微積分学 I ・ II 演習問題

微積分学 I ^・ II ^演習問題

目次

微積分学 I 演習問題 第 1 回 数列の極限 1

微積分学 I 演習問題 第 2 回 逆三角関数 18

微積分学 I 演習問題 第 3 回 関数の極限と無限小・無限大の位数 30

微積分学 I 演習問題 第 4 回 導関数 35

微積分学 I 演習問題 第 5 回 高次導関数 49

微積分学 I 演習問題 第 6 回 平均値の定理とテイラーの定理 61

微積分学 I 演習問題 第 7 回 不定形の極限 74

微積分学 I 演習問題 第 8 回 関数の級数展開 87

微積分学 I 演習問題 第 9 回 原始関数と積分 96

微積分学 I 演習問題 第 10 回 有理関数の積分 117

微積分学 I 演習問題 第 11 回 三角関数と無理関数の積分 128

微積分学 I 演習問題 第 12 回 広義積分 149

微積分学 I 演習問題 第 13 回 級数の収束・発散 171

微積分学 I 演習問題 第 14 回 面積・曲線の長さ・回転体の体積 195

微積分学 I 演習問題 第 15 回 微分方程式 210

微積分学 I 演習問題 第 16 回 応用問題 220

微積分学 II 演習問題 第 17 回 2 変数関数の極限と連続性 235

微積分学 II 演習問題 第 18 回 偏微分と微分可能性 242

微積分学 II 演習問題 第 19 回 合成写像の微分 257

微積分学 II 演習問題 第 20 回 高次偏導関数とテイラーの定理 265 微積分学 II 演習問題 第 21 回 2 変数関数の極大・極小 274 微積分学 II 演習問題 第 22 回 陰関数の極値・条件付き極値 301 微積分学 II 演習問題 第 23 回 長方形の領域での重積分 323 微積分学 II 演習問題 第 24 回 縦線図形における重積分 332

微積分学 II 演習問題 第 25 回 重積分の変数変換 342

微積分学 II 演習問題 第 26 回 3 重積分 352

微積分学 II 演習問題 第 27 回 重積分の広義積分 358

微積分学 II 演習問題 第 28 回 体積と曲面積 376

微積分学 I ^{演習問題 第} 1 ^{回 数列の極限}

1. 次の極限を求めよ . ただし , | a | < | b | , b ̸ = − 1, c ̸ = 0, k は 0 でない整数 , m は整数とする . (1) lim

n →∞

1

c ⁿ + c ^{− n} (2) lim

n →∞

a ⁿ

b ⁿ + 1 (3) lim

n →∞

(kn + m + 1) ⁿ

(kn + m) ⁿ (4) lim

n →∞ n log

1 + 1 kn

(5) lim

n →∞

1 + 1

n ² ₋ n

2. a, b, c ∈ R を定数とし a は 0 でないとする . x ₁ = c, x _n+1 = ax _n + b を満たす数列 { x _n } ^∞ n=1 の一般項を求め , この 数列が収束するための条件を求めよ .

3. | r | < 1 ならば , 任意の実数 α に対して lim

n →∞ n ^α r ⁿ = 0 であることを示せ .

4. f (x) を x ^k の係数が 1 である x の k 次多項式とし , g(x), h(x) を m − 1 次以下の x の多項式とする . p, q を相異な る実数 , r を正の整数とするとき

n lim →∞ n ^α

p

r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n) − p

^r

n ^m+1 f (n) + qn ^m + h(n)

が 0 でない値に収束するような α の値と , そのときの極限値を求めよ . 5. (1) 正の実数 a に対し , lim

n →∞

√

n

a = 1 であることを示せ .

(2) 「 i = 2, 3, . . . , m に対して a ₁ ≧ a _i ≧ 0 」または「 i = 2, 3, . . . , m に対して a ₁ > | a _i | ^」ならば

n lim →∞ (a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + · · · + a ⁿ _m )

¹ⁿ

= a ₁ であることを示せ .

6. lim

n →∞

a n+1

a n

= r < 1 ならば lim

n →∞ a n = 0 であることを示せ .

7. k を正の実数 , l を 1 以上の実数とする . 0 以上の実数からなる数列 { x _n } ^∞ n=1 が任意の自然数 n に対して , 不等式 x _n+1 ≦ kx ^l _n を満たすとき , 以下の問いに答えよ .

(1) l = 1 かつ k < 1 ならば , { x _n } ^∞ n=1 は 0 に収束することを示せ .

