冬学期 全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」

冬学期 全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」

レポート問題

その７

の略解

問1.

(1) 1 4

³ tanx

2

´₂

+ tanx 2 +1

2log

¯¯

¯tan x 2

¯¯

¯

(2) 1

√a²+b²log

¯¯

¯¯

¯

btan^x₂ −a+√

a²+b² btan ^x₂ −a−√

a²+b²

¯¯

¯¯

¯ (3) x+ 2

tan^x₂ + 1 (4) xtan x

2 (5) (i). 1

atanx

2, ( a=b のとき ) (ii). − 1

atan^x₂, (a =−b のとき) (iii). 2

a+b

ra+b a−btan⁻¹

Ãra−b a+b tanx

2

!

, (a² > b² のとき)

(iv). 1 (b−a)

rb−a a+b log

¯¯

¯¯

¯¯

tan^x₂ + qa+b

b−a

tan^x₂ − qa+b

b−a

¯¯

¯¯

¯¯, ( a² < b² のとき )

これらの原始関数は,例えば, 次のようにして求めることができます.

(1) t = tan^x₂ とすると,

t²+ 1 = sin^2x₂ cos^2x₂ + 1

= 1

cos^2x₂ となることが分かりますから,

cos² x

2 = 1

1 +t² (1)

と表わせることが分かります. よって, (1) 式から, cosx= cos² x

2 −sin² x 2

= 2 cos² x 2 −1

= 2 1 +t² −1

= 1−t²

1 +t² (2)

sinx= 2 sinx 2cosx

2

= 2· sin^x₂

cos^x₂ ·cos² x 2

= 2t

1 +t² (3)

となることが分かります. また, dt

dx = 1 cos^2x₂ · 1

2

= 1 +t² 2 となることが分かりますから,

dx= 2dt

1 +t² (4)

となることも分かります. したがって, (2) 式, (3) 式, (4) 式から, Z 1 + sinx

sinx(1 + cosx)dx=

Z t² + 2t+ 1 2t dt

= 1 2

Z µ

t+ 2 + 1 t

¶ dt

= 1

4t²+t+ 1 2log|t|

となることが分かります.

(2) t = tan^x₂ と変数変換してから, 分母を平方完成してみると,

Z dx

asinx+bcosx =

Z 2dt

2at+b(1−t²)

= −2 b

Z dt

t²− ^2at_b −1

= −2 b

Z dt

¡t− ^a_b¢₂

−^a2_b^+b2 ²

(5) となることが分かります. そこで,さらに,

T =t− a

b, R =

√a²+b² b

としてみると, (5) 式から,

Z dx

asinx+bcosx = −2 b

Z dT T²−R²

= 1 bR

Z µ 1

T +R − 1 T −R

¶ dT

= 1 bRlog

¯¯

¯¯T +R T −R

¯¯

¯¯

となることが分かります.

(3) まず,

Z sinxdx 1 + sinx =

Z µ

1− 1

1 + sinx

¶ dx

=x−

Z dx 1 + sinx と変形してから, t= tan^x₂ と変数変換してみると,

Z sinxdx

1 + sinx =x−

Z dx 1 + sinx

=x−

Z 2dt (t+ 1)²

=x+ 2 t+ 1 となることが分かります.

(4) t = tan^x₂ と変数変換することを考えてしみると, Z x+ sinx

1 + cosxdx= 2 Z µ

tan⁻¹t+ t 1 +t²

¶ dt

= 2 Z ©

tan⁻¹t+t(tan⁻¹t)⁰ª dt

= 2 Z

(ttan⁻¹t)⁰dt

= 2ttan⁻¹t となることが分かります.

(5) t = tan^x₂ と変数変換してみると,

Z dx

a+bcosx =

Z 2dt

(a−b)t²+a+b (6) となることが分かります. そこで, 場合分けをして考えてみると, (6) 式の右 辺は, 次のように表わせることが分かります.

(i) a=b のとき,

Z 2dt

(a−b)t²+a+b = 1 a

Z dt

= t a と表わせることが分かります.

(ii) a=−b のとき,

Z 2dt

(a−b)t²+a+b = 1 a

Z dt t²

=−1 at と表わせることが分かります.

(iii) a²−b² = (a+b)(a−b)>0 のとき,

Z 2dt

(a−b)t²+a+b = 2 a+b

Z dt

³qa−b a+b t

´₂ + 1

= 2

a+b

ra+b a−btan⁻¹

Ãra−b a+bt

!

と表わせることが分かります.

(iv) a²−b² = (a+b)(a−b)<0 のとき, R =

ra+b b−a として,

Z 2dt

(a−b)t²+a+b = 1 (a−b)

Z 2dt t²−R²

= 1

(a−b)R

Z µ 1

t−R − 1 t+R

¶ dt

= 1

(a−b)Rlog

¯¯

¯¯t−R t+R

¯¯

¯¯

= 1

(b−a)Rlog

¯¯

¯¯t+R t−R

¯¯

¯¯ と表わせることが分かります.

問2. 直線l は, 点 A= (0,1)を通り, 傾きが t の直線ですから,

y=tx+ 1 (7)

という方程式で与えられることが分かります. また,単位円 C は,

x²+y² = 1 (8)

という方程式で与えられることが分かります. そこで, (7) 式を (8) 式に代入して みると,

x² + (tx+ 1)² = 1 となることが分かりますから,

©(t²+ 1)x+ 2tª

x= 0 (9)

となることが分かります. よって,点 P の座標を,

P = (α, β) とすると, (9) 式から,

α=− 2t

1 +t² (10)

となることが分かります. さらに, (7) 式, (10) 式から, β=tα+ 1

=− 2t² 1 +t² + 1

= 1−t² 1 +t²

となることが分かります. 以上から, 点 P の座標は, P =

µ

− 2t

1 +t²,1−t² 1 +t²

¶

と表わせることが分かります.

「三角関数の有理式の積分」については,「数学IB演習(第9回)の略解: p.1, 2 節 ; p.6, 3節」を参照.