微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 11

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 11

工学部・未来科学部1^年 担当: ^{原 隆}(未来科学部数学系列・助教)

自習課題

Seatwork assignment

※ 必ず 1度自分なりに解いてみてから解答をチェックすること!!

(解答は講義用ウェブページからダウンロード出来ます) Try to give your solutionsbefore checking the answer.

You can download the answer from the webpage of this class.

問題11-1. (^{有理関数の積分})

以下の不定積分、定積分を計算しなさい。

(1)

∫ 6x+ 17

2x²−5x−3dx (2)

∫ 4x−3

(2x−1)²dx (3)

∫ x⁴−3x³+ 5x−8 x²−x−2 dx (4)

∫ 6x²−7x−1

x³−2x²−x+ 2dx (5)

∫ 3 1

3x²−4x+ 3

x³−2x²+ 3x−1dx (6)

∫ 2√ 3

−2

3x−2 x²+ 4dx (7)

∫ 2 1

7x²−11x+ 6

x³−3x² dx (8)^∗

∫ 1

1 2

1

x³+ 1dx (9)^∗

∫ ^√3 1

1

(1 +x²)²dx

【ヒント集】

有理関数の積分は 部分分数分解 をするのが定石(^{石原・浅野の教科書の} §24 ^参照) (1), (3), (4), (7), (9)取り敢えず 分母を因数分解することから始めるべし!!

(5), (6)あれ? これ以上分母が因数分解出来ない?? …… そんなときはどうしましょ?

(8)これ以上因数分解出来ない2次式に対しては f^′(x)

f(x) ^タイプとArctanが出て来るタイプ の2つ のタイプに巧く分けるべし!!

(9)

∫ 1

(1 +x²)²dx=

∫ (1 +x²)−x² (1 +x²)² dx=

∫ 1

1 +x²dx−

∫ x

2· 2x

(1 +x²)²

| {z }

=−



 1 1 +x²





′

dx として部分

積分に持ち込むと分かりやすいかも。

問題11-2. (^広義積分)

以下の広義積分を計算しなさい。

(1)

∫ x=2 x=0

√ 1

4−x²dx (2)

∫ x=∞ x=0

xe^−x2dx (3)

∫ x=√ 3

x=0

√ x

3−x²dx (4)

∫ x=∞ x=1

1

x³+xdx (5)

∫ x=∞ x=0

e^−x√

1−e^−xdx (6)

∫ x=^π₂ x=0

sinx

√cosxdx

【ヒント】

若干積分が難しくなってますが、まぁ複雑怪奇な積分は大体置換積分すればなんとかなるもんです。

【解答】

問題11-1. ^以下 C ^{は積分定数とする。}

(1)

∫ 6x+ 17 2x²−5x−3dx

被積分関数を部分分数分解すると 6x+ 17

2x²−5x−3 = 5

x−3 − 4

2x+ 1 ^だから

∫ 6x+ 17

2x²−5x−3dx=

∫ ( 5

x−3− 4 2x+ 1

) dx

= 5 log|x−3| −2 log|2x+ 1|+C (

= log

(x−3)⁵ (2x+ 1)²

+C )

(2)

∫ 4x−3 (2x−1)²dx

被積分関数を「分解」すると 4x−3

(2x−1)² = 2

2x−1 − 1

(2x−1)^{2 だから}

∫ 4x−3 (2x−1)²dx=

∫ ( 2

2x−1 − 1 (2x−1)²

) dx

= log|2x−1|+1 2 · 1

2x−1+C (3)

∫ x⁴−3x³+ 5x−8 x²−x−2 dx

被積分関数は x⁴−3x³+ 5x−8

x²−x−2 =x²−2x+ x−8

(x+ 1)(x−2) =x²−2x+ 3

x+ 1− 2 x−2 と整理されるので

∫ x⁴−3x³+ 5x−8 x²−x−2 dx=

∫ (

x²−2x+ 3

x+ 1− 2 x−2

) dx

= 1

3x³−x²+ 3 log|x+ 1| −2 log|x−2|+C (

= 1

3x³−x²+ log

(x+ 1)³ (x−2)²

+C )

(4)

∫ 6x²−7x−1 x³−2x²−x+ 2dx

被積分関数を部分分数分解すると 6x²−7x−1

x³−2x²−x+ 2 = 2

x+ 1+ 1

x−1 + 3

x−2 ^だから

∫ 6x²−7x−1

x³−2x²−x+ 2dx=

∫ ( 2

x+ 1 + 1

x−1 + 3 x−2

) dx

= 2 log|x+ 1|+ log|x−1|+ 3 log|x−2|+C (= log(x+ 1)²(x−1)(x−2)³+C) (5)

∫ 3 1

3x²−4x+ 3 x³−2x²+ 3x−1dx 3x²−4x+ 3

x³−2x²+ 3x−1 = (x³−2x²+ 3x−1)^′

x³−2x²+ 3x−1 ^{であるから}

∫ 3 1

3x²−4x+ 3

x³−2x²+ 3x−1dx=[

log|x³−2x²+ 3x−1]3

1= log 17

(6)

∫ 2√ 3

−2

3x−2 x²+ 4dx 被積分関数は 3x−2

x²+ 4 = 3 2 · 2x

x²+ 4− 2

x²+ 4 = 3 2

(x²+ 4)^′

x²+ 4 − 2

x²+ 4 ^{と整理出来るので}

∫ 2√ 3

−2

3x−2 x²+ 4dx=

[3

2log(x²+ 4)−Arctan (x

2 )]^2√3

−2

= 3

2log 2− 7 12π

(7)

