冬学期 全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」
レポート問題
(その７
)の略解
問1.
(1) 1 4
( tanx
2 )2
+ tanx 2 +1
2log¯¯¯tan x 2
¯¯¯
(2) 1
√a2+b2log
¯¯¯¯
¯
btan x2 −a+√
a2+b2 btanx2 −a−√
a2+b2
¯¯¯¯
¯ (3) x+ 2
tanx2 + 1 (4) xtan x
2 (5) (i). 1
atanx
2, ( a=b のとき ) (ii). − 1
atanx2, (a =−b のとき ) (iii). 2
a+b
√a+b a−btan−1
(√a−b a+b tanx
2 )
, (a2 > b2 のとき)
(iv). 1 (b−a)
√b−a a+b log
¯¯¯¯
¯¯
tanx2 +
√a+b b−a
tanx2 −√
a+b b−a
¯¯¯¯
¯¯, ( a2 < b2 のとき )
これらの原始関数は,例えば, 次のようにして求めることができます.
(1) t = tanx2 とすると,
t2+ 1 = sin2x2 cos2x2 + 1
= 1
cos2x2 となることが分かりますから,
cos2 x
2 = 1
1 +t2 (1)
と表わせることが分かります. よって, (1) 式から, cosx= cos2 x
2 −sin2 x 2
= 2 cos2 x 2 −1
= 2 1 +t2 −1
= 1−t2
1 +t2 (2)
sinx= 2 sinx 2cosx
2
= 2· sinx2
cosx2 ·cos2 x 2
= 2t
1 +t2 (3)
となることが分かります. また,
dt
dx = 1 cos2x2 · 1
2
= 1 +t2 2 となることが分かりますから,
dx= 2dt
1 +t2 (4)
となることも分かります. したがって, (2) 式, (3) 式, (4) 式から,
∫ 1 + sinx
sinx(1 + cosx)dx=
∫ t2+ 2t+ 1 2t dt
= 1 2
∫ (
t+ 2 + 1 t
) dt
= 1
4t2+t+ 1 2log|t| となることが分かります.
(2) t = tanx2 と変数変換してから, 分母を平方完成してみると,
∫ dx
asinx+bcosx =
∫ 2dt
2at+b(1−t2)
= −2 b
∫ dt
t2− 2atb −1
= −2 b
∫ dt
(t− ab)2
−a2b+b2 2
(5) となることが分かります. そこで,さらに,
T =t−a
b, R=
√a2+b2 b
としてみると, (5) 式から,
∫ dx
asinx+bcosx = −2 b
∫ dT
T2−R2
= 1 bR
∫ ( 1
T +R − 1 T −R
) dT
= 1 bRlog¯¯
¯¯T +R T −R
¯¯¯¯
となることが分かります.
(3) まず,
∫ sinxdx 1 + sinx =
∫ (
1− 1
1 + sinx )
dx
=x−
∫ dx
1 + sinx と変形してから, t= tanx2 と変数変換してみると,
∫ sinxdx
1 + sinx =x−
∫ dx
1 + sinx
=x−
∫ 2dt (t+ 1)2
=x+ 2 t+ 1 となることが分かります.
(4) t = tanx2 と変数変換することを考えてしみると,
∫ x+ sinx
1 + cosxdx= 2
∫ (
tan−1t+ t 1 +t2
) dt
= 2∫ {
tan−1t+t(tan−1t)0} dt
= 2
∫
(ttan−1t)0dt
= 2ttan−1t となることが分かります.
(5) t= tanx2 と変数変換してみると,
∫ dx
a+bcosx =
∫ 2dt
(a−b)t2+a+b (6) となることが分かります. そこで, 場合分けをして考えてみると, (6) 式の右 辺は,次のように表わせることが分かります.
(i) a=b のとき,
∫ 2dt
(a−b)t2+a+b = 1 a
∫ dt
= t a と表わせることが分かります.
(ii) a=−b のとき,
∫ 2dt
(a−b)t2 +a+b = 1 a
∫ dt t2
=−1 at
と表わせることが分かります.
(iii) a2−b2 = (a+b)(a−b)>0 のとき,
∫ 2dt
(a−b)t2+a+b = 2 a+b
∫ dt
(√a−b a+b t
)2
+ 1
= 2
a+b
√a+b a−btan−1
(√a−b a+bt
)
と表わせることが分かります.
(iv) a2−b2 = (a+b)(a−b)<0 のとき, R =
√a+b b−a として,
∫ 2dt
(a−b)t2+a+b = 1 (a−b)
∫ 2dt t2−R2
= 1
(a−b)R
∫ ( 1
t−R − 1 t+R
) dt
= 1
(a−b)Rlog¯¯
¯¯t−R t+R
¯¯¯¯
= 1
(b−a)Rlog¯¯
¯¯t+R t−R
¯¯¯¯
と表わせることが分かります.
問2. 直線l は, 点 A= (0,1)を通り, 傾きがt の直線ですから,
y=tx+ 1 (7)
という方程式で与えられることが分かります. また,単位円 C は,
x2+y2 = 1 (8)
という方程式で与えられることが分かります. そこで, (7) 式を (8) 式に代入して みると,
x2+ (tx+ 1)2 = 1 となることが分かりますから,
{(t2+ 1)x+ 2t}
x= 0 (9)
となることが分かります. よって, 点 P の座標を,
P = (α, β) とすると, (9) 式から,
α =− 2t
1 +t2 (10)
となることが分かります. さらに, (7) 式, (10) 式から,
β =tα+ 1
=− 2t2 1 +t2 + 1
= 1−t2 1 +t2
となることが分かります. 以上から, 点 P の座標は, P =
(
− 2t
1 +t2,1−t2 1 +t2
)
と表わせることが分かります.
「三角関数の有理式の積分」については,「数学IB演習(第9回)の略解 : p.1, 2 節 ; p.6, 3節」を参照.