(2) l > 1 であり , x m < k

^1−l1

を満たす自然数 m が存在すれば , { x n } ^∞ n=1 は 0 に収束することを示せ . 8. 数列 { a _n } ^∞ n=1 の各項が 0 ≦ a _n < 1 を満たし , P ^∞

n=1

a _n = ∞ ^ならば , lim

n →∞

Q n k=1

(1 − a _k ) = 0 であることを示せ .

9. a, b > 0 とし , x 1 ≧ − b

a ^かつ x n+1 = √

ax n + b を満たす数列 { x n } ^∞ n=1 を考える . (1) α を方程式 x = √

ax + b の解とするとき , 「 x n < α ならば x n+1 < α 」と「 x n > α ならば x n+1 > α 」が成り 立つことを示せ .

(2) 数列 { x n } ^∞ n=1 は x 1 < α ならば単調増加数列であり , x 1 > α ならば単調減少数列であることを示せ . (3) 数列 { x n } ^∞ n=1 の極限を求めよ .

10. 1 と異なる正の実数の定数 r に対し , α = r ⁻

^r−11

とおく . 数列 { a _n } ^∞ n=1 は a ₁ ≧ 0 と漸化式 a _n+1 = a ^r _n + α − α ^r を満たすとする .

(1) a ₁ > α ならば a _n > α がすべての自然数 n に対して成り立ち , a ₁ < α ならば a _n < α がすべての自然数 n に対 して成り立つことを示せ .

(2) r < 1 かつ a 1 > α ならば { a n } ^∞ n=1 は単調減少数列であり , r > 1 かつ a 1 < α ならば { a n } ^∞ n=1 は単調増加数列 であることを示せ .

(3) 「 r < 1 かつ a 1 > α 」または「 r > 1 かつ a 1 < α 」の場合に { a n } ^∞ n=1 の極限を求めよ . 11. 0 ≦ q ≦ p ² , p > 0 とするとき , 漸化式 a n+1 = a ² _n + q

2p ^{を満たす数列} { a n } ^∞ n=1 が収束するための a 1 の範囲を求め ,

収束する場合には , その極限値を求めよ .

12. 0 < 4b ≦ a ² , a > 0 とし , 数列 { x n } ^∞ n=1 は漸化式 x n+1 = a √

x n − b を満たすとする . (1) { x _n } ^∞ n=1 のすべての項が実数であるための x ₁ の条件を求めよ .

(2) が (1) の条件を満たすとき , { x _n } ^∞ n=1 の極限値を求めよ .

13. a, b を正の実数 m を 2 以上の自然数とし , 数列 { a n } ^∞ n=1 を a 1 = b, a n+1 =

1 − 1 m

a n + a ma ^m n ^{− 1}

で定める . (1) b ̸ =

^m

√

a かつ n ≧ 2 ならば a n >

^m

√

a であることを示せ . (2) b ̸ =

^m

√

a かつ n ≧ 2 ならば a n > a n+1 であることを示せ . (3) b ̸ =

^m

√

a かつ n ≧ 2 ならば a n+1 −

^m

√

a < m − 1

m (a n −

^m

√

a) であることを示せ . (4) b ̸ =

^m

√

a かつ n ≧ 2 ならば a n+1 −

^m

√

a < m − 1 2

^m

√

a (a n −

^m

√

a) ² であることを示せ . (5) b ̸ =

^m

√

a かつ n ≧ 3 ならば a _n −

^m

√ a <

m − 1 m

n − 2 1 − 1

m

b + a

mb ^{m − 1} −

^m

√ a

が成り立つことを示せ . 14. 任意の n = 2, 3, 4, . . . に対し , 実数列 { x n } ^∞ n=1 の第 n 項目までの和と積が等しいとする .

(1) S _n = P n k=1

x _k とおくとき , S _n を用いて S _n+1 を表わせ . また , x _n を用いて x _n+1 を表わせ .

(2) 0 ̸ = x 1 < 1 ならば任意の n ≧ 3 に対して 1 > x n > x n+1 > 0 が成り立ち , x 1 > 1 ならば任意の n ≧ 2 に対し て x n > x n+1 > 1 が成り立つことを示せ .

(3) 数列 { x n } ^∞ n=1 の極限を求めよ .

15. a, b > 0 とし , x 1 , x 2 > 0 であり , 漸化式 x n+2 = ax n+1 + bx n を満たす数列 { x n } ^∞ n=1 を考える . このとき , x n+1

x _{n ∞}

n=1

は収束することを示し , a, b を用いて lim

n →∞

x n+1

x _n ^を表せ . 16. 以下の漸化式を満たす数列 { a n } ^∞ n=1 の収束・発散について調べよ .

