆ −x (

1−α k

) (k = 1,2,3, . . .)

の部分については、先ず

−α ≤ |α|

^{であることから不等式}

x

( 1− α

k ) ≤

x (

1 +|α| k

)

^{が成り立つ。ここで}

k

^{に関する数列}

{

1 +|α| k

}

は

1

^に収束 する単調減少な数列であり、一方で

|x| <1

であることから、十分大きな自然数

N

^に対し て

x (

1 +|α| N

)<1

が成り立つ。さらに単調減少性より

N

^{より大きい自然数}

n

^に対して

x

( 1 +|α|

n

)<

x (

1 +|α| N

)

^{が成り立つ。}

以上より、

n > N

^{なる自然数}

n

^に対して

0≤|R^Cauchy_n+1 |

=|αx|x (

1−α 1

)· · ·x (

1− α N

) x

(

1− α N + 1

)· · ·x (

1−α n

)|1 +c|^α−1 1−_x^c

1 +c ⁿ

≤ |αx|

x (

1 +|α| 1

)· · · x

( 1 +|α|

N )

x (

1 + |α| N + 1

)· · · x

( 1 +|α|

n

)|1 +c|^α−1 1−_x^c

1 +c ⁿ

<|αx| x

(

1 +|α| 1

)· · · x

( 1 +|α|

N )·

x (

1 +|α| N

)· · · x

( 1 +|α|

N

)·M·1ⁿ

< M^′ x

( 1 +|α|

N

)^n−N −−−−→^n→∞ 0

が成り立つ

(

^但し

M^′ =M|x|^N

α (

1 +|α| 1

)

· · · (

1 + |α| N −1

)

^とおいた

;

^これは

n

^{に依らない定} 数

)

。したがって挟み撃ちの原理から

lim

n→∞R^Cauchy_n+1 = 0

^が従う。

以上を纏めて、羃乗関数

(1 +x)^α

^{のマクローリン展開は}

|x|<1

^を満たす

x

^{に対して収束する} ことが分かる。

babababababababababababababababababab

注意 対数関数

log(1 +x),

^羃乗関数

(1 +x)^α

^では

−1≤x <1

^または

|x|<1

^のときに しか収束性を議論していないが、この範囲に含まれない

x

^{に対しては 実際に無限和が発散} してしまう ことも確認することが出来る

^*9

。したがってこの

2

^{つに関しては 収束する範囲} に注意すること

!!

*9例えば『収束する級数

∑∞ n=1

anに対しては|an|−−−−→^n→∞ 0^{が成り立つ』}([^{石原・浅野}]§1^定理1.3^参照) ^{を利用して、}

『

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

^が0に収束しないことを確認する』方法などがある。