第 2 章 指数の計算 15
2.5 分数の指数
2.5 分数の指数
ここで, √n
aについて,もう少し別の表し方を考えてみましょう. (√n
a)n=a=a1
であることから,指数法則の(3) (am)n=am×n が成り立つように考えると,
√n
a =an1
と定めればよいことがわかります. なぜなら,このように定めれば (√n
a)n=
an1 n
=an1×n=a1 =a となるからです.
また,上の公式でaをamに置き換えると
√n
am= (am)n1 =am×1n =amn
となるように定めるべきことも納得できるのではないでしょうか. 分数の指数
a >0, m, nを自然数とするとき, an1 = √n
a amn = √n
am
注意 このようにすると,指数が分数のときでも,指数法則がすべ て成り立つことが証明できます.
例 8. √3
10 = 1013
√5
102= 1025
練習 11. 次の数を, amn の形に表しなさい. (1) √4
10 (2) √7
15 (3) √5
34 (4) √3 16 (5) √3
34×√3
35 (6) √3 2×√6
2
練習 12. 体積が125 [cm3]の立方体があります. 一辺の長さaは何[cm]ですか.
コーヒー・ブレーク
√n
a の読み方
√n
aはどのように読むのでしょうか. 英語では「 nth root ofa」と読むよ うです. 直訳すると, 「 a の n 乗根 」となります. しかし, 累乗根のところ で学んだように, √n
a は, a の n 乗根 のうちで実数のものを表す記号ですか ら,「aのn乗根 」と読むのは,誤りです. では,どのように読んだら良いの でしょうか.
実は,他に適当な読み方がないので,習慣的に「n乗根 a」と読んでいるよ うです.
専門科目へのステップ・アップ
「電気・電子系」
電気・電子系の専門学科では,指数を使った数値計算をよく行います. たと えば, 電子の質量や電荷, 電圧, 電流, 抵抗などを求めるとき,トランジスタや 集積回路を用いて信号増幅の値を求めるときなどです. 実用的には, ナノ,マ イクロ,ミリ,キロ,メガなどの接頭語を使って表現しますが,計算は基本単位 にもどり,指数で表現して計算します.
「化学系」
指数計算は, 章末の問題3.や問題6.のような形で頻繁に出てきます. 大学 や会社の研究所でも必ず出てきますので,指数や数値の扱いには慣れておきま しょう.
2.5. 分数の指数 25
問題
問題 1. 直径2.00 [mm]の銅線の長さ1.00 [km]の電気抵抗の大きさはどのくら いの値になるか,計算しなさい. ただし,銅線の抵抗率は, ρ= 1.7×10−8 [Ω·m]
とします.
(一般に,金属の電気抵抗R[Ω]は,長さl[m]に比例し,断面積S [m2]に反比 例します. 長い程, 細い程, 大きな電気抵抗になるということで, R=ρ· l
S [Ω]
の式で与えられます.
S =πr2 [m2] , π = 3.14とします. もちろん半径は,直径の 1
2 倍です.) 解説 普通の銅線は,直径1.0 [mm] もあると,太い線の内に入りま
す. この線が22 [Ω/km] 程度と思えば良いわけですが,よく目にす
るのは,直径0.4〜0.5 [mm] のエナメル銅線で,電話線などによく使 われます. これは 100 [Ω/km] 程度です.
問題2. 太陽から光が地球に達するまでの時間は何秒かかるか計算しなさい. ただ し,光の速度をc= 3.0×108[m/s]とし,太陽と地球の間の距離は l = 1.50×1011 [m]とします.
問題3. 63.5 [g]の銅の中には, 6.02×1023個の原子があります. 密度は, ρ= 8.93 [g/cm3]です. 原子1 個あたりの体積は何cm3 ですか. 3桁まで求めなさい. ( 注: ρ はギリシャ文字で「ロー」と発音します )
解説 水の密度は 4 [◦C] , 1 [気圧]において,およそ 1.00 [g/cm3] です. これより密度の小さい木は水に浮かび, これより密度の大き い金属や石は水に沈みます. 代表的な金属の密度をいくつかあげて みます.
金属名 金 鉄 銀 アルミニウム 銅 密度 [g/cm3] 19.3 7.87 10.5 2.69 8.93
問題 4. 地球の赤道半径は, 6378136 [m]です. これをa×10n ( 15a <10 , nは整数) の形で [km] 単位で表しなさい.
問題 5. 1990年の世界の全人口は5292000 (単位千人), 日本の全人口は123611 (単位千人)です. 日本の全人口は,世界の全人口の何%にあたりますか. これを P.20 の例題1にならって示しなさい.
( 注: 単位千人とは,上記の数に 103 をかけることです. )
問題 6. 電子の質量は9.11×10−31[kg], 陽子の質量は1.67×10−27[kg]です. 陽 子の質量は,電子の質量の何倍になりますか. P.20 の例題1にならって示しな さい.
( 注: 原子は,陽子,中性子,電子で構成されています. )
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