sin と cos の関係

5.3 sin と cos の関係

すでに気づいているかも知れませんが,三角比sin,cos,tanは互いに関連し ています. たとえば,

sinα= a

c , cosβ = a c

ですから, sinα = cosβ となりますが, α+β= 90^◦ の関係から,

sinα= cos(90^◦−α) となります. 同様に,

sinβ = cos(90^◦−β) cosα = sin(90^◦−α) cosβ = sin(90^◦−β) も成り立ちます.

具体的な角度を例にとれば, sin 15^◦ = cos 75^◦ , cos 50^◦ = sin 40^◦ というわけ です. ついでにtanについて考えてみますと,

tanα = a

b , tanβ = b

a ^より

tanβ = 1

tanα = 1

tan(90^◦−β) ^{となります}.

注意 三角比を直角三角形で考えていることから,ここでは 0^◦<

α <90^◦,0^◦< β < 90^◦ です. しかし,あとで学ぶように α , β の角 の大きさに関係なく,どんな角度でも上記の関係が成り立ちます. さて, tanα= a

b ^ですが,右辺を次のように変えてみましょう. a

b = a c b c ここで a

c = sinα , b

c = cosα ですから tanα= sinα

cosα ^{となります}.

この式も, α がどんな角度でも成り立つ大切な式です(ただし, tan が定義さ れないような 90^◦ などは除きます).

5.4 0

, 90

の三角比

これまで用いてきたのは直角三角形でしたから, αやβ が, 0^◦, 90^◦ であるこ とは,ありませんでした. しかし,三角比(三角関数)は0^◦ にも, 90^◦ にも,どん な角度にも対応しています. (直角三角形を用いたのは, あくまでも三角比を初 めて学ぶ者にわかりやすく説明するためだったのです.)

ともかく,ここでは極端な形の直角三角形を考えてみます. α は 0^◦ に近く, β は 90^◦ に近い角度です(α ;0^◦, β ;90^◦ と書きます). 辺の長さは b; c , a;0となっています. そこで

sinα= a c

の値を考えてみると, α が 0^◦ に近づく にしたがい, aはcに比べてますます小 さくなります.

つまり, a

c ^は0にどんどん近づくと考えられます.そこで, sin 0^◦= 0 と考え ることにします.この考え方を用いると, cosα= b

c ^{であることから}, cos 0^◦ = 1 であることも理解できるでしょう.

一方, β が90^◦ に近づくときは bがどんどんc に近づきます. つまり b

c ^は

1 にますます近い値になります. そこで sin 90^◦ = 1 と考えることにします. またこのとき, aは 0にどんどん近

づきますから, a

c ^は0に近づきます. 従って, cos 90^◦= 0 となります.

次に, tan 0^◦ , tan 90^◦ を考えてみま しょう. tanα= a

b ^なので,αが0^◦ に 近くなると, aは限りなく小さく, 0 に 近づきます. 従って, a

b ^は0 に近づき

tan 0^◦ = 0 となります. tanβ = b

a ^で, β が90^◦ に近づくにしたがい, aに対するb の割合がだんだ ん大きくなり, tanβ はやがて巨大な値になってしまいます.

それでは,ここで, 0^◦, 30^◦, 45^◦, 60^◦, 90^◦ の三角比の値を表にしてまとめてお きましょう.

5.4. 0^◦, 90^◦ の三角比 67

θ 0^◦ 30^◦ 45^◦ 60^◦ 90^◦

sinθ 0 1

2

√2 2

√3

2 1

cosθ 1

√3 2

√2 2

1

2 0

tanθ 0

√3

3 1 √

3 なし

この表のように,三角比の値は角θ が具体的に与えられていれば,三角関数表 (後で詳しく出てきます.) によりわかります. また,角θ と一辺の長さがわかれ ば,他の辺の長さを知ることができます.

重要

たとえば, θ,c が与えられて, a , b が未知数のとき a

c = sinθ より a=c sinθ 同様に

b

c = cosθ より b=c cosθ この 2 式もよく使われます.

練習 1. 次に示す 3 つの直角三角形から, sinθ , cosθ , sinα , cosα , tanα , sinβ , cosβ の各値を求めなさい.

練習 2. 次の三角形の a,bの各値を求めなさい.