(1) a _n+1 = a n

2 + 1

a ² _n + 1 (2) a _n+1 = a n

2 + a ² _n a ² _n + 1 17. 次の級数の和を求めよ . ただし , k は自然数とする .

(1) P ^∞

n=1

1

n(n + 1)(n + 2) · · · (n + k) (2) P ^∞

n=1

1

n(n + k) (3) P ^∞

n=1

p 1

n(n + k) √ n + √

n + k (4) P ^∞

n=1

nr ⁿ 18. ( 発展問題 ) 数列 { a _n } ^∞ n=1 と , すべての項が正の実数である数列 { b _n } ^∞ n=1 が与えられていて , lim

n →∞

a _n b n

= c と

n lim →∞

P n k=1

b k = ∞ ^{が成り立つとき} , lim

n →∞

a 1 + a 2 + · · · + a n

b 1 + b 2 + · · · + b n

= c であることを示せ .

19. ( 発展問題 ) 数列 { a n } ^∞ n=1 と任意の自然数 m に対して , 収束する数列 { b(m) n } ^∞ n=1 , { c(m) n } ^∞ n=1 で , 次の条件を満 たすものが存在するとき , lim

n →∞ a n = r であることを示せ . (i) 数列 { β _m } ^∞ m=1 , { γ _m } ^∞ m=1 を lim

n →∞ b(m) _n = β _m , lim

n →∞ c(m) _n = γ _m で定めれば , lim

m →∞ β _m = lim

m →∞ γ _m = r.

(ii) 各自然数 m に対して , 自然数 N (m) で , 条件「 n ≧ N (m) ならば b(m) _n ≦ a _n ≦ c(m) _n 」を満たすものがある . 20. ( 発展問題 ) 各項が正である数列 { a _n } ^∞ n=1 が与えられていて , 極限値 lim

n →∞

a _n+1 a n

が存在するとき , その値を r とす れば , lim

n →∞

√

n

a n = r であることを示せ .

21. ( 発展問題 ) { a _n } ^∞ n=1 を各項が正である数列とする . 正の実数 ρ に対して lim

n →∞

√

n

a _n = ρ が成り立つためには , 任 意の 0 < r < 1

ρ ^に対して lim

n →∞ r ⁿ a _n = 0 が成り立ち , かつ任意の 0 < r < ρ に対して lim

n →∞

r ⁿ a n

= 0 が成り立つことが

必要十分であることを示せ .

22. ( 発展問題 ) 2 次正則行列 A = a b c d

!

に対し , 写像 f _A : R ∪ {∞} → R ∪ {∞} ^を

c ̸ = 0 の場合 f A (x) =

 



 

ax+b

cx+d x ̸ = − ^d _c , ∞

∞ x = − ^d _c

a

c x = ∞

c = 0 , d ̸ = 0 の場合 f A (x) = ( ax+b

d x ̸ = ∞

∞ x = ∞ で定義する . また , 数列 { x _n } ^∞ n=1 は漸化式 x _n+1 = f _A (x _n ) を満たすとする .

(1) 2 次正則行列 A, B に対して f AB は合成写像 f A ◦ f B に一致することを示せ . (2) c ̸ = 0 かつ (a + d) ² ̸ = 4(ad − bc) の場合 , x n を a, b, c, d と x 1 を用いて表せ . (3) c ̸ = 0 かつ (a + d) ² = 4(ad − bc) の場合 , x n を a, b, c, d と x 1 を用いて表せ .

(4) c ̸ = 0 のとき , 数列 { x n } ^∞ n=1 が収束するための条件を求め , 収束する場合に極限値を求めよ . (5) 数列 { x n } ^∞ n=1 が x 1 = 3, x n+1 = x n + 8

x n + 3 ^{で定められているとき} , この数列の極限値を求めよ .

23. ( 発展問題 ) (1) a, b > 0 に対して数列 { a n } ^∞ n=1 , { b n } ^∞ n=1 を帰納的に a 1 = a, b 1 = b, a n+1 = a n + b n

2 , b n+1 = √

a n b n で定める . このとき , { a n } ^∞ n=1 と { b n } ^∞ n=1 は同じ値に収束することを示せ . (2) a, b > 0 に対して数列 { a _n } ^∞ n=1 , { b _n } ^∞ n=1 を帰納的に a ₁ = a, b ₁ = b, a _n+1 = 2a _n b _n

a n + b n

, b _n+1 = a _n + b _n

2 ^で定め

る . このとき , { a n } ^∞ n=1 と { b n } ^∞ n=1 は同じ値に収束することを示し , その極限値を求めよ .

