moment 展開

ではこの散逸係数(2.302)、(2.303)、(2.304)の非相対論的極限、超相対論的極限でどう なるかを見てみよう。まず非相対論的極限ζ À1はセクション2.2.4と同様にベッセル関 数の漸近展開を用いると次のようになる。

µ' 25 256σ

rmT π

1 ζ²

µ

1− 183 16

1 ζ +· · ·

¶

(2.305) κ' 75

256mσ rmT

π µ

1 + 13 16

1 ζ +· · ·

¶

(2.306) η' 5

64σ rmT

π µ

1 + 25 16

1 ζ +· · ·

¶

(2.307) この式より最低次は非相対論の表式になっていることがわかる。更にbulk viscosityは非 相対論的極限で消えることが分かる。

同様にして超相対論的極限ζ ¿1では次のようになる。

µ' 1 288π

T σζ⁴

· 1 +

µ49

12 + 76 lnζ 2 + 6γ

¶ +· · ·

¸

(2.308) κ' 1

2πσ µ

1− 1

4ζ²+· · ·

¶

(2.309) η' 3

10π T σ

µ 1 + 1

20ζ²+· · ·

¶

(2.310) 非相対論的極限の場合と同様にこの極限でもbulk viscosityは消えることが分かる。

式(2.313)の中の量は次のように定義される。

T^µνρ ≡

Z d³p

p⁰ p^µp^νp^ρf (2.314)

P^νρ ≡ 1 2

Z d³p p⁰

d³p1

p⁰₁ (p^0νp^0ρ+p^0ν₁ p^0ρ₁ −p^νp^ρ −p^ν₁p^ρ₁)f f₁p_µp^µ₁v_relσ (2.315) これらの方程式はn, u^µ, T,Π, p^µν, q^µが14個のmomentの時間発展を記述する方程式を 全て含んでいる。ところがT^µνρ は14-moment より高次のmomentも含んでしまってい るので、必要なmomentだけを抜き出してやらなければならない。そこで分布関数f を 14-momentのみが含まれる形で求めてそのf を用いてT^µνρ を計算しよう。

u^µ の静止系でのエントロピー密度をs とすると、セクション2.2.1からf を用いて次 のように表される。

s≡ −u^µ n

Z d³p

p⁰ pµf(lnf −1) (2.316) 14-momentを残すために次の14個のconstraintを課そう。

N^µuµ=uµ

Z d³p

p⁰ p^µf (2.317)

T^µνuµ=uµ

Z d³p

p⁰ p^µp^νf (2.318)

T^hµνiρu_ρ =u_ρ

Z d³p

p⁰ p^hµp^νip^ρf (2.319) 本来N^µとT^µν に全てのmomentが含まれているのでそれをconstraintとして課せばよ いのだが、計算が煩雑になり導出される式は上のconstraint から得られる式と同じなの でこの論文ではこちらを課して考える。

ここで次の関数を考える。

F =−u^µ n

Z d³p

p⁰ pµf(lnf −1) +λ µ

N^µuµ−uµ

Z d³p p⁰ p^µf

¶

(2.320) +λν

µ

T^µνuµ−uµ

Z d³p p⁰ p^µp^νf

¶

+λhµνi

µ

T^hµνiρuρ−uρ

Z d³p

p⁰ p^hµp^νip^ρf

¶

この関数をf について変分すると、エントロピー増大側より14-moment以外のmoment は全て減衰した分布関数f が得られる。Euler-Lagrange方程式を解くとf は次のように 求まる。

f = exp h

−n(λ+λµp^µ+λ_hµνip^hµp^νi) i

(2.321) この14個のλ、λµ、λ_hµνiには考えたい14個のmomentが含まれている。そこでこれら を次のように平衡部分と非平衡部分に分離する。

λ =λ^E+λ^{N E}, λµ=λ^E_µ +λ^{N E}_µ , λ_hµνi =λ^{N E}_hµνi (2.322)

