第 3 章 運動論的方程式の線形摂動 61
3.3 相対論的 Boltzmann 方程式 − Anderson-Witting 流の取り扱い
3.3.4 Discussion
shear flowは減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確認でき る。またshear flowはζ に関係なく同じような振る舞いをしていて、修正されたMarle のBGKモデルの場合と同様にして非相対論的な極限ζ = 100で、セクション3.1.3の非 相対論のBGKモデルの結果をきちんと再現できていることがわかる。
なおshear flowに関しては非相対論的なモードに関しては運動論的なモードが得られ
ており、次のようになる。
0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.40 ζ = 100のshear flowの運動論的なモードの減衰率
0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
Re (ωτ)
wave number k τ c
図3.41 ζ = 0.01のshear flowの運動論的なモードの振動数
このようにmoment展開が予言するような減衰率の減少は見られないことが分かる。
めたときに静止系で考えていたので、求まった緩和過程はエネルギー流速の静止系でみ た現象になっている。分散関係についてはセクション 3.3.3 でみた通り長波長部分では
Chapman-Enskog展開から予想される通りになっており関数系としてエネルギー流束静
止系特有のものは見えていない。エネルギー流速静止系の効果はk2 の係数にあたる散逸 係数や短波長領域の振る舞い表れると考えられるため、もう一つの有名なBGKモデルで
あるMarleのモデルの結果と比較しよう。
なお今回用いた Anderson-Witting の BGK 近似は ζ の大きい極限では非相対論の BGK モデルと一致するべきであり、確かにセクション3.3.3において ζ = 100の分散 関係では粘性と熱伝導の減衰率は一致している。これは本来のボルツマン方程式では起 こらない非相対論のBGKモデルを用いたことによる効果であり、Anderson-Wittingの BGKモデルはζ が大きい極限で非相対論のBGKに帰着できることを示している。また ζ が大きくなると粘性と熱伝導の減衰率が一致しなくなってくることも見て取れ、相対論 的極限では衝突項の固有値が非相対論の固有値の振る舞いとは異なってくることを示唆し ている。
moment展開の結果との比較
今回の計算では流体力学的なモードである熱伝導、減衰音波、shear flow のみを求め た。ところで moment展開では粘性や熱伝導が自由度を持つ結果としてk = 0でn6= 0 から始まる運動論的なモードが現れる。今回の解析では運動論的なモードは非相対論的
な場合の shear flowについてのみしか求めなかったが確かに存在することは分かった。
一方相対論的な流体力学における散逸の取り扱いで、因果律を満たし安定な理論として Israel-Stewart の理論 [4] が有名だが、この理論は基本的に相対論的なmoment 展開を 扱っていることになっている。今回の解析からIsrael-Stewartの散逸理論の流体力学的な モードは、Landau-Lifshitz速度の静止系でも長波長では十分良い近似になっていること がわかる。しかし moment展開の特徴である運動論的なモードと流体力学的なモードの
coupleはnが1/τ より小さい範囲で起きるという予言については今回の結果は否定的で、
修正されたMarle のBGKモデルの場合と同様に運動論的なモードとのcoupleはnが 1/τ より大きい範囲で起き、運動論的なモードもk が大きくなるに従い減衰率 nは大き くなっていくことを示している。このことは短波長に行くに従い減衰率は大きくなるとい う物理的直観にも反さない。このことよりIsrael-Stewartの散逸理論はLandau-Lifshitz 速度の静止系でも長波長部分では運動論的なモードの存在も含めてよい近似になっている が、短波長領域に行くに従い精度が悪くなり、運動論的なモードとのcoupleが近づくに つれてボルツマン方程式とは異なる振る舞いをすると結論できる。
MarleのBGKモデルとの比較
最後にセクション3.2.4の修正されたMarle のBGKモデルの結果を比較しよう。今 回のAnderson-WittingのBGKモデルはLandau-Lifshitz速度の静止系という、エネル ギー流速の静止系で分散関係を求めたことになっているが、Marle のBGKモデルでの
Eckart速度の静止系である流体粒子の静止系で計算した分散関係とは、定性的には大き
な違いがみられないことが分かる。またどちらも非相対論的な極限であるζ = 100では セクション3.1.3の非相対論的なBGKモデルを再現し、減衰音波モードは位相速度が光 速を超えるようになる。この問題はより原理的な式であるボルツマン方程式では付録 C の議論から起こりえないことがわかるので、明らかにBGKモデルの近似の精度の問題で あることがわかる。