I 」の内容について ２０１９年度 S セメスター全学体験ゼミナール「じっくり学ぶ数学

２０１９年度 S セメスター 全学体験ゼミナール

「じっくり学ぶ数学 I 」の内容について

皆さんの参考のために,最初に「じっくり学ぶ数学

I」でお話する予定の内容を

お渡ししておこうと思います. 以下の内容を確認の上, 自分で勉強する方が早いと 思われる方は,先に「数学

IB

演習」や「数学

II

演習」のプリントをお渡しするこ ともできますので, 自分のペースで勉強して下さい.¹

•

第

1

回

( 4

月

5

日

)

の予定

–

内容

:

ゼミナールの説明会という意味も込めて, ゼミナールの進め方, 数学を学ばれるにあたって大切ではないかと思われる点などについて説 明する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 1

回)の略解 ：

p.7, 13

節 ；

p.9, 14

節

•

第

2

回

( 4

月

19

日

)

の予定

–

内容

:

写像や関数の定義を与えた上で, 微

(積)

分学の主目標は「関数 の性質をより良く理解する」ことであること, また, そのための戦略が

「理解の難しい一般の関数を「多項式の姿」に「化か」して, 理解の容 易な「多項式の姿」を通してその性質を調べる」ことであることを述べ る予定. 特に, sin

x

という関数を取り上げて, sin

x

を「多項式の姿」に

「化かす」ためには, 「次数が無限大の多項式の姿」を考える必要があ ることを注意する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.2, 3

節 ；

p.3, 4

節

•

第

3

回

( 4

月

26

日

)

の予定

–

内容

:

一般の関数が「多項式の姿」に「化ける」としたら, どのような

「姿」に「化ける」のがもっともらしいのかということを議論する予定.

また, ₁₋¹_x という関数を取り上げて, この関数が

| x | < 1

という範囲で のみ, 「多項式の姿」に「化ける」ことを説明する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)： 問

2,

問

3

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.3, 4

節 ；

p.7, 6

節

1以下,参考に挙げたプリントの参照ページは去年のプリントのものであり,今年も行なう予定の 書き直し作業により, 今年度のプリントでは若干,節やページなどがずれることがあると思います.

1

•

第

4

回

( 4

月

30

日

)

の予定

–

内容

:「微積分学の基本定理」をもとにして,

部分積分を繰り返すこと

で, 一般の関数を「おつりの項」付きで「次数が有限の多項式の姿」に

「化かす」ことができることを説明する予定. また,「積分に関する平均 値の定理」を用いて,「おつりの項」をより記憶に易しい形に書き直せ ることを説明する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 2

回)： 問

4

数学

IB

演習

(第 2

回)の略解 ：

p.10, 8

節 ；

p.14, 10

節 ；

p.18, 11

節

•

第

5

回

( 5

月

10

日

)

の予定

–

内容

:

三角関数や指数関数が,実際に「次数が無限大の多項式の姿」に

「化ける」ことを,「Taylorの定理」を用いて確かめることができること を説明する予定. また, Taylor展開の応用として,「自然対数

e

の近似値 の計算」についても説明する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回)： 問

2

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.2, 3

節 ；

p.4, 4

節

•

オプション講義

( 5

月

17

日

)

の予定

–

内容

: n

次の多項式の中で,関数

f(x)

の

Taylor

多項式が,

x = 0

の近く で,

f (x)

を最も良く近似する

(グラフの形が最も似ている)

多項式であ ることを説明する予定. また,より一般に,「

x = a

のまわりでの

Taylor

展開」ということについても説明し, 関数

f (x)

の

x = a

のまわりでの

Taylor

多項式が,

x = a

の近くで,

f(x)

を最も良く近似する

(グラフの

形が最も似ている)多項式であることを説明する予定. さらに, 1次や

2

次の

Taylor

多項式の様子を調べることが, もともとの関数

f (x)

の大ま

かな様子を「増減表を描いて調べる」ということに対応することを説明 する予定.

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.8, 7

節 ；

p.18, 12

節 ；

p.21, 13

節 ；

p.23, 14

節

•

第

6

回

( 5

月

24

日

)

の予定

–

内容

: Taylor

展開の応用として,「極限の計算」について説明する予定.

また,定義にもとづいて

Taylor

展開を求めることは, 一般には困難であ ることを注意して, Taylor展開が計算できる関数の積や商として表わせ る関数, あるいは, それらの合成関数の

Taylor

展開の計算法について簡 単に説明する予定.

2

–

参考

:

数学

IB

演習

(第 3

回) ： 問

3,

問

4

数学

IB

演習

(第 4

回)： 問

1

数学

IB

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.8, 7

節 ；

p.9, 8

節 ；

p.14, 9

節 ；

p.17, 11

節

数学

IB

演習

(第 4

回)の略解 ：

p.1, 2

節

•

第

7

回

( 5

月

31

日

)

の予定

–

内容

:「基本変形」とは何かということを説明する予定.

また,「基本変

形を用いた行列の

rank

の計算」についても説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.2, 2

節 ；

p.10, 3

節

•

第

8

回

( 6

月

7

日

)

の予定

–

内容

:「基本変形を用いた逆行列の計算」について説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 3

回)の略解 ：

p.17, 5

節 数学

II

演習

(第 4

回)の略解 ：

p.14, 7

節

•

第

9

回

( 6

月

14

日

)

の予定

–

内容

:「基本変形を用いた連立一次方程式の解法」について説明する

予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.43, 10

節

; p.46, 11

節

•

第

10

回

( 6

月

21

日

)

の予定

–

内容

:「行列式」とは「(符号付の)

面積や体積」を対応させる関数であ

ることを説明する予定. また,そうした関数は,「多重線型性」

,「歪対称

性」,「規格化条件」という三つの性質で特徴付けられることについて も説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.5, 3

節

•

第

11

回

( 6

月

28

日

)

の予定

–

内容

:

与えられた行列の行列式の計算を, よりサイズの小さな行列の行 列式の計算に帰着させる原理について説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.23, 5

節

3

•

第

12

回

( 7

月

5

日

)

の予定

–

内容

:

前回の結果にもとづいて,「行列式の展開公式」について説明す る予定. また, 行列式は「行列の積」を「数の積」に写すということを 説明し,「行列式の値が

0

でない」ことと「正則行列である」ことが同 値であることについても説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.28, 6

節 ；

p.19, 4

節

•

第

13

回

( 7

月

12

日

)

の予定

–

内容

:「余因子」とは何かということを説明した後で,

与えられた正則

行列の逆行列を「余因子行列」を用いて具体的に表わす「Cramerの公 式」について説明する予定.

–

参考

:

数学

II

演習

(第 5

回)の略解 ：

p.19, 4

節 数学

II

演習

(第 6

回)の略解 ：

p.8, 4

節

[

演習のホームページ

]

http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index.html

4