2019 年度 A セメスター
全学体験ゼミナール「じっくり学ぶ数学 II 」 成績の付け方について
全学体験ゼミナール「じっくり学ぶ数学 II」への参加を考えるにあたり, 気に なっている方も多いのではないかと思いますので, 最初に成績の付け方について大 まかに説明してみることにします.
1. ゼミナールの課題について
皆さんがお持ちの「2019 年度 A セメスター (A1・A2 ) 科目紹介」の中の「じっ くり学ぶ数学 II」の項目の中でも書きましたが, 私としては, S セメスターに行っ た「じっくり学ぶ数学 I」に引き続き, 微積分学や線型代数学における基本的な考 え方を順番に取り上げて , 何をどう考えているのかとか , 何がアイデアなのかとい うことをなるべくはっきりした形で説明してみることで, 皆さんの数学に対する理 解の助けになればよいということを考えて, このゼミナールを行なう予定です. そ の意味では, このゼミナールに参加されている皆さんが, 多少なりとも数学に興味 を持っていただいて, 学期が終わる頃には, 9 月の学期初めの頃に比べて, だいぶ自 分も進歩したなぁと思っていただけたとすれば, それで単位を出しても良いのでは ないかとも思っています.
ただし, 数学をより良く理解する上では, 単に, 講義を聴いたり, 教科書を読んだ りするだけでなく, 自分で手を動かして具体的な問題を解いてみるということが, とても大切になります. そこで, 皆さんにもそうした機会を持っていただけるよう に, ゼミナールの成績を付けるにあたって,
• 正解に至った問題を小問で１５０題以上解いてあるノートを提出 する .
という課題を設けようと思います.
ただし, これだけでは分かりにくいかもしれませんので, 以下で, 上の課題につ いてもう少し説明してみることにします.
2. どうして小問で１５０題以上なのか
上でも注意したように, 数学をより良く理解する上では, 自分で手を動かして具
体的な問題を解いてみるということが, とても大切です. しかし, ゼミナールの時
間は毎回１０５分しかありませんので, 私の方で基本的な考え方を説明しようと思
うと, ゼミナールの時間中に皆さんに問題を解いてもらう時間を設けることはどう
しても難しくなります. そこで, その時間に説明した内容の復習になるような問題
を, 毎回, 大問で２題ず つ「レポート問題」という形で皆さんにお渡しして, 後は, それを解いてもらえば良いという方針で、このゼミナールを行って来ました.
ところが, 数年前から, 急激に受講者が増えてしまい, ６年前の夏学期は, 授業登 録者数が 700 人近くになってしまい, 教務委員会で問題になってしまいました. 教 務委員会の最大の懸念は「じっくり学ぶ数学 I 」が「楽勝科目」として「単位狙い」
の標的にされているのではないかということのようで, 学期の途中で, 何らかの対 策を取るようにという勧告を受けました.
そこで, そうした状況において, できるだけ多くの人に「合格」を出せる可能性 を残すために, 実際に達成可能であり , しかも , 「まあ , これだけ取り組んでいるの であれば, 単位を与えても問題ないだろう」と, 多くの教員の方に理解していただ けるように, ゼミナールの課題を「正解に至った問題を小問で２００題以上解いて あるノートを提出する.」という形に変更しました.
結果的に, ６年前の夏学期は, 250 人ほどの方が単位を取られましたが, 提出して いただいたノートを見ると, さすがに結構数学が身に付いたのではないかと思いま したし, 実際, 必修の数学の試験も上手くいったと言われていた方もいました.
今年度も, 依然として,「じっくり学ぶ数学」は教務委員会の監視下にあると思 われることと, S セメスターの結果を踏まえて,
• 正解に至った問題を小問で１５０題以上解いてあるノートを提出 する .
という課題を課すことにしました.
