Result

−ωζ/k を掛けた式と式(3.83)を加えると確かに連続方程式−iωδn+ik·δu = 0となる ことからも確かめられる。

δρ、δu、δT が解を持つ条件として行列式を計算すると求める分散関係式が得られる。

この分散関係式により求まったω を用いて固有関数δρ、δu、δT を求めれば、δf は次の ようにして解が得られる。

δf(v) =X

n

C_nf¯₀(v) 1−

³

iω+ik· _p^p0

´K1z K2ζ

(3.86)

×

·δn_ωn n0 +

µ

−1 + p⁰ T0 + K₂⁰

K2ζ0

¶ δT_ωn

T0 − p·δu_ωn T0

¸

e^{−i(ωnt+k·x)}

ここでCn は定数係数である。

最後に式(3.78)が不成立の場合を考えよう。この場合振動数 ω が連続変数p_x に依存

するためcontinuous modeになっている。この場合はCercignani [40]の論文にコメント されているように、セクション3.1.6と同様にして

δf =δf1+DδD

µ 1−

µ

iω+ik· p p⁰

¶ K1z K₂ζ

¶

(3.87) の形を考え、式(3.74)を満たすようにδf1 を決めたものが固有関数になる。

1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.16 ζ = 100の熱伝導の減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.17 ζ = 1の熱伝導の減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.18 ζ = 0.01の熱伝導の減衰率

これらは減衰率を描いた図で、Chapman-Enskog展開が予言するように長波長部分では 減衰率がk²に比例する。また短波長になるに従いk²からずれてきて、Chapman-Enskog 展開が短波長領域で近似が悪くなっていることも見て取れる。分散関係は全て純虚数であ り、伝播することなく純粋に減衰するモードになっている。

ζ = 100に関してはセクション3.1.3で得られた非相対論の場合の熱伝導の分散関係と

同様なものが得られており、修正されたMarle のBGKモデルがきちんと非相対論的な 極限で非相対論の BGKモデルを再現することを確認できる。波数k の違いは規格化の 違いから現れるもので、非相対論の場合と合わせるにはζ = 100の分散関係の図の横軸k の値を∼√

ζ で割ればよい。ζ = 1、0.01については数値計算の精度が悪くなってきたと ころで計算を止めている。

次に減衰音波を表すモードはζ = 100、1、0.01で次のようになる。

0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10 100

Re (ωτ)

wave number k τ c

図3.19 ζ = 100の減衰音波の振動数

0.001 0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.20 ζ = 1の減衰音波の振動数

0.001 0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Re (ωτ)

wave number k τ c

図3.21 ζ = 0.01の減衰音波の振動数

1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.22 ζ = 100の減衰音波の減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Re (ωτ)

wave number k τ c

図3.23 ζ = 1の減衰音波の減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.24 ζ = 0.01の減衰音波の減衰率

これらは全てω が実数部分と純虚数部分をもっており、撹乱が伝播できる減衰音波の モードを表していると考えられる。振動数と減衰率は全てのζ で同様の振る舞いをしてい ることがわかる。

ζ = 100はセクション3.1.3 で得られた音波モードをきちんと再現できている。また

ζ = 1、ζ = 0.01ではk = 10付近で位相速度が光速を超えてしまう。これは付録Cから 真のボルツマン方程式の分散関係では現れないはずのもので、この波数でBGK近似が悪 くなっていると考えられる。そのためこの論文ではこの波数で計算をやめている。

最後にshear flowについてはζ = 100、1、0.01で次のようになる。

1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.25 ζ = 100のshear flowの減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.26 ζ = 1のshear flowの減衰率

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

0.01 0.1 1 10 100

damping rate n τ

wave number k τ c

図3.27 ζ = 0.01のshear flowの減衰率

shear flowは減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確認で きる。またshear flowはζ に関係なく同じような振る舞いをしていて、非相対論的な極 限ζ = 100で、セクション3.1.3の非相対論のBGKモデルの結果をきちんと再現できて いる。