「じっくり学ぶ数学 I 」の内容について

[ 参考 ] ２００７年度 夏学期 全学ゼミナール

「じっくり学ぶ数学 I 」の内容について

皆さんの参考のために, 以下に, 去年の夏学期に行なった「じっくり学ぶ数学

I」

の内容を載せます. 今年度も, ほぼ同じ内容でお話する予定ですので, 自分で勉強 する方が早いと思われる方は, 申し出ていただければ, ゼミナールでお配りするの より前に「数学

IB

演習」や「数学

II

演習」のプリントをお渡しすることもできま すので, 是非, 自分のペースで勉強して下さい.¹

•

第

1

回

( 4

月

13

日, 14日

)

の内容

–

内容

:

ゼミナールの説明会という意味も込めて, ゼミナールの進め方, 数学 における

A

コースと

B

コースの違い,数学を学ばれるにあたって 大切ではないかと思われる点などについて説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 1

回)の略解 ：

p.7, 13

節 ；

p.9, 14

節

•

第

2

回

( 4

月

20

日,および, 21日

)

の内容

–

内容

:

写像や関数の定義を与えた上で, 微

(積)

分学の主目標は「関数 の性質をより良く理解する」ことであること, また, そのための戦略が

「理解の難しい一般の関数を「多項式の姿」に「化か」して, 理解の容 易な「多項式の姿」を通してその性質を調べる」ことであることを述べ た. 特に, sin

x

という関数を取り上げて, sin

x

を「多項式の姿」に「化 かす」ためには,「次数が無限大の多項式の姿」を考える必要があるこ とを注意した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.2, 3

節 ；

p.3, 4

節

•

第

3

回

( 4

月

27

日,および, 28日

)

の内容

–

内容

:

一般の関数が「多項式の姿」に「化ける」としたら, どのような

「姿」に「化ける」のがもっともらしいのかということを議論した. ま た, ₁₋¹_x という関数を取り上げて, この関数が

| x | < 1

という範囲での み, 「多項式の姿」に「化ける」ことを説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)： 問

2,

問

3

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.3, 4

節 ；

p.7, 6

節

•

第

4

回

( 5

月

11

日, および, 12日

)

の内容

1以下,参考に挙げたプリントの参照ページは去年のプリントのものであり,今年も行なう予定の 書き直し作業により, 今年度のプリントでは若干,節やページなどがずれることがあると思います.

1

–

内容

:「微積分学の基本定理」をもとにして,

部分積分を繰り返すこと で, 一般の関数を「おつりの項」付きで「次数が有限の多項式の姿」に

「化かす」ことができることを説明した. また,「積分に関する平均値の 定理」を用いて,「おつりの項」をより記憶に易しい形に書き直せるこ とを説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)： 問

4

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.10, 8

節 ；

p.14, 10

節 ；

p.18, 11

節

•

第

5

回

( 5

月

18

日, および, 19日

)

の内容

–

内容

:

三角関数や指数関数が,実際に「次数が無限大の多項式の姿」に

「化ける」ことを,「Taylorの定理」を用いて確かめることができること を説明した. また, Taylor展開の応用として,「自然対数

e

の近似値の計 算」についても説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回)： 問

2

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.2, 3

節 ；

p.4, 4

節

•

オプション講義

( 5

月

25

日

)

の内容

–

内容

: n

次の多項式の中で, 関数

f (x)

の

Taylor

多項式が,

x = 0

の近 くで,

f(x)

を最も良く近似する

(グラフの形が最も似ている)

多項式で あることを説明した. また, より一般に,「

x = a

のまわりでの

Taylor

展開」ということについても説明し, 関数

f (x)

の

x = a

のまわりでの

Taylor

多項式が,

x = a

の近くで,

f(x)

を最も良く近似する

(グラフの

形が最も似ている)多項式であることを説明した. さらに, 1次や

2

次の

Taylor

多項式の様子を調べることが, もともとの関数

f(x)

の大まかな

様子を「増減表を描いて調べる」ということに対応することを説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.8, 7

節 ；

p.18, 12

節 ；

p.21, 13

節 ；

p.23, 14

節

•

第

6

回

( 6

月

1

日,および, 2日

)

の内容

–

内容

: Taylor

展開の応用として,「極限の計算」について説明した. ま

た, 定義にもとづいて

Taylor

展開を求めることは,一般には困難である ことを注意して, Taylor展開が計算できる関数の積や商として表わせる 関数,あるいは, それらの合成関数の

Taylor

展開の計算法について簡単 に説明した.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回) ： 問

3,

問

4

数学

IB

演習

(第 4

回)： 問

1

2

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.8, 7

節 ；

p.9, 8

節 ；

p.14, 9

節 ；

p.17, 11

節

数学

IB

演習

(第 4

回)の略解 ：

p.1, 2

節

•

第

7

回

( 6

月

8

日, および, 9日

)

の内容

–

内容

:「基本変形」とは何かということを説明した.

また,「基本変形を

用いた行列の

rank

の計算」についても説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.2, 2

節 ；

p.10, 3

節

•

第

8

回

( 6

月

15

日, および, 23日

)

の内容

–

内容

:「基本変形を用いた逆行列の計算」について説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.17, 5

節 数学

II

演習

(第 4

回)の略解 ：

p.14, 7

節

•

第

9

回

( 6

月

22

日,および, 23日

)

の内容

–

内容

:「基本変形を用いた連立一次方程式の解法」について説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.43, 10

節

; p.46, 11

節

•

第

10

回

( 6

月

29

日, および, 6月

30

日

)

の内容

–

内容

:「行列式」とは「(符号付の)

面積や体積」を対応させる関数であ

ることを説明した. また,そうした関数は,「多重線型性」,「歪対称性」,

「規格化条件」という三つの性質で特徴付けられることについても説明 した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.5, 3

節

•

第

11

回

( 7

月

6

日, および, 7日

)

の内容

–

内容

:

与えられた行列の行列式の計算を, よりサイズの小さな行列の行 列式の計算に帰着させる原理について説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.23, 5

節

3

•

第

12

回

( 7

月

10

日,および, 7日

)

の内容

–

内容

:

前回の結果にもとづいて,「行列式の展開公式」について説明し た. また, 行列式は「行列の積」を「数の積」に写すということを説明 し,「行列式の値が

0

でない」ことと「正則行列である」ことが同値で あることについても説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.28, 6

節 ；

p.19, 4

節

•

第

13

回

( 7

月

13

日,および, 14日

)

の内容

–

内容

:「余因子」とは何かということを説明した後で,

与えられた正則

行列の逆行列を「余因子行列」を用いて具体的に表わす「Cramerの公 式」について説明した.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 6

回)の略解 ：

p.8, 4

節

[

演習のホームページ

]

http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index.html

4