24. ( 発展問題 ) 0 < a < b に対して数列 { a n } ^∞ n=0 , { b n } ^∞ n=0 を帰納的に a 0 = a, b 0 = b, a n+1 = a n + b n

2 , b _n+1 = p

a _n+1 b _n で定める . このとき , { a _n } ^∞ n=0 と { b _n } ^∞ n=0 は同じ値に収束することを示し , a = b cos θ (0 < θ < π 2 ) とおくとき , その極限値を求めよ . また , a = 1

4 , b =

√ 2

4 ^の場合 , a n は直径 1 の円に外接する正 2 ⁿ⁺² 角形の周囲の長 さの逆数であり , b n は直径 1 の円に内接する正 2 ⁿ⁺² 角形の周囲の長さの逆数であることを示せ .

25. ( 発展問題 ) a _n =

1 + 1 n

n+1

によって数列 { a _n } ^∞ n=1 を定めるとき , 以下の問に答えよ . (1) { a _n } ^∞ n=1 は単調減少数列であることを示せ .

(2) すべての自然数 n に対して a _n > e が成り立つことを示せ . 26. ( 発展問題 ) (1) すべての自然数 n に対して 1

n e ^{n − 1} ≦ n ⁿ

n! ≦ e ⁿ が成り立つことを示せ . (2) lim

n →∞

n

√

n

n! ^を求めよ .

第 1 回の演習問題の解答 1. (1) 0 < | c | < 1 ならば n → ∞ ^のとき , c ⁿ → 0 だから lim

n →∞

1

c ⁿ + c ^{− n} = lim

n →∞

c ⁿ

(c ⁿ ) ² + 1 = 0. | c | > 1 ならば n → ∞ ^のとき , c ^{− n} → 0 だから lim

n →∞

1

c ⁿ + c ^{− n} = lim

n →∞

c ^{− n}

1 + (c ^{− n} ) ² = 0. c = 1 ならば , lim

n →∞

1

c ⁿ + c ^{− n} = 1

2 . c = − 1 ならば 1

c ⁿ + c ^{− n} = ( − 1) ⁿ

2 ^だから , lim

n →∞

1

c ⁿ + c ^{− n は存在しない} . (2) | b | > 1 ならば

1 b

< 1 であり , 仮定から a b

< 1 だから lim

n →∞

a ⁿ

b ⁿ + 1 = lim

n →∞

a b

n

1 + ¹ _b n =

n lim →∞

a b

n

1 + lim

n →∞

1 b

n = 0

1 + 0 = 0. b = 1 ならば | a | < 1 だから lim

n →∞

a ⁿ

b ⁿ + 1 = lim

n →∞

a ⁿ

2 = 0. | b | < 1 ならば | a | < | b | < 1 だから

n lim →∞

a ⁿ b ⁿ + 1 =

n lim →∞ a ⁿ

n lim →∞ b ⁿ + 1 = 0 0 + 1 = 0.

(3) k > 0 の場合 , (kn + m + 1) ⁿ (kn + m) ⁿ =

1 + 1 kn + m

n

= 1 + 1

kn + m

kn+m

1 + 1

kn + m

₋ m !

¹_k

=

1 + 1 kn + m

kn+m !

¹_k

1 + 1 kn + m

₋

^m_k

で , n → ∞ ^のとき kn+m → ∞ ^だから lim

n →∞

1 + 1 kn + m

kn+m

= e,

n lim →∞

1 + 1 kn + m

₋

^m_k

= 1 である . 従って上式から lim

n →∞

(kn + m + 1) ⁿ

(kn + m) ⁿ = e

^k1

である . k < 0 の場合 , (kn + m + 1) ⁿ

(kn + m) ⁿ = 1

(( − k)n+( − m − 1)+1)

ⁿ

(( − k)n+( − m − 1))

ⁿ

で , − k > 0 だから , lim

n →∞

(( − k)n + ( − m − 1) + 1) ⁿ (( − k)n + ( − m − 1)) ⁿ =

^−k

√

e である . 従って lim

n →∞

(kn + m + 1) ⁿ

(kn + m) ⁿ = 1

lim

n →∞

(( − k)n+( − m − 1)+1)

ⁿ

(( − k)n+( − m − 1))

ⁿ

= 1 e

^−k1

= e

^1k

である . (4) (3) の結果から lim

n →∞ n log

1 + 1 kn

= lim

n →∞ log (kn + 1) ⁿ (kn) ⁿ = log

n lim →∞

(kn + 1) ⁿ (kn) ⁿ

= log e

^1k

= 1 k (5) a _n =

1 + 1

n n

とおくと教科書の定理 1.3 の証明でみたようにすべての n に対して 1 < a _n < 3 が成り立つ .

c _n =

1 + 1 n ²

₋ n

とおくと , すべての n に対して 1 c n

=

1 + 1 n ²

n

= 1 + 1

n ² n

²

!