一応, お配りする予定の「レポート問題」や「数学 IB 演習」,「数学 II 演習」の プリントの問題を全部合わせると, 優に 150 題を超えると思いますが, 問題は, そ れらのプリントの問題を解かないといけないということはありませんし, 自分で練 習になりそうだと思う問題に自分のペースでじっくり取り組んでみるということ も大切ですから, 解いていただく問題は, 自分の持っている教科書や演習書からい くつか問題を選んでもらっても構いません ( ただし, その場合には , どのような問 題を考えているのか分かりませんので, 問題も一緒に書いて下さい. ).
3. 「小問の数」について
前項で述べたように, 問いていただく問題は毎回お配りする予定の「レポート問 題」の中の問題でなくとも全く構わないわけですが, 問題によっては,
• 問 1. · · · を求めよ.
というように単発の問題であったり,
• 問 1. (1). · · · となることを証明せよ.
(2). · · · を求めよ.
というように小問に分かれていたりするのではないかと思います.
そこで, 単位をお出しするに当たり, できるだけ公平を期するために, 問題数を 数えるにあたっては,
(i). (1), (2), · · · などの「小問」が指定されていない場合には, その「大問」を
「小問の数 = １題」と数える.
(ii). (1), (2), · · · などの「小問」が指定されている場合には, それぞれの「小問」
を「小問の数 = １題」と数える .
という規則のもとで「小問の数」を数えることにしようと思います. 問題によって は, (1), (2), · · · などの「小問」を指定せずに,
• 問 1. · · · となることを証明せよ. また, · · · を求めよ.
というように, ひとつの「大問」の中にいくつかの小問が含まれている場合があり ますが, それぞれの「小問」を「小問の数 = １題」と数えることにすると, 人に よって, どれを「小問」と思うのかということに関してブレが生じてしまう可能性 がありますから, このような場合でも, (i) の場合であるとして, その「大問」を「小 問の数 = １題」と数えることにします. すなわち, 問題の中身は問わずに , 純粋に 形式的に「小問の数」を数えることができるようにするというわけです. また, 私 がお配りする「数学 II 演習」の問題では, ときどき,
♣ 余裕があれば, · · · も求めてみよ.
というような形で問題が出されていることがありますが, これらの問題を解かれた 方は, それぞれの「♣ 余裕があれば, · · · 」という「大問」を「小問の数 = １題」
と数えていただいて結構です.
なお, ご自分の解いた「小問の数」を増やすために, 本来の大問や小問を小分け にして「小問の数」を増やそうという誘惑に駆られる方も出るのではないかと思 いますが, そのような場合には, 他の方との公平性を保つために, 私の方で, 適当な
「小問の数」となるように , 適宜 , 問題数を数え直すことにしようと思います. そ の場合, 問題数の数え直しの結果,「正解に至った小問の数」が 150 題に満たなく なり, 残念ながら, 単位を与えることができなくなるということも起こりうると思 いますので, お互いに無駄な手間を省くためにも, 皆さんには, できるだけ正直に
「正解に至った小問の数」を申請していただけると助かります.
14. 「正解に至った」とは
数学をより良く理解するためには, 単に, 問題を解こうとするだけでなく, 実際 に, 問題を最後まで解いてみて, その結果をしみじみ納得するということがとても 大切です. そこで, このことを強調するために, わざわざ,「正解に至った」という 言葉を付けて表現してみました.
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もし, そうした数え直しがご心配な方は, ぴったり 150 題ではなく, 少し多めに問題を解いて
ノートを提出して下さい.
例えば, 皆さんが一通り問題を解いてから, 解答と比較して,「確かにこれで良 し！」と思えば, もちろん, それは「正解に至った問題」ということになります. ま た, 必ずしも「自力で正解に至らなければいけない」というわけではありませんの で, 例えば, 解けるところまで自力で問題を解いてみて, どうしても解けなかった ところは解答を参考にしながら最終的な答えに達したということでも構いません.
ともかく,「自力で正解に至ったのか」, あるいは,「解答などを参考にしながら正 解に至ったのか」ということとは関係なく, 最終的な答えに達して, 「確かにこれで 良し！」と皆さんが納得した問題が「正解に至った問題」ということになります.
