第 8 章 三角関数 115
8.5 弧度法
8.5.1 定義
これまで,角を表す単位は度(◦) を使ってきました. 30◦, 420◦,−130◦ という 具合に表した訳です. これは直角を90◦, 1回転を360◦とする60 分法(または, 度数法)と呼ばれる角の測り方なのです.
さて,ここではもうひとつ別の角の表し 方 (弧度法 ) について考えてみましょう. 半径 r の円周上に, r に等しい長さの 弧 AB (AB_ と書く) をとり,AB_ に対する 中心角 ∠AOB=α とします. 中心角と弧 の長さは比例すること,円周の長さが2π r であることから,
α 360◦ =
_
AB
2π r = r
2π r = 1 2π 従って,
α= 360◦
2π = 180◦
π ; 180◦
3.14 ;57.3◦
この角は円の大きさ(半径の大きさ)に関係なく一定となります. この角αを
「半径(radius)に等しい長さの弧に対する中心角(angle)として角の単位,ラジ
アン (radian)」と定義します. radianは [rad]と表します. 1 [rad] は,約57.3◦ となります. 改めて書くと,
1 [rad] = 180◦ π すなわち, π [rad] = 180◦, 2π [rad] = 360◦ です.
ただし, 一般角を弧度法で表すとき,ラジアン[rad] という単位を省略するの が普通のようです. 逆にいえば,角度で単位がなければラジアンというわけです.
注意 sin 30◦ は30◦ に対するsinですが, sin 30と書けば, 30 [rad]
に対する sinということになります. 練習 7. 次の角をラジアン[rad] で表しましょう.
(1) 30◦ (2) 45◦ (3) 60◦ (4) 90◦ (5) 270◦ (6) 450◦ 練習 8. 次の値を求めましょう.
(1) sin π
6 (2) cos π
4 (3) sin π
2 (4) tan π
3 (5) cos 5π (6) tan − 4
3 π
8.5. 弧度法 121 これまでのように角を60 分法で表して,全く不便がなかったのに,なぜラジ アンを導入するのか,という疑問をもっているかもしれません(初めて学ぶ者に とっては,ラジアンは,なかなかなじめないのも事実です).
実は,これから数学や物理,専門科目を学ぶとき, 60 分法では不便で使用不能 になり,どうしてもラジアンに頼らなければならないことが生じてきます(たと えば,二年・三年の数学で学ぶ三角関数の微分・積分という分野では,角は必ず
[rad] を用います.). それまで楽しみに待っていてください.
コーヒー・ブレーク
なぜ, 直角は 90◦ ?
ものの本によると,古代バビロニア(現在のイラク付近)では,すでに1年を 360 日と考えていたようです. ここから 1 回転 (1周) を360 等分して,その 一つを 1 日にあたるとし,角1◦ の由来にもなりました. つまり, 1 周が 360◦, その 1
4 が直角 (90◦) となった訳です.
また,円周を半径で切っていくと6 回目にもとの周上の点に戻ることは皆さ んもよく知っていることでしょう. 360◦÷6 = 60◦ となり, 60という数字を バビロニアの人たちは非常に大切なものと考えていたようです.
1◦ を60 で割って 10 (分) , つまり 1◦ = 600 , さらに 10 を 60 で割って 100 (秒) , 10 = 6000 , これは現在の時間の単位にもなっているわけです.
8.5.2 弧度法による表現例
同じ量を表すのに 60 分法と弧度法ではどのように違うかを, 例で考えてみ ます.
例 1. 弧の長さ ; l
∠AOB = 1 [rad] , ∠AOC =θ [rad]
とすると, 1 r = θ
l これから, l=r θ . または, l= 2π r× θ
2π より, l=r θ
一方, 60分法で ∠AOC =θ◦ とするときは, l
2π r = θ
360 , ∴ l= π r θ 180 となり,どちらのl の表し方がスマートか,一目瞭然です. 例 2. 扇形の面積 ; S
∠AOB =θ[rad] とすると, S =π r2× θ
2π = 1 2 r2θ これに対し, ∠AOB=θ◦ とすると,
S=π r2× θ
360 = π r2θ 360
ここでも, [rad]による表現の方がすっきり
した形になっています.
上の 2例では,スマートさの違いで済みますが,もっと難しい数学や理工学の 世界では,前にも書きましたが, [rad] でないとどうにもならないことが多数出 てきます. これについては,ここでは触れないでおきます.
コーヒー・ブレーク
[rad] はいつでも省略できる？
先に弧度法のときは[rad]という単位の名称を省略することが一般的である と書きました. しかし,他の単位と組み合わされるときは, [rad]を書きます.
たとえば,角速度[記号 : ω (オメガ) ]は, 1秒(second)当たりの回転角の 大きさです. 時計の秒針なら 60秒で360◦( = 2π [rad] )回転するから,
ω= 2π 60 = π
30 [rad/s]
となります. ( [ s ] はsecond ).
歯車の回転数などでは, [rpm] つまりrevolution per minute ( 1分間当たり の回転数) で表します. これも [rad/s]に換算することができます.
たとえば, 600 [rpm]は,単位を [rad/s] にするといくらになりますか？
8.5. 弧度法 123
専門科目へのステップ・アップ
「機械系」
機械の領域において,三角関数はとても大きなウエイトを占めています. 三 角関数を使うことによって,いろいろなことを予測したり,調べたりできるか らです. ここにこのような力がこんなふうにかかると,全体にどんな影響を及 ぼすのか? といった疑問を解く大切な道具となります. モノを設計し,つくり あげる過程においては,必ずと言っていいほど三角関数が登場し,その手助け となります.
「電気・電子系」
電気・電子系の専門学科では,三角関数を頻繁に使います. 特に交流の電圧・
電流を扱う電気回路の基礎理論の展開には必須ですし,電子回路の特性をとる 実験のときにはオシロスコープで波形を見ながら,きれいな正弦波が発生して いるかを確かめ,周期や位相,周波数を求めたりします.
「化学系」
化学系の専門科目のうち純粋の化学系の内容においては,三角関数を使用す ることはありません. ただし,工学的な視点から化学反応が実際に起こる現場 を理解するには,物質の流れを正しく把握する必要があります. このような場 面で三角関数が必要とされます.
「建築系」
建築系では三角関数はそれほど広範には出てきません. 基本的な直角三角形 の辺の比の値を記憶しておけば概ね事が足ります.
問題
問題 1. 次の角 θの三角関数 ( sinθ , cosθ , tanθ ) の値を求め,第何象限の角 か答えなさい. また, [◦]を[rad]に, [rad]は[◦]に変換してみなさい.
(1) θ=−24◦ (2) θ= 481◦ (3) θ= 4
3 π [rad]
(4) θ=− 13
4 π [rad] (5) θ=
3− 7 6
π [rad]
問題 2. 次の条件のとき, θ の値,および次の三角関数の値を求めなさい(ただ し 0◦ 5θ <360◦ とする).
(1) θが第2象限の角でsinθ=
√3
2 のとき, cosθ とtanθ (2) θが第4象限の角でcosθ= 0.4226のとき, sinθ とtanθ
問題 3. y= sin 2θ ( 0◦ 5θ5360◦ ) の表とグラフを描きなさい. θ 0◦ 15◦ 30◦ 45◦ 60◦ 75◦ 90◦ 105◦ sin 2θ 0
θ 120◦ 135◦ 150◦ 165◦ 180◦ 195◦ 210◦ 225◦ sin 2θ
θ 240◦ 255◦ 270◦ 285◦ 300◦ 315◦ 330◦ 345◦ 360◦ sin 2θ
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