微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 3

(1)

微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 3

2018

^年度前期

工学部・未来科学部

1

^年担当

:

^{原隆}

(

未来科学部数学系列・助教

)

■発展

:

^{数列の差分と和分}

babababababababababababababababababab

数列

{an} =a1, a2, a3, . . . , an, . . .

は、その名の表す通り「数を並べたもの」であるというイメージが強いが、「

n

^{番目の項が}

an

である」という関係を「自然数

n

^を入力

(input)

^{すると実数}

an

が出力

(output)

される」と捉え直すと、定義域を自然数全体の集合

N

に限った関数であると解釈することが出来る。したがって、関数の性質を調べる際に非常に役立つツールである微分法・積分法と同様の操作を数列に対しても考えることが出来る。しかも、数列の

“

^定義域

” N

は数直線の中で「飛び飛びに現われる数」

(

^離散的

discrete)

^{であるので、} ^{「微分法」} 「積分法」の定義は一層簡単になる

(

^{「極限」を考える必要}

がない

!!)

1 2 3 4 5 6 x 0

定義

(

差分と和分

)

数列

{an}

^に対して

∆an =an+1−an

で定まる数列

{∆an} (

^つまり ^{階差数列のこと}

!!)

^を

{an}

^の ^差分

diﬀerence

^{と呼ぶ。また、数列}

{an}

^の部分和

∑n k=m

ak (

^つまり ^{数列の和のこと}

!!)

を

{an}

^の

(m

^から

n

^までの

)

^定和分

definite sum

^と呼ぶ。

babababababababababababababababababab

関数の微分

df

dx = lim

∆x→0

f(x+ ∆x)−f(x)

∆x

および定積分

∫ x=b x=a

f(x)dx= lim

∆x→0 x=b∑

x=a

f(x) ∆x

と良く見比べてみること。関数の場合は定義域

(

^{実数の集合}

R)

^が ^連続 ^{であるために「最} 初に近似計算をしておいて最後に極限

lim

∆x→0

をとる」という作業が必要となるが、数列の

場合には定義域

(

^{自然数の集合}

N)

^が元々 ^離散的なので、極限を取るという

(

^面倒な

)

^作

業をせずに済んでしまうのである。

(2)

■発展

:

^{差分和分学の基本定理}

(Fundamental theorem of discrete calculus)

定理

(

差分和分学の基本定理Ⅰ

)

自然数

n≥m

^{に関する数列}

{ _n

∑

k=m

ak

}

を考えると

∆ ( _n

∑

k=m

ak

)

=an+1

が成り立つ。

(

微分積分学の基本定理Ⅰ

: d dx

{∫ t=x t=a

f(t)dt }

=f(x)

^の離散版

)

【証明】

^*1

差分および定和分の定義から

∆ ( _n

∑

k=m

ak

)

定義=

n+1∑

k=1

ak−

∑n k=m

ak

= (((((((((((

am+am+1+. . .+an+an+1)−(((((((((((

(am+am+1+. . .+an) =an+1

が成り立つ。

□

“

^{部分和の数列}

”

^{の階差数列は元の数列}

!!

定義

(

^{原始数列と不定和分}

)

数列

{an}

^に対して

∆An=an (

^{差分を取ると元の数列}

!!)

^{を満たす数列}

{An}

^を

{an}

の原始数列

primitive sequence

^{と呼ぶ。また、数列}

{an}

の原始数列を求めることを不定和分

indefinite sum

^{するという。}

(f(x)

^{の原始関数}

F(x)

^{および不定積分}

∫

f(x)dx

^の離散版

)

差分和分学の基本定理Ⅰ より

An=

n∑−1 k=1

ak

により定まる数列

^*2 {An}

^は

{an}

^{の原始数列である。}

定理

(

差分和分学の基本定理Ⅱ

)

数列

{an}

^{の原始数列}

{An}

^{および自然数}

n≥m

^に対して

∑n k=m

ak=An+1−Am

が成立する。

(

微分積分学の基本定理Ⅱ

:

∫ x=b x=a

f(x)dx= [

F(x) ]x=b

x=a

=F(b)−F(a)

^の離散版

)

【証明】原始数列の定義

ak = ∆Ak =Ak+1−Ak

を

k=m, m+ 1, . . . , n

^{として足し合わせると}

am =Am+1− Am

am+2 =XXXAm+2−Am+1

...

+) an = An+1− ZZAn

∑n k=m

ak= An+1− Am







関数版←→

f(a)∆x1 ≈ (((((^F^(a^{+ ∆x}¹⁾ ⁻ ^F(a)

f(a+ ∆x1)∆x2≈hhhhhhhh^F^(a^{+ ∆x}¹^{+ ∆x}²⁾⁻(((((^F^(a^{+ ∆x}¹⁾

.. .

+) f(b)∆xn ≈ F(b+ ∆xn) − HH^F^(b)

x=b∑

x=a

f(x)∆x ≈ F(b+ ∆xn) − F(a)







が従う

(

所謂「望遠鏡和の方法」

telescoping sum method

^{と呼ばれる方法}

)

^。

□

*1

講義で扱った微分積分学の基本定理Ⅰ の証明と見比べてみよう。

*2

細かい点ではあるが

A1= 0

微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 3