_n¹

= (a _n

2

)

ⁿ¹

< 3

ⁿ¹

である . また , すべての n に対して c n < 1 が成り立つため , 3 ⁻

¹ⁿ

< c n < 1 である . n → ∞ ^のとき 3 ⁻

ⁿ¹

→ 3 ⁰ = 1 だから c n → 1 である . 従って lim

n →∞

1 + 1

n ² ₋ n

= 1.

2. a ̸ = 1 の場合 , α = b

1 − a ^とおくと α = aα + b である . x n+1 = ax n + b の両辺からこの等式を辺々引け ば , x n+1 − α = a(x n − α) となるため { x n − α } ^∞ n=1 は初項 c − α, 公比 a の等比数列である . 従って一般項は x n = a ^{n − 1} (c − α) + α = a ^{n − 1}

c + b

a − 1

− b

a − 1 ^である . この場合 { x n } ^∞ n=1 が収束するのは − 1 < a < 1 または c + b

a − 1 = 0 が成り立つときである .

a = 1 の場合 , { x n } ^∞ n=1 は初項 c 公差 b の等差数列になるため , 一般項は x n = c + b(n − 1) である . よって , この場 合は { x n } ^∞ n=1 が収束するのは b = 0 の場合である .

以上から , この数列が収束する条件は , − 1 < a < 1 または b = c(1 − a) である .

3. r = 0 の場合は , 主張は明らかだから , 0 < | r | < 1 の場合を考える . また , 任意の自然数 k に対して lim

n →∞ n ^k | r | ⁿ = 0 が成り立つことが示されれば , 0 以上の実数 α に対して k ≧ α を満たす自然数を選ぶと , 任意の自然数 n に対 して 0 < n ^α ≦ n ^k が成り立つため , 不等式 0 < | n ^α r ⁿ | = n ^α | r | ⁿ ≦ n ^k | r | ^{n と仮定から} , はさみうちの原理によ り lim

n →∞ | n ^α r ⁿ | = 0 が得られる . さらに −| n ^α r ⁿ | ≦ n ^α r ⁿ ≦ | n ^α r ⁿ | ^だから , 再度はさみうちの原理を用いれば ,

n lim →∞ n ^α r ⁿ = 0 が示される .

0 < | r | < 1 より 1

| r | > 1 だから , h = 1

| r | − 1 とおくと h > 0 である . n > k + 1 のとき , 1

| r | = 1 + h の両辺を n 乗 して二項定理を用いれば

1

| r | ⁿ = (1 + h) ⁿ = X k

i=1

n i

h ⁱ +

n k + 1

h ^k+1 +

X n i=k+2

n i

h ⁱ >

n k + 1

h ^k+1 > 0

であり , 上式の各辺に 1

n ^{k をかけて} , 逆数を考えれば 0 < n ^k | r | ⁿ < n ^k

n k+1

h ^k+1 = n ^k (k + 1)!

n(n − 1) · · · (n − k)h ^k+1 = (k + 1)!

h ^k+1 n n − 1

n

n − 2 · · · n n − k − 1

1 n − k が得られる . ここで , k は定数であり , i = 1, 2, . . . , k − 1 に対して lim

n →∞

n

n − i = 1 および lim

n →∞

1

n − k = 0 が成り立つ ことに注意すれば

n lim →∞

(k + 1)!

h ^k+1 n n − 1

n

n − 2 · · · n n − k − 1

1

n − k = (k + 1)!

h ^k+1 1 · 1 · · · 1 · 0 = 0 だから , 上の不等式と , はさみうちの原理より lim

n →∞ n ^k | r | ⁿ = 0 が示される . 4. X = p

^r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n), Y = p

^r

n ^m+1 f (n) + qn ^m + h(n) を等式 X ^r − Y ^r = (X − Y )

r P − 1 s=0

X ^s Y ^{r − s − 1} に 代入して , 両辺を ^r P ^{− 1}

s=0

p

r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n) s

p

r

n ^m+1 f (n) + qn ^m + h(n) r − s − 1

で割れば

p

r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n) − p

^r

n ^m+1 f (n) + qn ^m + h(n)

