微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 9

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 9

工学部・未来科学部1^年 担当: ^{原 隆}(未来科学部数学系列・助教)

自習課題

Seatwork assignment

※ 必ず 1度自分なりに解いてみてから解答をチェックすること!!

(解答は講義用ウェブページからダウンロード出来ます) Try to give your solutionsbefore checking the answer.

You can download the answer from the webpage of this class.

問題9-1. (^{不定積分の計算})

以下の不定積分を計算しなさい。

(1)

∫

√5

x³dx (2)

∫ sin

( 2x− 1

2π )

dx (3)

∫ 1 1 +x²dx (4)

∫ 3x²−2

x³−2xdx (5)

∫ 1

√3

3x+ 2dx (6)

∫

(tan²x+ 1)dx

【ヒント】

(3), (6) 大学に入ってから学んだ 微分法の公式を思い出そう

問題9-2. (部分積分法と置換積分法) 以下の不定積分を計算しなさい。

(1)

∫

sinxcos³x dx (2)

∫

xe^3xdx (3)

∫

logx dx (4)

∫

e^sinxcosx dx (5)^∗∗ ∫ √

x²+a²dx (a >0) (6)^∗∗

∫

(logx)ⁿdx (n∈N)

【ヒント集】 ※ 本当に 困ったときだけ 見ること!!

(1)「どこをかたまりだと思うか」がポイント (2)これはノーヒントで頑張ろう。

(3)講義で扱ったArctanxの積分を思い出そう。

(思い出さなくても、高校のときにやったことがある人が大半だとは思うけど) (4)さて、部分積分と置換積分のどちらを使うのでしょうか？

(5)^∗ x=a·^et−e₂^{−t とおいて置換積分 しよう*1。}

※ t=x+√

x²+a² と置換しても出来ます(こちらは塾や予備校でも扱われたりするおき方) (6)^∗ In=

∫

(logx)ⁿdxとおいて、InとIn−1 に関する関係式を部分積分を用いて導き出そう。

*1sinhx=e^x−e^−x

2 ^{と定義して双曲線正弦関数}hyperbolic sine functionと呼ぶ。石原・浅野の教科書p.50^参照。

【解答例】

問題9-1. ^以下 C は積分定数を表すものとする 。 (1)

∫

√5

x³dx=

∫

x³⁵dx= 5

8x⁸⁵ +C (= 5 8x√⁵

x³+C) (2)

∫ sin

( 2x− 1

2π )

dx= −1 2cos

( 2x−1

2π )

+C

※ {

cos (

2x−1 2π

)}_′

=−2sin (

2x− 1 2π

) に注意

(3)

∫ 1

1 +x²dx= Arctan (x) +C ^※(Arctan (x))^′= 1

1 +x^{2 を思い出そう。}

※ x= tantと置換積分しても出来ます。

(4)

∫ 3x²−2 x³−2xdx=

∫ (x³−2x)^′

x³−2x dx= log|x³−2x|+C (5)

∫ 1

√3

3x+ 2dx=

∫

(3x+ 2)⁻¹³dx= 1

2(3x+ 2)²³ +C (= 1 2

√3

3x+ 2²+C)

※{(3x+ 2)²³}^′=3·2

3(3x+ 2)^{−13 に注意} (6)

∫

(tan²x+ 1)dx= tanx+C ^※(tanx)^′= tan²+1^に注意

問題9-2. ^以下 C は積分定数を表すものとする 。 (1)

∫

sinxcos³x dx

t= cosx ^{とおいて置換積分すると、}dt= (cosx)^′dx=−sinx dx^より

∫

sinxcos³x dx^x=cos= ^t

∫

t³sinx dt

−sinx =−

∫

t³dt=−1

4t⁴+C = −1

4cos⁴x+C (2)

∫

xe^3xdx=

∫ x·

(1 3e^3x

)_′

dx^部分積分= 1

3xe^3x−1 3

∫

(x)^′e^3xdx= 1

3xe^3x−1

9e^3x+C (3)

∫

logx dx=

∫

(x)^′·logx dx^部分積分= xlogx−

∫

x(logx)^′dx=xlogx−

∫ x· 1

xdx

= xlogx−x+C (4)

∫

e^sinxcosx dx

t= sinx^{とおいて置換積分すると、}dt= (sinx)^′dx= cosx dx^より

∫

e^sinxcosx dx^t=sin= ^x

∫

e^tcosx dt cosx =

∫

e^tdt=e^t+C= e^sinx+C (5) ∫ √

x²+a²dx (^但し a >0) x=asinht=a·e^t−e^−t

2 · · ·(♣) ^{と置換すると} dx=a·

(e^t−e^−t 2

)_′

dt=a·e^t+e^−t

2 dt (=acosht dt)