そこで, こうした「正解に至った問題」と「解答が途中になっている問題」とを 区別するために,「正解に至った問題」については,「正解に至った問題」であるこ とを示す「印」を, 皆さんの方でそれぞれ勝手に決めていただいて, 例えば,
• 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
• 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. ¥
• 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. (q.e.d)
• 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. (OK!!)
などというように, 最終的な答えに達して,「確かにこれで良し！」と皆さんが納 得できたときに, 問題の最後に「印」を付けていただけると助かります.
また, ノートの確認作業をより効率的に行うために,
• 何題の問題を解いたのかが一目で確認できるように , 「印」の横 に通し番号を振る .
ということにさせて下さい. すなわち, 例えば,
• 第 1 回 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
1• 第 1 回 問 2. · · · · となる. よって, · · · となる. //
2• 第 2 回 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
3.. .
• 第 5 回 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
27.. .
というように, どの問題を「正解に至った小問」と数えたのかということと, そこ までで通算して,「正解に至った小問」が何題になったのかということが分るよう にして下さい.
それから, 学期が進み, 皆さんの理解度が上がって来た頃に, 以前解いた問題を,
もう一度解きたいと思われる方もいると思いますが,
• 一度解いた問題は , 後で再び解き直したときには , 「正解に至った 小問」の数には数えない .
ということにさせて下さい. すなわち,
• 第 2 回 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
3というように, すでに「正解に至った小問」の通し番号が付いた問題を再び解かれ るときには ,
• 第 2 回 問 1. · · · · となる. よって, · · · となる. //
再というように, 前に一度解いた問題であることを明示して, 「正解に至った小問」の 通し番号は付けないで下さい . もちろん, 同じ問題を何度も解き直してみるという ことは, とても勉強になりますので, 私としても, そうしたことを推奨しますが, 同 じ問題だけを繰り返し解いて問題数を稼ごうという誘惑に駆られてしまう方が出 ないように, あらかじめ予防措置を取っておこうというわけです.
「印」は, 上のように,「//」でも「¥」でも「(q.e.d)」でも「(OK!!)」でも, 何 でも構いませんし, すべての問題で「印」が統一されていなくとも構いません. あ るいは , 「正解に至った小問」に丸を付けて , 丸の中に通算の番号を書き込むとい う形でも構いません .
毎年, ノート提出の際に, 小問の数え方に迷って,「正解に至った小問数」が違っ ていたり, 小問数が明記されていない方がいますが, 小問の数え方に迷った場合で も, 自分なりの数え方で構いませんので,「どの問題を「正解に至った小問」と数 えたのか」が分るような「印」と,「何題の問題を解いたのかが一目で確認できる」
ように , 必ず「印」の横に通し番号を振って下さい .
5. ノート作成上の注意点
まず, 解答する問題についてですが, 2 節でも説明したように, 私がお配りしてい る「レポート問題」や「数学 IB 演習」 , 「数学 II 演習」の資料の中からいくつか 問題を選んでもらっても構いませんし , 自分の持っている教科書や演習書からいく つか問題を選んでもらっても構いません ( その場合には, どのような問題を考えて いるのか分かりませんので , 問題も一緒に書いて下さい . ). ただし, このゼミナー ルは, あくまでも大学の科目として行われるわけですから,
• 「正解に至った小問」として申請する問題は , 原則 , 「微積分学の 問題」 , あるいは , 「線型代数学の問題」に限る .
ということにさせて下さい.
2文系の方で , 高校で未履修な部分の勉強から始めた いと思われる方は, そうしていただいても全く構いませんが,「どうして, この人に
2
もちろん,「微分方程式の問題」や「複素関数論の問題」など, さらに進んだ数学の問題を解い
ていただいても全く構いません.
大学の単位を与えたのですか.」という疑問にも答えることができるように,
• 「正解に至った小問」として申請する１５０題以上の問題のう ち , 理系の人は１５０題以上 , 文系の人は７５題以上は , 大学生向け の教科書や演習書に載っているような「大学で扱う問題」を解く .
ということにさせて下さい.
