微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 6
2018年度前期工学部・未来科学部1年 担当: 原 隆(未来科学部数学系列・助教)
演習課題 Exercises in class
※∗印の問題は少し難易度が高めの問題、∗∗印の問題は発展問題、∗ ∗ ∗印の問題はチャレンジ問題です。
問題6-1. (テイラー–マクローリンの近似定理の応用Ⅰ: 関数の近似値の計算)
関数のx2 の項までのマクローリン近似を利用して以下の関数値を近似計算しなさい。物足りない 人は、3次のラグランジュ剰余項 R3(x) を評価することで 誤差の評価 にも挑戦してみよう。
(1) e0.1 (2) sin(0.02) (3) √
1.05 (4) log(0.95)
問題6-2. (テイラー–マクローリンの近似定理の応用Ⅱ: 不定形の極限) 以下の関数の極限値を計算しなさい。
(1) lim
x→0
x−sinx
x3 (2) lim
x→0
ex−sinx−cosx
x2 (3) lim
x→0
log(1 +x3)−x3 x6 (4) lim
x→+∞x(e1x −1) (5) lim
x→0
√7
1 +x−1
x (6) lim
x→0
√3
1 +x−1−13x cosx−1 (7) lim
x→0
sinx
ex−e−x (8) lim
x→0
esinx−x−cosx
log(1 +x2) (9) lim
x→+0xlogx (10) lim
x→0
√1 + 2x−1−x
√3
1−x2−1 (11) lim
x→0
log(1−4x)
sin(2x) (12)∗ lim
x→0
√cos(3x)−1 log(1 +x) + log(1−x)
【ヒント】(9) lim
x→+0xlogx= lim
x→+0
logx 1 x
と無理矢理分数の形に変形してからド・ロピタルの定理を用いる
問題6-3. (テイラー–マクローリンの近似定理の応用Ⅲ)∗∗
閉区間[a, b] で連続で、その両端を除いた開区間(a, b) で (n+ 1) 階微分可能な関数f(x) を考え る。もし開区間 (a, b) 内の すべてのc に対して f(n+1)(c) = 0 が成り立つならば、f(x) は次数が n次以下の多項式となることを、テイラー–マクローリンの近似定理を用いて証明しなさい。
【ヒント】「導関数が0である関数は定数関数」という事実の平均値の定理を用いた証明([石原・浅野] p. 64定理13.3を参照)を真似てみよう
問題6-4. (関数の増減・凹凸とグラフの概形)
以下の関数の増減、凹凸を調べ、そのグラフの概形を描きなさい。
(1) f(x) =xe−x (2) f(x) = x
x2+ 4 (3) f(x) =e−xcosx (0≤x≤2π)
【解答】
問題6-2.
(10) マクローリン展開の公式より
√1 + 2x= 1 + 1 2(2x) +
1 2 ·
(
−1 2
)
2 (2x)2+ 1 2·
(
−1 2
)
· (
−3 2
)
3! (2x)3+. . . .
= 1 +x−1 2x2+1
2x3−. . . ,
√3
1−x2= 1 + 1
3(−x2) + 1 3 ·
(
−2 3
)
2 (−x2)2+. . . . = 1− 1 3x2−1
9x4+. . . . だから、
√1 + 2x−1−x
√3
1−x2 = (
1 +x− 1 2x2+1
2x3+. . . . )
−1−x (
1− 1 3x2−1
9x4+. . . . )
−1
= x2
(
−1 2 +1
2x+. . . . )
x2 (
−1 3 −1
9x2+. . . .
) −−−−−−→x→0 −1 2
−1 3
= 3 2 .
【別解】ド・ロピタルの定理より(2回使う必要あり)
xlim→0
√1 + 2x−1−x
√3
1−x2 = lim
x→0
√ 1
1 + 2x −1
−2x 3√3
1−x22
= lim
x→0
− 1
√1 + 2x3
−2 3 ·
√3
1−x22−x·2 3
−2x
√3
1−x2
√3
1−x24
= −1
−2 3 ·1
= 3 2
※ 複雑な微分計算ではありますが、結局最後にx= 0を代入してしまうので、見かけ程労力はかかりません
(11) マクローリン展開の公式より
log(1−4x) = (−4x)− (−4x)2
2 +. . . . =−4x−8x2+. . . , sin(2x) = (2x)−(2x)3
3! +. . . . = 2x−4
3x3+. . . . だから、
log(1−4x)
sin(2x) = −4x−8x2+. . . . 2x−4
3x3+. . . .
