微分積分学および演習 Ⅰ 演習問題 12

微分積分学および演習 Ⅰ 演習問題 12

工学部・未来科学部1^年 担当: ^{原 隆}(未来科学部数学系列・助教)

演習課題

Exercises in class

※∗印の付いた問題は、少し難易度が高めです。

問題12-1. (^{図形の求積Ⅰ}: ^{グラフの面積}) 以下の設問に答えなさい。

(1) xy ^{平面内の曲線}y= (x−1)²,y=e^x,x= 5 で囲まれる領域の面積を求めなさい。

(2) xy ^{平面の曲線}y= sin(2x),y = 4

πx で囲まれる領域の面積を求めなさい。

(3) ^楕円 x² a² +y²

b² = 1 で囲まれる領域の面積を求めなさい(^但しa >0,b >0 ^とする)^。 (4) xy 平面内で、サイクロイド

{

x =a(θ−sinθ)

y =a(1−cosθ) (0≤θ≤2π) と x 軸によって囲まれる領域の面積を求めなさい(^但し a >0 ^とする)^。 (5)^∗ xy 平面内で、アステロイド

{

x =acos³θ

y =asin³θ (0≤θ≤2π) の内部の面積を求めなさい(^但しa >0^とする)^。

問題12-2. (^{図形の求積Ⅱ}: ^{回転体の体積}) 以下の設問に答えなさい。

(1) xy ^{平面内で、}x ^軸、y ^{軸及び直線} y=−1

2x+ 2^{で囲まれる図形を}x ^{軸のまわりに}1^回転さ せて得られる回転体の体積を求めなさい。

(2) ^楕円 x² a² + y²

b² = 1 ^の内部をx ^{軸のまわりに}1回転させて得られる回転体^*1の体積を求めなさ い (^但し a >0,b >0 ^とする)^。

(3) xy ^{平面内で、曲線}y= sinx(0≤x≤π)^と x ^{軸とで囲まれる図形を} x ^{軸のまわりに}1^回転 させて得られる回転体の体積を求めなさい。

(4) xy ^{平面内で、}x^軸,y ^軸,^曲線y= logx ^及び直線 y= 1によって囲まれる図形を x^軸のまわ りに1回転させて得られる回転体の体積を求めなさい。

(5) xy ^{平面内で、放物線}y =−(x−1)²+ 1^と x ^{軸とで囲まれる図形を}y ^{軸のまわりに} 1^回転 させて得られる回転体の体積を求めなさい。

(6)^∗ xy ^{平面内で、}y= sinx(0≤x≤π)^と x ^{軸とで囲まれる図形を}y ^{軸のまわりに} 1^回転させ て得られる回転体の体積を求めなさい。

(7)^∗ a > b >0 ^とする。xy ^{平面内の円} (x−a)²+y² =b^{2 の内部を} y ^{軸のまわりに}1^回転させ て得られる回転体^*2の体積を求めなさい。

*1回転楕円体spheroid^と呼ぶ。

*2トーラス体solid torus^と呼ぶ。

問題12-3. (^{曲線の長さ})^∗ ※ 時間が余ったら扱います。

以下の設問に答えなさい。

(1) xy ^{平面内の曲線*3} y= a

2(e^xa +e^−xa) ^の0≤x≤L に対応する部分の長さを求めなさい。

(2) xy ^{平面内の曲線}y= 1 4x²−1

2logx ^の 1

2 ≤x≤2 に対応する部分の長さを求めなさい。

(3)^{∗ 放物線} y= 1

8x^2の0≤x≤2に対応する部分の長さを求めなさい。

【ヒント集】 ※ 本当に 困ったときだけ 見ること!!!

問題12-1.

(4) ^まずは y ^を x ^の関数 y(x) ^{だと思って、}y(x) を用いて面積を定積分で表した後で、

媒介変数表示を利用して x=a(θ−sinθ) ^{と置換積分しよう}!!

そのとき y(x) がどう表されるかがポイント。

※ 実は石原・浅野の教科書の p. 134^{に答えが…}

(5) (4) ^{と同様。第}1^{象限での面積を求めて}4^{倍する のが賢い。}

※ 三角関数の積分計算が複雑なので ウォリスの公式 ^*4 を使うと良い。

問題12-2.

(4) いわゆる「刳り抜き型」の回転体。断面図がどうなるか を落ち着いて考えよう。

(5) y 軸のまわりの回転体。基本的に回転体の問題は 回転軸に対して 垂直に スライス す るのが基本。すると V =

∫ b a

x(y)dy の形の積分が登場するはず。

※ 別解として バウムクーヘン分割 による解法があります (^{講義で解説します}) (6) (5) と同様。これはバウムクーヘン分割を用いた方が圧倒的に楽。

(7) (5), (6) ^と同様。y 軸まわりの回転体の総集編。どちらで解いてもそれなりに計算は大

変。 頑張ろう!!

問題12-3.

(3) 「曲線の長さ」の公式にあてはめれば、定積分の式は簡単に立てられるはず。むしろ厄介 なのは 積分の計算 の方です。

登場した定積分の式の計算方法については、演習問題8-2. (5)^{を参照して下さい} (^レポー ト問題だけど)^。

*3懸垂線catenary^と呼ぶ。

*4演習問題7-3. (6)^参照。