微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 8
2018年度前期工学部・未来科学部1年 担当: 原 隆(未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class
※∗印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題8-1. (不定積分の計算)
以下の不定積分を計算しなさい。
(1)
∫
(5x4−6x3+ 2x2−3)dx (2)
∫
e2x−3dx (3)
∫ 1
√1−x2dx (4)
∫ (
cos 3x−x2+ 1 x
)
dx (5)
∫ 1
3x+ 2dx (6)∗
∫
tanx dx
問題8-2. (部分積分法と置換積分法) 以下の不定積分を計算しなさい。
(1)
∫ x2√
x3−1dx (2)
∫
(5x−3)(2x+ 1)5dx (3)
∫
x2cos(x3+ 1)dx
(4)
∫
Arctanx dx (5)∗
∫
exsinx dx (6)∗ ∫ √
a2−x2dx (a >0)
【ヒント】 ※本当に困ったときだけ 見るようにすること!!
(1), (3)「かたまり」を探そう。
(2) 置換積分 でも 部分積分 でも計算出来ます。
(4)ヒント1: Arctan(x)の微分は出来る(…でしょう?) ヒント2: 微分して1になるものは…??
(5)∗ I=
∫
exsinx dxとおいて 2回 部分積分して、I に関する方程式を立てよう。
(6)∗ x=asint (
−1
2π≤t≤ 1 2π
)
とおいて置換積分 しよう。
※ 最後にxの式に戻すのを忘れずに!!
問題8-3. (定積分の計算)
以下の定積分を計算しなさい。
(1)
∫ x=3 x=0
1
5x+ 1dx (2)
∫ x=1 x=−√
3
√ 1
4−x2dx (3)
∫ x=2 x=−1
log(2x+ 3)dx
(4)
∫ x=1 x=0
1
1 + 3x2dx (5)
∫ x=π2 x=−π
cos3xsinx dx (6)∗
∫ x=π2 x=0
cos2nx dx
【ヒント】
(2), (4) 1
√4−x2 = 1
√ 4
(
1−x42) = 1 2
√ 1−(x
2
)2, 1
1 + 3x2 = 1 1 + (√
3x)2 に注意しよう
(6)∗ In=
∫ x=π2 x=0
cos2nx dxとおいて、In とIn−2 との間の関係式を求めよう。
※部分積分 を 2回 使いましょう