= (p − q)n ^m + g(n) − h(n)

r P − 1 s=0

p

r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n) s

p

r

n ^m+1 f(n) + qn ^m + h(n) r − s − 1

=

n ^m

p − q + ^g(n) _n ⁻

m

^h(n)

r P − 1 s=0

√

r

n ^m+k+1

^r

q f(n)

n

^k

+ ^pn _n

^m_m+k+1

^+g(n) s

√

r

n ^m+k+1

^r

q f(n)

n

^k

+ ^qn _n

^m_m+k+1

^+h(n) r − s − 1

=

n

m−(k+1)(r−1) r

p − q + ^g(n) _n ⁻

m

^h(n)

r P − 1 s=0

f(n)

n

^k

+ ^pn _n

^mm+k+1

^+g(n)

^s_r

f(n)

n

^k

+ ^qn _n

^mm+k+1

^+h(n)

1 −

^s+1r

が得られる . g(n) − h(n) は m − 1 次以下の n の多項式だから , lim

n →∞

g(n) − h(n)

n ^m = 0, pn ^m + g(n), qn ^m + h(n) は m 次以下の n の多項式だから , lim

n →∞

pn ^m + g(n) n ^m+k+1 = lim

n →∞

qn ^m + h(n)

n ^m+k+1 = 0 であり , f (x) の x ^k の係数は 1 だから

n lim →∞

f (n)

n ^k = 1 である . 従って lim

n →∞

p − q + ^g(n) _n ⁻

m

^h(n)

r P − 1 s=0

f(n)

n

^k

+ ^pn _n

^m_m+k+1

^+g(n)

^s_r

f(n)

n

^k

+ ^qn _n

^m_m+k+1

^+h(n)

1 −

^s+1_r

= p − q

r ^であり , p ̸ = q だか ら , この値は 0 ではない . 故に , 上式から求める α の値は (k + 1)(r − 1) − m

r ^であり , このとき

n lim →∞ n ^α

p

r

n ^m+1 f (n) + pn ^m + g(n) − p

^r

n ^m+1 f (n) + qn ^m + h(n)

= p − q r である .

5. (1) a > 1 の場合 , x n = √

ⁿ

a − 1 によって数列 { x n } ^∞ n=1 を定めれば , 各項は正で , 二項定理により , すべての自然数 n に対して a = (1 + x n ) ⁿ = 1 + nx n +

P n k=2

n C k x ^k _n ≧ 1 + nx n が成り立つ . 従って , すべての自然数 n に対して 0 < x n ≦ a − 1

n ^であり , lim

n →∞

a − 1

n = 0 だから lim

n →∞ x _n = 0 である . 故に lim

n →∞

√

n

a = lim

n →∞ (1 + x _n ) = 1 である . 0 < a < 1 の

場合 , 1

a > 1 だから , 上で示したことから , lim

n →∞

1

√

n

a = 1 である . 従って , lim

n →∞

√

n

a = lim

n →∞

1

1

√

n

a

= 1

lim

n →∞

1

n

√ a

= 1 1 = 1 が得られる .

(2) 「 i = 2, 3, . . . , m に対して a 1 ≧ a i ≧ 0 」の場合 , a ⁿ ₁ ≦ a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + · · · + a ⁿ _m ≦ ma ⁿ ₁ だから , a 1 = (a ⁿ ₁ )

¹ⁿ

≦ (a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + · · · + a ⁿ _m )

¹ⁿ

≦ (ma ⁿ ₁ )

ⁿ¹

= m

ⁿ¹

a 1

が成り立つ . (1) の結果から lim

n →∞ m

ⁿ¹

a ₁ = a ₁ だから , 上の不等式から lim

n →∞ (a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + · · · + a ⁿ _m )

¹ⁿ

= a ₁ が得られる .

「 i = 2, 3, . . . , m に対して a 1 > | a i | ^」の場合 , i = 2, 3 . . . , m に対して a i

a 1

< 1 より , 自然数 N i で条件「 n ≧ N i な らば − 1

2(m − 1) ≦ a i

a ₁ n

≦ 1

2(m − 1) を満たすものがするため , N 2 , N 3 , . . . , N m のうちで最大のものを N とおく と , n ≧ N ならば

1 2

_n¹

≦

1 + a 2

a ₁ n

+ a 3

a ₁ n

+ · · · + a m

a ₁ n

_n¹

≦ 3

2

_n¹

が成り立つ . (1) の結果から lim

n →∞

1 2

_n¹

= lim

n →∞

3 2

¹_n

= 1 だから , 上の不等式によって

n lim →∞

1 +

a 2

a ₁ n

+ a 3

a ₁ n

+ · · · + a m

a ₁ n

¹_n

= 1

が 得 ら れ る . 従 っ て lim

n →∞ (a ⁿ ₁ + a ⁿ ₂ + · · · + a ⁿ _m )

