[ 参考 ] ２００９年度 夏学期 全学ゼミナール
「じっくり学ぶ数学 I 」の内容について
皆さんの参考のために, 以下に, 去年の夏学期に行なった「じっくり学ぶ数学
I」
の内容を載せます. 今年度も, ほぼ同じ内容でお話する予定ですが, 自分で勉強す る方が早いと思われる方は, 申し出ていただければ, ゼミナールでお配りするのよ り前に「数学
IB
演習」や「数学II
演習」のプリントをお渡しすることもできます ので, 是非, 自分のペースで勉強して下さい.1•
第1
回( 4
月10
日, 11日)
の内容–
内容:
ゼミナールの説明会という意味も込めて, ゼミナールの進め方, 数学 におけるA
コースとB
コースの違い,数学を学ばれるにあたって 大切ではないかと思われる点などについて説明した.–
参考:
数学IB
演習(第 1
回)の略解 ：p.7, 13
節 ；p.9, 14
節•
第2
回( 4
月17
日,および, 18日)
の内容–
内容:
写像や関数の定義を与えた上で, 微(積)
分学の主目標は「関数 の性質をより良く理解する」ことであること, また, そのための戦略が「理解の難しい一般の関数を「多項式の姿」に「化か」して, 理解の容 易な「多項式の姿」を通してその性質を調べる」ことであることを述べ た. 特に, sin
x
という関数を取り上げて, sinx
を「多項式の姿」に「化 かす」ためには,「次数が無限大の多項式の姿」を考える必要があるこ とを注意した.–
参考:
数学IB
演習(第 2
回)の略解 ：p.2, 3
節 ；p.3, 4
節•
第3
回( 4
月24
日,および, 25日)
の内容–
内容:
一般の関数が「多項式の姿」に「化ける」としたら, どのような「姿」に「化ける」のがもっともらしいのかということを議論した. ま た, 1−1x という関数を取り上げて, この関数が
| x | < 1
という範囲での み, 「多項式の姿」に「化ける」ことを説明した.–
参考:
数学IB
演習(第 2
回)： 問2,
問3
数学
IB
演習(第 2
回)の略解 ：p.3, 4
節 ；p.7, 6
節•
第4
回( 5
月8
日, および, 9日)
の内容1以下,参考に挙げたプリントの参照ページは去年のプリントのものであり,今年も行なう予定の 書き直し作業により, 今年度のプリントでは若干,節やページなどがずれることがあると思います.
1
–
内容:「微積分学の基本定理」をもとにして,
部分積分を繰り返すこと で, 一般の関数を「おつりの項」付きで「次数が有限の多項式の姿」に「化かす」ことができることを説明した. また,「積分に関する平均値の 定理」を用いて,「おつりの項」をより記憶に易しい形に書き直せるこ とを説明した.
–
参考:
数学IB
演習(第 2
回)： 問4
数学
IB
演習(第 2
回)の略解 ：p.10, 8
節 ；p.14, 10
節 ；p.18, 11
節•
第5
回( 5
月15
日, および, 16日)
の内容–
内容:
三角関数や指数関数が,実際に「次数が無限大の多項式の姿」に「化ける」ことを,「Taylorの定理」を用いて確かめることができること を説明した. また, Taylor展開の応用として,「自然対数
e
の近似値の計 算」についても説明した.–
参考:
数学IB
演習(第 3
回)： 問2
数学
IB
演習(第 3
回)の略解 ：p.2, 3
節 ；p.4, 4
節•
第6
回( 5
月22
日,および, 23日)
の内容–
内容: Taylor
展開の応用として,「極限の計算」について説明した. また,定義にもとづいて
Taylor
展開を求めることは, 一般には困難である ことを注意して, Taylor展開が計算できる関数の積や商として表わせる 関数, あるいは,それらの合成関数のTaylor
展開の計算法について簡単 に説明した.–
参考:
数学IB
演習(第 3
回)： 問3,
問4
数学IB
演習(第 4
回) ： 問1
数学
IB
演習(第 3
回)の略解 ：p.8, 7
節 ；p.9, 8
節 ；p.14, 9
節 ；p.17, 11
節数学
IB
演習(第 4
回)の略解 ：p.1, 2
節•
オプション講義( 5
月29
日, および, 30日)
の内容–
内容: n
次の多項式の中で, 関数f (x)
のTaylor
多項式が,x = 0
の近 くで,f (x)
を最も良く近似する(グラフの形が最も似ている)
多項式で あることを説明した. また, より一般に,「x = a
のまわりでのTaylor
展開」ということについても説明し, 関数f (x)
のx = a
のまわりでのTaylor
多項式が,x = a
の近くで,f (x)
を最も良く近似する(グラフの
形が最も似ている)多項式であることを説明した. さらに, 1次や
2
次のTaylor
多項式の様子を調べることが, もともとの関数f(x)
の大まかな様子を「増減表を描いて調べる」ということに対応することを説明した.
2
–
参考:
数学IB
演習(第 3
回)の略解 ：p.8, 7
節 ；p.18, 12
節 ；p.21, 13
節 ；p.23, 14
節•
第7
回( 6
月5
日, および, 6日)
の内容–
内容:「基本変形」とは何かということを説明した.
また,「基本変形を用いた行列の
rank
の計算」についても説明した.–
参考:
数学II
演習(第 3
回)の略解 ：p.2, 2
節 ；p.10, 3
節•
第8
回( 6
月12
日, および, 13日)
の内容–
内容:「基本変形を用いた逆行列の計算」について説明した.
–
参考:
数学II
演習(第 3
回)の略解 ：p.17, 5
節 数学II
演習(第 4
回)の略解 ：p.14, 7
節•
第9
回( 6
月19
日,および, 20日)
の内容–
内容:「基本変形を用いた連立一次方程式の解法」について説明した.
–
参考:
数学II
演習(第 5
回)の略解 ：p.43, 10
節; p.46, 11
節•
第10
回( 6
月26
日, および, 6月27
日)
の内容–
内容:「行列式」とは「(符号付の)
面積や体積」を対応させる関数であることを説明した. また,そうした関数は,「多重線型性」,「歪対称性」,
「規格化条件」という三つの性質で特徴付けられることについても説明 した.