= x(−4−8x+. . . .) x
( 2−4
3x2+. . . .
) −−−−−−→x→0 4
2 = −2 .
【別解】ド・ロピタルの定理より
xlim→0
log(1−4x) sin(2x) = lim
x→0
−4 1−4x
2 cos(2x) = −4
2 = −2 . (12) マクローリン展開の公式より
cos(3x) = 1− (3x)2
2! +(3x)4
4! −. . . . = 1−x2 (9
2 − 27
8 x2+. . . . )
であるから、
√
1 + のマクローリン展開の公式より
√cos(3x)
= 1 +1 2·
(
−x2 (9
2−27
8x2+. . . ))
+ 1 2·
(
−1 2 ) 2!
(
−x2 (9
2−27
8x2+. . . ))2
+. . . .
= 1−9
4x2−27
32x4+. . . . と計算出来る*1 ( =x2
(9 2− 27
8 x2+. . . . )
として用いた)。一方で
log(1 +x) =x−x2 2 +x3
3 − x4
4 +. . . , log(1−x) = (−x)− (−x)2
2 +(−x3)
3 −(−x)4
4 +. . . . =−x−x2 2 − x3
3 −x4
4 −. . . . であるから
√cos(3x)−1 log(1 +x) + log(1−x)
=
( 1−9
4x2−27
32x4+. . . . )
−1 (
x− x2 2 +x3
3 − x4
4 +. . . . )
+ (
−x−x2 2 −x3
3 −x4
4 −. . . . )
= x2
(
−9 4 −27
32x2+. . . . )
x2 (
−1−x2
2 −. . . .
) −−−−−−→x→0 −9
−41 = 9 4 .
【別解】ド・ロピタルの定理より(2回使う必要あり)
xlim→0
√cos(3x)−1
log(1 +x) + log(1−x) = lim
x→0
−3 sin(3x) 2√
cos(3x) 1
1 +x − 1 1−x
= lim
x→0
−3 2 ·
3 cos(3x)√
cos(3x)−sin(3x)· −3 sin(3x) 2√
cos(3x)
√cos(3x)2
−1
(1 +x)2 + −1 (1−x)2
= −9
−1−2 1 = 9 4
*1後の計算を見れば分かるように、実はx4 の係数まで計算する必要はない。
【解説】不定形の極限の練習問題。どの問題もマクローリン展開を用いて計算しても、ド・ロピタル の定理を用いて計算しても解くことが出来ます。なお、講義中にも注意しましたが、ド・ロピタルの 定理を用いる際には 必ず ド・ロピタルの定理を用いたことが分かるように明記する ようにしてく ださい。学期末試験で「ド・ロピタルの定理より」と書かれていない答案は 減点対象です!!
基本的には良く出来ていたようですが、ド・ロピタルの定理を用いる際に合成関数の微分を間違えて いたり((√
cos 3x)′= 3
2(−sin 3x)−12 という誤答が多かったです。正しくは 1
2(cos 3x)−12(−3 sin 3x) ですよね)、マクローリン展開の公式への代入の仕方を間違えていたりとったミスが散見されました。
気をつけましょう。
なお、(1), (3) は、1回ド・ロピタルの定理を使った段階では まだ 0
0 の不定形ですので、ド・ロ ピタルの定理を 2回 用いる必要がある ことには注意が必要です。また(3) は、マクローリン展開 を用いて解く際には
cos 3x のマクローリン展開の式を√
1 +•のマクローリン展開の式に代入する
という操作が必要となるため、他の問題よりも若干難易度が高めです。逆説的に言えば、(3)がきち んと解けるようになれば、この種の問題についてはある程度自信を持っても良いかと思います。
問題6-3.