するとf は次のように書ける。

f = exp£

−n(λ^E+λ^E_µp^µ)¤

×exp h

−n(λ^{N E} +λ^{N E}_µ p^µ+λ^{N E}_hµνip^hµp^νi) i

(2.323) 第一項は平衡部分なので局所平衡分布f0 であり、さらに今平衡に近い場合を考えるとし て非平衡部分のmomentは1より非常に小さいとするとf は次のように展開できる。

f =f₀n

1−n(λ^{N E} +λ^{N E}_µ p^µ+λ^{N E}_hµνip^hµp^νi)o

(2.324) λ^{N E}_µ 、λ^{N E}_hµνiをu^µを用いて次のように分解しよう。

λ^{N E}_µ = ˜λu_µ+ ˜λ_νγ_µ^ν (2.325)

λ^{N E}_hµνi= Λu_µu_ν + 1

2Λ_ρ(γ_µ^ρu_ν +γ_ν^ρu_µ) + Λ_ρσ µ

γ_µ^ργ_ν^σ − 1

3γ^ρσγ_µν

¶

(2.326) 以上より分布関数f は次のようになる。

f =f₀n

1−nλ^{N E} −n(˜λu_µ+ ˜λ_νγ_µ^ν)p^µ (2.327)

− n

·

Λu_µu_ν + 1

2Λ_ρ(γ_µ^ρu_ν +γ_ν^ρu_µ) + Λ_ρσ µ

γ_µ^ργ_ν^σ − 1

3γ^ρσγ_µν

¶¸

p^hµp^νi)

¾

このf からΠq^µp^hµνiを求めよう。まずf を次の四元粒子流束の定義式に代入する。

N^µ =

Z d³p

p⁰ p^µf =

Z d³p

p⁰ p^µf0 (2.328)

得られたN^µにu^µとγ_ν^µ を作用させると次の二つの式が得られる。

λ^{N E} + ˜λm µ

G− 1 ζ

¶

+ Λm² µ

1 + 3G ζ

¶

= 0 (2.329)

˜λµγ^µν +mGΛµγ^µν = 0

同様にして式(2.327)をT^µν の定義式に代入する。得られた T^µν をセクション2.2.5 のように分解すると次のような式が得られる。

p^hµνi =−2n²m²TG

ζΛ^hµνi (2.330)

Π = −n²T

·

λ^{N E} +Gmλ˜+ µ

1 + 5G ζ

¶ m²Λ

¸

q^µ =n²T

·

Gmγ^µν˜λν + µ

1 + 5G ζ

¶

m²γ^µνΛν

¸

λ^{N E} µ

G− 1 ζ

¶ + ˜λm

µ 3G

ζ + 1

¶

+ Λm² µ

15G ζ² + 2

ζ +G

¶

= 0

以上で14個の式(2.329)、(2.330)が得られ、これらの式を解くことで14個の未定係数が 全て巨視的な量で表される。これらを代入すると求めたい分布関数f は次の形になる。

f =f₀

½

1 +α₀Π P

µ

α₁+α₂u_µp^µ+ ζ

m²u_µu_νp^µp^ν

¶

(2.331) + α3

q_µ P

µG

mp^µ− 1

m²uνp^µp^ν

¶

+ p_hµνi P

ζ

2Gm²p^µp^ν

¾

係数は次のように与えられる。

α0 = 1−5Gζ−ζ²+G²ζ²

20G+ 3ζ−13G²ζ−2Gζ²+ 2G³ζ² (2.332) α₁ = 15G+ 2ζ−6G²ζ+ 5Gζ²+ζ³−G²ζ³

1−5Gζ−ζ²+G²ζ² α2 = 3ζ

m

6G+ζ−G²ζ 1−5Gζ −ζ²+G²ζ² α3 = ζ

ζ+ 5G−G²ζ

このf を用いて散逸項の発展方程式を導こう。まずT^µνρ、P^µν は次のように計算で きる。

T^µνρ = (nC1+C2Π)u^µu^νu^ρ+ 1

6(nm²−nC1 −C2Π)(η^µνu^ρ+η^µρu^ν +η^νρu^µ) (2.333) +C₃(η^µνq^ρ+η^µρq^ν +η^νρq^µ)−6C₃(u^µu^νq^ρ+u^µu^ρq^ν +u^νu^ρq^µ)