となる。他方，

√a²+x²=a

√ 1 +

(e^t−e^−t 2

)2

=a

√ 1 +

((e^t)²−2 + (e^−t)² 4

)

=a

√(e^t)²+ 2 + (e^−t)² 4

=a

√(e^t+e^−t 2

)2

=a· e^t+e^−t

2 · · ·(♠) (=acosht)

である^*2。したがって、

∫ √a²+x²dx=

∫ (

a·e^t+e^−t 2

)

·a

(e^t+e^−t 2

) dt

=a²

∫ (e^t+e^−t 2

)2

dt=a²

∫ e^2t+ 2 +e^−2t

4 dt

=a² (1

8e^2t+1 2t−1

8e^−2t )

+C

= a² 2

{(e^t+e^−t 2

)

·

(e^t−t^−t 2

) +t

} +C と計算出来る(^但しC ^{は積分定数})^。ここで(♣), (♠) ^より

e^t+e^−t

2 · e^t−e^−t

2 =

(1 a

√x²+a² )

·(x a )

= 1 a²x√

a²+x² であったことを思い出しておこう。また、 (♣) ^より e^{t は二次方程式}

ae^2t−2xe^t−a= 0 の根となるから、根の公式からe^t= x±√

x²+a²

a ^{となるが、}e^t>0^と併せて e^t= x+√

x²+a²

a .

∴ t= logx+√

x²+a²

a = log(x+√

x²+a²)−loga.

これ等を併せて

∫ √

x²+a²dx= a² 2

( 1 a²x√

a²+x²+ logx+√

x²+a² a

) +C

= 1 2x√

a²+x²+1

2a²log(x+√

x²+a²) +C となる^*3。

*2 e^t+e^−t

2 >0^に注意。

*3ここでは a²

2 logx+√ a²+x²

a = a²

2(log(x+√

x²+a²)−loga) ^{の計算で出て来る}−a²

2 loga^{の部分は、既に} 登場している積分定数C と併せて改めて積分定数Cとおき直している。勿論 a²

2 logx+√ a²+x²

a ^{のまま答えて} いても正解。

(6)

∫

(logx)ⁿdx (^但し n∈N) In =

∫

(logx)ⁿdxとおくと、部分積分法により In =

∫

(x)^′(logx)ⁿdx=x(logx)ⁿ−

∫

x{(logx)ⁿ}^′dx (^{部分積分法})

=x(logx)ⁿ−

∫

x·n(logx)ⁿ⁻¹· 1 xdx

=x(logx)ⁿ−n

∫

(logx)ⁿ⁻¹dx だから、漸化式

In =x(logx)ⁿ−nIn−1 · · ·(∗)n

を得る。これを繰り返し適用して

In =x(logx)ⁿ−nIn−1 ((∗)n より)

=x(logx)ⁿ−n{x(log)ⁿ⁻¹−(n−1)In−2} ((∗)n−1 より)

=x(logx)ⁿ−n(logx)ⁿ⁻¹+n(n−1)In−2

=x(logx)ⁿ−nx(logx)ⁿ⁻¹+n(n−1){x(logx)ⁿ⁻²−(n−2)In−3} ((∗)n−2 より)

=x(logx)ⁿ−nx(logx)ⁿ⁻¹+n(n−1)(logx)ⁿ⁻²−n(n−1)(n−2)In−3

=· · ·

=x(logx)ⁿ−nx(logx)ⁿ⁻¹+n(n−1)(logx)ⁿ⁻²−. . .

. . .+ (−1)ⁿn(n−1)· · ·2·1I0. ここで

I0=

∫

1dx=x+C (C^{は積分定数}) であるから、結局

In=x{(logx)ⁿ−n(logx)ⁿ⁻¹+n(n−1)(logx)ⁿ⁻²−. . .+ (−1)ⁿn!}+C

= x {∑n

k=0(−1)^k n!

(n−k)!(logx)^n−k }

+C

【注】 試しに n= 0, n= 1 ^{を代入してみると、}

I0=x+C I1=x

{

(−1)⁰·1!

1!(logx)¹+ (−1)¹·1!

0!(logx)⁰ }

+C

=x(logx−1) +C

となり^*4、「1 ^{の不定積分は} x+C」という良く知られた公式や演習問題6-2. (5) ^{の結果をき} ちんと復元していることが分かります。

*4便宜上0!^は1と解釈する約束となっています。