x を開区間(a, b) 内の任意の実数とする。このとき、マクローリンの近似定理 (a= 0 のときのテ
イラーの近似定理) より0 と xの間の実数c で
f(x) =f(0) + f′(0)
1! x+f′′(0)
2! x2+. . . .+f(n)(0)
n! xn+f(n+1)(c) (n+ 1)! xn+1
| {z }
剰余項(誤差項)
を満たすものが少なくとも1つ存在する。ところが、問題文の仮定により(a, b) 内の任意の実数c に 対して f(n+1)(c) = 0 であったから
f(x) =f(0) +f′(0)
1! x+f′′(0)
2! x2+. . . .+f(n)(0)
n! xn :0
+f(n+1)(c) (n+ 1)! xn+1
=f(0) +f′(0)
1! x+f′′(0)
2! x2+. . . .+f(n)(0) n! xn
となる。これがすべての xについて成り立つので、f(x) は 高々 n 次の多項式となる。 □
問題6-4.
(1) f(x) =xe−x
積の微分法により f(x) の導関数および2階導関数は
f′(x) =e−x−xe−x = (1−x)e−x f′′(x) =−e−x−(1−x)e−x = (x−2)e−x と計算出来る。また lim
x→−∞xe−x =−∞, lim
x→∞
x
ex = 0 より*2 増減凹凸表およびグラフの概 形は以下のようになる。
*2マクローリンの近似定理かド・ロピタルの定理を用いれば容易に分かります。
x −∞ · · · 1 · · · 2 · · · ∞
f′(x) + 0 − −
f′′(x) − − 0 +
f(x) (−∞) 1
e
2
e2 (0)
x y
O 1 2
1 e 2 e2
(2) f(x) = x x2+ 4
商の微分法により f(x) の導関数および2階導関数は
f′(x) = 1·(x2+ 4)−x·2x
(x2+ 4)2 = −x2+ 4 (x2+ 4)2,
f′′(x) = (−2x)(x2+ 4)2−(−x2+ 4)·2(x2+ 4)·2x (x2+ 4)
3
4
= 2x(x2−8) (x2+ 4)3
と計算出来る。また lim
x→±∞
x
x2+ 4 = 0 より*3 増減凹凸表およびグラフの概形は以下のよう になる。
x −∞ · · · −2√
2 · · · −2 · · · 0 · · · 2 · · · 2√
2 · · · ∞
f′(x) − − 0 + + 0 − −
f′′(x) − 0 + + 0 − − 0 +
f(x) (0) −
√2
6 −1
4 0 1
4
√2
6 (0)
x y
O 2√
2 2
−2√ 2−2
x y
O 2√
2 2
−2√ 2−2
1 4
−1 4
√2 6
−
√2 6
※ 実際の縮尺で図を書くと上図のようになるが、概形が良く分からなくなってしまうので、
y軸方向に6倍に拡大した図を下に並べることとした。
*3マクローリンの近似定理かド・ロピタルの定理を用いれば容易に分かります。
(3) f(x) =e−xcosx
積の微分法により f(x) の導関数および2階導関数は
f′(x) =−e−xcosx+e−x·(−sinx) =−e−x(cosx+ sinx)
=−e−x
√2 sin (
x+π 4
)
(三角関数の合成)
f′′(x) =e−x(cosx+ sinx)−e−x(−sinx+ cosx) = 2e−xsinx と計算出来る。したがって増減凹凸表およびグラフの概形は以下のようになる。
x 0 · · · 3
4π · · · π · · · 7
4π · · · 2π
f′(x) − 0 + + 0 −
f′′(x) 0 + + 0 − − 0
f(x) 1 −e−34π
√2 −e−π e−74π
√2 e−2π
x y
O 1
※ 青の丸印が極値点 (3
4π, −e−34π
√2 )
, (7
4π, e−74π
√2 )
で、赤の丸印が変曲点(
π,−e−π)
である。本当は「減衰する(段々小さくなってゆく) 波」の様子を表しているが、e−xがあ まりにも急速に0に収束するため、右の方ではもはや波状になっていることは肉眼では確認 出来ない。