ⁿ¹

= lim

n →∞

a ⁿ ₁

1 +

a 2

a 1

n

+ a 3

a 1

n

+ · · · + a m

a 1

n

_n¹

=

n lim →∞ a 1

1 +

a 2

a ₁ n

+ a 3

a ₁ n

+ · · · + a m

a ₁ n

¹_n

= a 1 lim

n →∞

1 +

a 2

a ₁ n

+ a 3

a ₁ n

+ · · · + a m

a ₁ n

_n¹

= a 1 で ある .

6. r < 1 + r

2 ^{だから仮定より} , 自然数 N で条件「 n ≧ N ならば a n+1

a n

< 1 + r

2 ^{」を満たすものがある} . 従って n ≧ N + 1 ならば | a n | < 1 + r

2 | a n − 1 | <

1 + r 2

2

| a n − 2 | < · · · <

1 + r 2

n − N

| a N | ^だから , 次の不等式が成り立つ .

0 ≦ | a n | <

1 + r 2

n − N

| a N |

0 ≦ r < 1 + r

2 < 1 だから lim

n →∞ <

1 + r 2

n − N

| a N | = 0 であるため , 上の不等式とはさみうちの原理より

n lim →∞ | a n | = 0 である . 故に lim

n →∞ a n = 0 が成り立つ .

7. (1) 仮定から n ≧ s ≧ 1 ならば 0 ≦ x n ≦ kx n − 1 ≦ k ² x n − 2 ≦ · · · ≦ k ^{n − s} x s ≦ · · · ≦ k ^{n − 1} x 1 が成り立つ . 従って 0 ≦ x _n ≦ k ^{n − 1} x ₁ が任意の自然数 n に対して成り立ち , n → ∞ ^のとき k ^{n − 1} は 0 に近づくため , { x _n } ^∞ n=1 は 0 に収 束する .

(2) 仮定から n ≧ s ≧ 1 ならば 0 ≦ x n ≦ kx ^l _{n − 1} ≦ k ^1+l x ^l _n

²

_{− 2} · · · ≦ k ^{1+l+ ··· +l}

^n−s−1

x ^l _s

^n−s

= k

^l−1−1

k

^l−11

x s

l

^n−s

が成 り立つ . 従って n ≧ m ならば 0 ≦ x n ≦ k

^l−1−1

k

^l−11

x m

l

^n−m

が成り立ち , 仮定から k

^l−11

x m < 1 だから n → ∞ ^のと き

k

^l−11

x _m l

^n−m

は 0 に近づく . 故に { x _n } ^∞ n=1 は 0 に収束する . 8. 各 k に対して 0 ≦ a _k < 1 だから 1

1 − a k ≧ 1 + a _k > 0 である . 従って Q n k=1

1

1 − a k ≧ Q ⁿ

k=1

(1 + a _k ) ≧ 1 + P n k=1

a _k であ り , 逆数を考えれば 0 <

Q n k=1

(1 − a k ) ≦ 1 1 +

P n k=1

a k

が得られる . 仮定から lim

n →∞

P n k=1

a k = ∞ ^だから lim

n →∞

1 1 +

P n k=1

a k

= 0

となるため lim

n →∞

Q n k=1

(1 − a _k ) = 0 である .

9. (1) x n+1 = √

ax n + b から α = √

aα + b を辺々引くと x n+1 − α = p

ax n + b − √

aα + b = a(x n − α)

√ ax _n + b + √ aα + b となるため , √

ax _n + b + √

aα + b > 0 だから x _n+1 − α と x _n − α は同符号であることがわかる . 従って x _n < α なら ば x _n+1 < α であり , x _n > α ならば x _n+1 > α である .

(2) α は 2 次方程式 x ² − ax − b = 0 の正の解で , 負の解を β とすれば x ² − x − a = (x − α)(x − β) と因数分解さ れることに注意する . 今度は x _n+1 = √

ax _n + b の両辺から x _n を引くと x n+1 − x n = p

ax n + b − x n = − x ² _n + ax n + b

√ ax n + b + x n

= − (x n − α)(x n − β)

√ ax n + b + x n

であり , x n ≧ 0 を満たす n ( 例えば n ≧ 2) に対して x n+1 − x n と x n − α は異符号であることがわかる .