それから, 理系の方は S1 タームに「数理科学基礎」という科目があり, 共通資料 に付随する問題をたくさん解いているのではないかと思いますが, 皆さんの中に, それらの問題を解いた結果を全学ゼミナールのノート提出に「使い回そう」とい う誘惑に駆られる方が出てもいけませんから,
• 理系の方は , S1 タームの「数理科学基礎」の共通資料に付随す る問題は「大学で扱う問題」から除外する .
ということにさせて下さい.
また, 私がお配りしているプリントの問題には, すべて解答を付けてありますが,
「解答丸写し」とか「写経」とかいった批判に応えるために,
• 解答の全部 , あるいは , 解答の中の一部の式だけを丸写しした場 合と区別できないような解答は , 原則 , 「正解に至った小問」の数に は数えない .
ということにさせて下さい. すなわち,「正解に至った小問」として数えるために は, 必ずしも「自力で正解に至らなければいけない」というわけではないというこ とは, 4 節でも説明しましたが, 例え, 解答を参考にしながら最終的な答えに達した 場合でも, できるだけ「自分の言葉」で解答を書き下してみるようにして下さい.
例えば,
例 1. f(x) = x log x を微分せよ.
という問題に対して, 単に,
(答). f
0(x) = log x + 1
と書いてあるだけでは, 自分できちんと計算したのか, あるいは, 答えを丸写しし ただけなのか判断がつきませんが, 例えば,
(答). f
0(x) = (x log x)
0= (x)
0log x + x(log x)
0= 1 · log x + x · 1 x
= log x + 1
というように書いていただければ, 自分できちんと計算したことが分るというわけ です.
また, 例えば, 解答の中に, 例 2. 1
7! = 1 7 · 1
6! = 0.0013888 · · ·
7 = 0.00019841 · · · という式が登場した場合, ノート上に, 単に,
0.0013888 · · ·
7 = 0.00019841 · · ·
という計算結果だけが書かれているだけでは, 自分できちんと計算したのか, ある いは, 答えを丸写ししただけなのか判断がつきませんが, 例えば,
0.00138887 ···を「手 計算」したところをノート上に残しておいていただければ, 自分できちんと計算し たことが分るというわけです.
ともかく,
(あ) なるべく途中の式や計算も省略せず書く.
(い) 数式だけでなく, できるだけ説明の文章も入れるようにする.
ということに注意して解答を作っていただいて, 解答の全部 , あるいは , 解答の中 の一部の式だけを丸写ししたのではなく, 自分できちんと問題を解いたという「証 拠」をできるだけ残すようにして下さい.
それから, 簡単に答が出るような問題をたくさん解くことで, 問題数を稼ごうと する誘惑を防ぐために,
• 「１ - ２行で答えが出てしまうような問題」に関しては , 原則 , 「正 解に至った小問」の数には数えない .
ということにさせて下さい.
ここで,「１-２行で答えが出てしまうような問題」とは, 例えば, 例 3. (1). (x)
0= 1
(2). (sin x)
0= cos x
のように「単に, すでに知っている答を書けば終わってしまう問題」や,
例 4. (1).
¯¯ ¯¯
¯¯ ¯
0 − 1 5
0 2 − 1
0 − 1 2
¯¯ ¯¯
¯¯ ¯
= 0
のように「一瞬にして答が分ってしまう問題」などのことです.
だたし, 前に挙げた
例 1. f (x) = x log x を微分せよ.
という問題の例で言えば, 単に, (答). f
0(x) = log x + 1
と書いてあるだけでは,「１-２行で答えが出てしまうような問題」であると判定す ることになりますが, 例えば,
(答). f
0(x) = (x log x)
0= (x)
0log x + x(log x)
0= 1 · log x + x · 1 x
= log x + 1
というように書いていれば,「１-２行で答えが出てしまうような問題」ではないと 判定することになります.
このように, どの問題が「１ - ２行で答えが出てしまうような問題」なのかとい うことは , 客観的に決まることではなく , 解答者の予備知識と解答の書き方によっ て決まることですので, 基本的な問題を解くにあたっても, できるだけ丁寧に計算 課程を書くようにして下さい.