+C4(p^hµνiu^ρ +p^hµρiu^ν +p^hνρiu^µ)

P^µν =B1(η^µν −4u^µu^ν) Π +B2(u^µq^ν +u^νq^µ) +B3p^hµνi (2.334) 係数Ci は次のように与えられる。

C1 = m²

ζ (ζ + 6G) (2.335)

C2 =−6m ζ

2ζ³−5ζ + (19ζ²−30)G−(2ζ³−45ζ)G²−9ζ²G³ 20G+ 3ζ−13G²ζ−2ζ²G+ 2ζ²G³

C₃ =−m ζ

ζ + 6G−G²ζ ζ + 5G−G²ζ C4 = m

Gζ(ζ+ 6G)

またB_iは散乱断面積に関係する量で、セクション2.2.7でも現れたI_i を含む。

B1 =− ζ 3m²P

(1−ζ²−5ζG+ζ²G²)I1

20G+ 3ζ −13G²ζ−2ζ²G+ 2ζ²G³ (2.336) B2 = ζ

3m²P

I1−I2

ζ+ 5G−ζG² B₃ = ζ

30m²P

2I1−6I2+ 3I3

G

以上により得られた結果を発展方程式(2.313)に代入すれば求めている式が得られる。

ここで散逸項の時間微分を除いた二次の量、つまり散逸項と勾配量の二次の項を落とす と、次のような式になる。

C2

2 DΠ + 1

2(m²+C1)Dn− ζ

2TnC₁⁰DT −5C3∇^µqµ (2.337) +1

6(nm²+ 5nC1)∇^µuµ=−3B1Π 5C3Dq^µ− 1

6

·

(m²−C1)∇^µn+ ζ

T nC₁⁰∇^µT −C2∇^µΠ

¸

−C4∇νp^hµνi (2.338)

−1

6(nm²+ 5nC1)Du^µ =−B2q^µ C4Dp^hµνi+ 2C3∇^hµq^νi+ 1

3(nm²−nC1)∇^hµu^νi =B3p^hµνi (2.339) この式で⁰ はζ に関する微分を表す。最後に式(2.337)、(2.338)に含まれるDn、Du^µ、 DT を消すために次の流体方程式を代入する。

Dn+n∇^µuµ= 0 (2.340)

nhEDu^µ =∇^µ(P + Π)− ∇νp^hµνi−Dq^µ ncVDT =−P∇µu^µ− ∇µq^µ

すると式(2.337)、(2.338)は次のようになる。

C2

2 DΠ− n

2(m²+C1)∇^µuµ+ ζ 2T

C₁⁰

ζ²+ 5ζG−ζ²G²−1(∇^µqµ+P∇^µuµ) (2.341)

−5C3∇^µqµ+ 1

6(nm²+ 5nC1)∇^µuµ =−3B1Π 5C3Dq^µ− 1

6

·

(m²−C1)∇^µn+ ζ

T nC₁⁰∇^µT −C2∇^µΠ

¸

−C4∇νp^hµνi (2.342)

− 1

6nh_E(nm²+ 5nC1) h

∇^µ(P + Π)− ∇νp^hµνi−Dq^µ i

=−B2q^µ

以上により得られた式(2.339)、(2.340)、(2.341)、(2.342)が14-moment展開の基礎方程 式である。非相対論の場合と同様に、式(2.339)、(2.341)、(2.342)はそれぞれp^hµνi、Π、 q^µの発展方程式になっている。なお式(2.339)、(2.341)、(2.342)においてp^hµνi、Π、q^µ

の緩和が十分進み、これらの時間微分と勾配を0とおくとChapman-Enskogの一次の展 開から得られた散逸項が得られることに注意せよ。

ドキュメント内 BGK (ページ 62-67)