(1) の結果から n による数学的帰納法で x 1 < α ならばすべての n に対して x n < α が成り立つことが示さ れるため , 上のことから , n ≧ 2 に対して x n+1 > x n が成り立つことがわかる . また , − a ≦ x 1 < 0 ならば x 2 = √

ax 1 + b ≧ 0 > x 1 であり x 1 ≧ 0 ならば上のことから x 2 > x 1 となるため , x 1 < α ならば数列 { x n } ^∞ n=1 は単 調増加数列である .

同様に x 1 > α ならばすべての n に対して x n > α > 0 となるため , 上のことから , n ≧ 1 に対して x n+1 > x n が成 り立つことがわかる .

(3) (1), (2) より数列 { x _n } ^∞ n=1 は x ₁ < α ならば上に有界な単調増加数列であり , x ₁ > α なら下に有界な単調減少数 列だから , いずれにしても収束する . そこで , 数列 { x _n } ^∞ n=1 の極限を L とおき , x _n+1 = √

ax _n + b の両辺の極限を考 えると L = √

aL + b となるため , L = α = a + √ a ² + 4b

2 ^{であることがわかる} .

10. (1) r > 0 だから x の関数 x ^r は狭義単調増加関数であることから , a n+1 − α = a ^r _n − α ^r より , a n > α ならば a n+1 > α であり , a n < α ならば a n+1 < α が成り立つ . 従って , 数学的帰納法により a 1 > α ならば a n > α がすべ ての自然数 n に対して成り立ち , a 1 < α ならば a n < α がすべての自然数 n に対して成り立つ .

(2) 関数 f : (0, ∞ ) → R を f (x) = x − x ^r で定義すれば , f ^′ (x) = 1 − rx ^{r − 1} である . 従って r < 1 のとき f は (0, α] で単調に減少し , [α, ∞ ) で単調に増加するため , a 1 > α の場合 , (1) より a n > α だから a n − a n+1 = (a n − a ^r _n ) − (α − α ^r ) = f (a n ) − f (α) > 0 である . また , r > 1 のとき f は (0, α] で単調に増加し , [α, ∞ ) で単調に減 少するため , a ₁ < α の場合 , (1) より a _n < α だから a _n − a _n+1 = (a _n − a ^r _n ) − (α − α ^r ) = f (a _n ) − f (α) < 0 である . (3) r < 1 かつ a ₁ > α ならば (1) と (2) から { a _n } ^∞ n=1 は下に有界な単調減少数列であり , r > 1 かつ a ₁ < α ならば (1) と (2) から { a _n } ^∞ n=1 は上に有界な単調減少数列だから , いずれの場合も実数の連続性により { a _n } ^∞ n=1 は収束する . すべての自然数 n に対して a _n − a _n+1 = f (a _n ) − f (α) が成り立つため , lim

n →∞ a _n = β とおけば , f (β ) = f (α) である . 一方 , (2) でみた f の増減から , r < 1 ならば f は α のみで最小値をとり , r > 1 ならば f は α のみで最大値をとるた め , β = α である . 故に lim

n →∞ a n = α = r ⁻

^r−11

である . 11. x = x ² + q

2p ^{の二つの解を} α, β (α ≦ β ) とおくと α = p − p

p ² − q, β = p + p

p ² − q である . { a n } ^∞ n=1 が収束す るとき , lim

n →∞ a n = γ とおけば , γ = lim

n →∞ a n+1 = lim

n →∞

a ² _n + q

2p = γ + q

2p ^だから γ = α または β である . a n+1 − a n = a ² _n + q

2p − a n = 1

2p (a n − α)(a n − β) だから a n < α または a n > β ならば a n+1 > a n であり , α < a n < β ならば a n+1 < a n である . また a n+1 = a ² _n + q

2p ^{の両辺から} α = α ² + q

2p , β = α ² + q

2p ^{を辺々引けば} , a n+1 − α = a ² _n − α ²

2p , a n+1 − β = a ² _n − β ²

2p ^だから | a n | < α ならば a n+1 < α, α < | a n | < β ならば α < a n+1 < β であり , | a n | > β ならば a n+1 > β である .

| a ₁ | > β の場合 , a ₂ > β であり , a _n > β と仮定すれば a _n+1 > a _n > β だから { a _n } ^∞ n=1 は単調増加数列である . も し { a _n } ^∞ n=1 が上に有界ならば lim

n →∞ a _n が存在して , この値を γ とすれば , α < β < a ₂ < · · · < a _n < a _n+1 < · · · ≦ γ