高等学校数学までに学ぶ数の無理数性について

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(1)高等学校数学までに学ぶ数の無理数性について教科・領域教育学専攻. 自然系コース. M08179H 横瀬憲一本論分では，できるだけ初等的に無理数の証明を行っ. まず，第1章「実数公理について」では，無理数を述. ていくことを目標としている。初等的な無理数の証明. べる上で，必ず必要になってくるであろうr実数」につ. 方法の中でも最も初等的な証明方法は，中学校数学で習. いて述べていく。実数は「有理数」と「無理数」にわ. う凶等が無理数である二とを証明するときに使用する. けられるというが，その間にはどのような違いがあるの. 「背理法」でしょう。ある命題が成り立たないと仮定し. だろうか，というのがこの章で考えることである。. それが矛盾していることを証明する，という一兄シンプ. 1．1節の「縮小区間列」では，有理数から実数への拡. ルに見えるが，なかなかによくできた証明方法である。. 大（構成）を行う。そのために，r縮小区間列」につい. また，高等学校数学Bにおいても扱われている「数学的. て触れる。. 帰納法」も用いている。この証明方法もシンプルで，命. 1．2節の「切断」では，1．1節の「縮小区間列」とは違. 題P（η）に対して以下の2つのことを証明するだけで証. う，「切断」を用いて有理数から実数への拡大（構成）. 明が完了する。. を行う。. 111，η＝1のとき命題が成立する。. 第2章の「超越数」では，実数の範囲で考えるr超越. 121，η＝榊≧1）のとき命題が成立すると仮定する. 数」はすべてr無理数」となることがわかっているの. と，η＝た十1のとき命題が成立する。. で、それを利用して，様々な数の無理数性を示していく。. また，初等的とは言えないが無理数を考える上では避け. 2．1節の「代数的数と超越数」では，超越数の定義に. ては通れないr超越数」についても説明を行う。なぜ. ついて述べている。さらに，このあとの節で用いられる. 「超越数」を避けて通れないかと言うと，この「超越数」. 記号についても簡単ではあるが述べてもいる。. というものは，「代数的数ではない数」を意味するから. 2．2節の「8｛egε王の補題」では，この次の節で述べる. である。（r代数的数」とは整係数多項式の根を意味し，. 「Gel’プ㎝d−8Cんηe伽rの定理」を証明するために必. 整数やρといった数が例として挙げられる。）つま. ず必要になってくる定理である「醐εgε工の定理」の証. り，r超越数」であるということは（複素数を除くと）無. 明を行い，それを次節の証明で使いやすい形に変換して. 理数であるということである。さらに，このr超越数」. いる。. には0♂∫o棚一8Cん砒澁rの定理という，この定理一. 2．3節の「0e正’∫o肌d−3cん鵬漉rの定理の証明」で. つで，多くの数をr超越数」かどうか判定できる画期的. は，「超越数」を語る上で，必ず出てくるといっても過. な定理がある。これを利用すると，無理数性（こ0）場合. 言ではない定理，r0ε1’∫oη∂一8Cんη洲erの定理」の. は超越性）の証明として難しいとされるπの証明であっ. 証明を行う。またこの方法は，ヒルベルトの23の問題. ても比較的容易にできるようになる。. の1つである「αが0でも1でもない代数的数で，bが. 以上のように，一見簡単そうな証明方法や大学数学にお. 代数的無理数であるとき，αbは超越数であるか」という. いても難しい内容を駆使し，できるだけ初等的な証明方. 問題を解くために扱ったものであることもあわせて書. 法で，様々な数をr無理数」であることを証明するのが. いておく。. 本研究の目標である。. 2．4節の「0el’∫o肌d＿8cんηe澁rの定理の活用」では，この定理を用いて，ψ，π，e，sin入（λは0でない代数. 続いて，論文の詳しい構成について述べる。. 的数）のような数の無理数性（超越性）を証明できるこ. 一350一.

(2) とを示す節である。. が無理数であることを証明する。. 3章のr自然対数の底εの無理数性」では，いくつもあ. 5．1節の「一般的な連分数」では，3．1節で述べた「正. る自然対数の底eの無理数性の証明方法をいくつか述. 則連分数」よりも，より一般的な連分数について述べて. べていく章である。. いる。. 3．1節の「正則連分数」では，これ以降も使うであろう. 5．2節のrtan”の無限連分数表示」で. 「連分数」のなかで，一番初歩的な「正則連分数」につ. は，λ．Pr伽g5加4mのアイデアを用いて，tanπ（πは. いて触れる。この「連分数」の内容の中での一番の軒. 有理数）が無限連分数表示され，tan”の値が無理数とな. としては，r正則無限連分数」というように表される数. ることを示せることから，その対偶（tanπの値が有理. は，すべて無理数となることがわかるので，この節以降. 数ならば，πは無理数）をとることにより，π＝π／4のと. では，重宝される。. き，π／4が無理数となり，ゆえにπが無理数となること. 3．2節の「eの無限正則連分数表示」では，3．1節で述. を証明する。. べる「正則無限連分数」という連分数に，eが表示でき. 5．3節のr微積分を月］いた無理数性の証明」では，背. るということをいくつかの定理を交えて説明する。. 理法を使い，πが無理数であることを示すのだが，その. 3．3節のr微積分を用いたeの無理数性」では，r無. ためには，ある定理が必要になってくる。その定理には. 理数性」というよりも，2章で述べた「超越性」を導き. 微積分を使ったものがいくつかあるため，このような. 出してeが無理数（超越数）であることを証明する。. テーマにしている。. 3．4節のr無限級数を用いたeの無理数性」は，この章の最初で述べた，高等学校数学で習う方法を用いて，初等的に，かっ比較的わかりやすく無理数性の証明を示した節である。. 4章のr三角関数の値が有理数のときの角度の無理数性」では，三角関数（正弦，余弦，正接〕0）値が有理数の. とき，（特別な場合を除いて）角度が無理数となること. を証明している。また，その対偶であるr三角関数の角. 度が有理数のとき値は無理数」という方法でも証明を打っている。. 4．1節のr正接関数の場合」では，．正接関数において、. 値が（特別な場合を除いた）有理数となる場合，その角度を度数法で表すと，その角度が必ず無理数となってしまうことを示している。さらに，正接関数の加法定理ができるレベルの方なら、（なんとか）理解できる証明も行いました。. 4．2節のr正弦，余弦関数の場合」では，主に柳原弘. 志著の「初等整数論」に書いている方法で数の照理数性の証明を行っている。また，その際に山てくる命題を. 用いて，高等学校数学において出てくる（3次以上の）多項式の因数分解が楽になる方法も載せている。. 5章のr円周率πの無理数性」では，3．1節で述べたr正員1」連分数」をより一般化したr連分数」を用いて，πが. 主任指導教員渡辺金治. 無理数であることを証明する方法や，微積分を用い，π. 指導教員渡辺金治. 一351一.

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