∫ 2 1

7x²−11x+ 6 x³−3x² dx

被積分関数を部分分数分解すると 7x²−11x+ 6 x³−3x² = 4

x−3 + 3 x − 2

x^{2 だから}

∫ 2 1

7x²−11x+ 6 x³−3x² dx=

∫ 2 1

( 4 x−3+ 3

x − 2 x²

) dx

= [

4 log|x−3|+ 3 log|x|+ 2 x

]2 1

= −log 2−1

(8)

∫ 1

1 2

1 x³+ 1dx 被積分関数は 1

x³+ 1 = 1

(x+ 1)(x²−x+ 1) = 1 3

{ 1

x+ 1− x−2 x²−x+ 1

}

と部分分数分解出 来るが、ここで

x−2 x²−x+ 1 =

1

2(2x−1)−³₂ x²−x+ 1 = 1

2 ·(x²−x+ 1)^′ x²−x+ 1 − 3

2· 1

( x−1

2 )2

+3 4 であることから

∫ 1

1 2

1

x³+ 1dx= 1 3

∫ 1

1 2

( 1

x+ 1− x−2 x²−x+ 1

) dx

= 1 3

[

log|x+ 1| −1

2log|x²−x+ 1|+√

3Arctan 2

√3 (

x−1 2

)]1

1 2

= 1

3log 2−1

6log 3 +

√3 18π

(9)

∫ ^√3 1

1

(1 +x²)²dx 被積分関数は 1

(1 +x²)² = (1 +x²)−x²

(1 +x²)² = 1

1 +x² − x 2 ·

{

− ( 1

1 +x² )_′}

と整理出来るの で、部分積分法を用いて

∫ ^√3 1

1

(1 +x²)²dx=

∫ ^√3 1

{ 1

1 +x² +x 2 ·

( 1 1 +x²

)_′} dx

= [

Arctanx+x 2 · 1

1 +x² ]^√3

1

−

∫ ^√3 1

(x 2

)_′ 1

1 +x²dx (^{部分積分法})

= 1 12π+

√3 8 − 1

4 −1 2

[Arctanx]^√3

1 = 1

24π+

√3 8 − 1

4

問題11-2.

(1)

∫ 2 0

√ 1

4−x²dx [x= 2 ^{で被積分関数が発散}]

∫ 2 0

√ 1

4−x²dx= lim

K→2−0

∫ K 0

√ 1

4−x²dx= lim

K→2−0

[Arcsinx 2

]K

0 = lim

K→2−0ArcsinK 2

= Arcsin 1 = π 2

※「広義積分だと気付かなくても」積分が計算出来てしまうケースではあるが、「どこがヤバ いから広義積分となっているのか」をしっかり把握しておくのは重要。

(2)

∫ _∞

0

xe^−x2dx [^無限積分]

∫ _∞

0

xe^−x2dx= lim

K→+∞

∫ K 0

xe^−x2dx= lim

K→∞

[

−1 2e^−x2

]K 0

= lim

K→∞

(1 2 −1

2e^−K2 )

= 1 2

※

∫ K 0

xe^−x2dx^の計算はt=−x² とおいて置換積分すれば良い。

(3)

∫ ^√3 0

√ x

3−x²dx [x=√

3^{で被積分関数が発散}]

∫ ^√3 0

√ x

3−x²dx= lim

K→√ 3−0

∫ K 0

√ x

3−x²dx= lim

K→√ 3−0

[−√

3−x²]K 0

= lim

K→√ 3−0

(√ 3−√

3−K² )

= √ 3

※ (1) ^{の亜種。分子に}xがあるかないかで原始関数の形が大きく変化することに気を付けよ う。これはt= 3−x² とおいて置換積分するのが分かり易いかもしれない。

(4)

∫ _∞

1

1

x³+xdx [^無限積分] 被積分関数は 1

x³+x = 1

x − x

x²+ 1 = 1 x −1

2 ·(x²+ 1)^′

x²+ 1 ^{と整理出来るので}

∫ _∞

1

1

x³+xdx= lim

K→∞

∫ K 1

1

x³+xdx= lim

K→∞

[

log|x| −1

2log(x²+ 1) ]K

1

= lim

K→∞

(

logK−1

2log(K²+ 1) + 1 2log 2

)

· · · (†)

= 1

2log 2 + lim

K→∞log K

√K²+ 1 = 1

2log 2 +

Klim→∞

√ 1 1 +_K¹2

= 1 2log 2

※ (†) ^{の状態だと} K ^{の極限が所謂}“∞ − ∞ ^の不定形” となってしまうため、対数法則 を 用いて log^を1つにまとめるのがポイント。うっかりすると「不定積分は収束しない」な んて答えがちな問題なので要注意。

(5)

∫ _∞

0

e^−x√

1−e^−xdx [^無限積分]

∫ _∞

0

e^−x√

1−e^−xdx= lim

K→+∞

∫ K 0

e^−x√

1−e^−xdx= lim

K→∞

[2

3(1−e^−x)³² ]K

0

= lim

K→∞

2

3(1−e^−K)³² = 2 3

※

∫ K 0

e^−x√

1−e^−xdx^の計算はt= 1−e^−x とおいて置換積分すれば良い。

(6)

∫ ^π₂

0

sinx

√cosxdx [x= π

2 ^{で被積分関数が発散}]

∫ ^π₂

0

sinx

√cosxdx= lim

K→^π2−0

∫ K 0

sinx

√cosxdx= lim

K→^π2−0

[−2(cosx)¹²]K

0 = lim

K→^π2−0(2−2(cosK)¹²) = 2

※ これも「広義積分だと気付かなくても」積分が計算出来てしまうケース。t= cosx ^とお いて

∫ K 0

sinx

√cosxdxを置換積分出来れば、造作もない問題のはず。