例えば,「行列の積」の計算に当たっても, 例 5. (1).
Ã
1 2
− 2 3
! Ã
2 − 1
0 2
!
= Ã
2 3
− 4 8
!
と書いてあるだけでは,「１-２行で答えが出てしまうような問題」であると判定す ることになりますが, 例えば,
(1).
Ã
1 2
− 2 3
! Ã
2 − 1
0 2
!
= Ã
1 · 2 + 2 · 0 1 · ( − 1) + 2 · 2
− 2 · 2 + 3 · 0 ( − 2) · ( − 1) + 3 · 2
!
= Ã
2 − 1 + 4
− 4 2 + 6
!
= Ã
2 3
− 4 8
!
というように書いていれば,「１-２行で答えが出てしまうような問題」ではないと 判定することになります.
また, 時折, 問題数を稼ぐために, 延々と微分の計算をしたり, 行列の積を計算さ れたりする方がいますが, 最初から, そうした誘惑を断ち切るために,
• 「同じタイプの問題」を延々と解いても , 「正解に至った小問数」
としては , あるところで打ち切る .
ということにさせて下さい. といっても, 余り極端な場合でなければ, この規則は 適用しないと思いますので, 皆さんは, 余り気にせずに問題を解いて下さい.
以上, ノート作成上の注意点を挙げましたが, 自分では「正解に至った小問」と して数えた問題が, 上の規則の下で,「正解に至った小問」から外れてしまい, 結果 的に１５０題に足りなくなってしまうことが起こりうると思います. 上でも注意し たように, 基本的には, 解答の全部 , あるいは , 解答の中の一部の式だけを丸写しし たのではなく, 自分できちんと問題を解いたという「証拠」をできるだけ残すよう にしていただければ大丈夫ではないかと思いますが, そうしたことが心配な方は, ノート提出にあたり, 心配な問題数分だけ, 少し多めに問題を解いておいて下さい.
6. 課題の提出について
課題の提出にあたり,
• レポート用紙 , あるいは , ノートなど , 「提出の形式」は何でも構 いません .
例えば, 毎回のレポート問題を解くことに使った紙などを纏めて提出していただ いても構いませんし, 自分で一冊のノートに纏めた方が後で見直すときに都合が良 いと思われる方は, そうして頂いて結構です. ともかく, 皆さんに返却するときに バラバラにならないような形であれば, どのような形でも結構ですので, 皆さん自 身の都合が良いような形で提出して下さい. それから, 提出していただくノートに は, 演習問題やその解答以外は書いてはいけないということはありませんので, 皆 さんがノート作成を続ける中で, 適宜, 基本事項のまとめを書き加えたいとか, そ れぞれの問題や数学的な事項について, 自分なりの考察を書き加えたいと思われる ようでしたら, そうした事柄を書き加えていただいても結構です.
3成績の評価は, あくまで,「正解に至った小問」の部分のみで行なおうと思いますが, ノート作成 にあたっては , 皆さんにとって勉強になる形で行なっていただければと思います .
なお, ノート提出の期限については, A セメスターの試験の最終日くらいにしよ うと思っていますが, 「ノート提出の期限」や「提出場所」についての正確な情報 については , 学期の終わりが近づいたときに , 改めてお知らせしようと思います .
以上, 成績の付け方について説明してみましたが, 不明な点があれば, ゼミナール の時間に質問して頂くなり, 希望・感想の紙で指摘して頂くなりすると助かります.
６年前からの変更により, 成績評価のハードルが大幅に上がりましたので, ノー ト作成にあたり, １５０題以上という課題達成に至らずに, ノート提出を断念する という方もかなりの数出るのではないかとも思いますが, 私としては, 以上で述べ た注意点に注意しながらノート作成を行っていただけると, 例え, １５０題に至らな くとも, 取り組んだ問題の題数に応じて, 数学がより良く理解できるようになるの
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