第 3 章 運動論的方程式の線形摂動 61
3.3 相対論的 Boltzmann 方程式 − Anderson-Witting 流の取り扱い
3.3.3 Result
されているように、セクション3.1.6、セクション3.2.3と同様にして δf =δf1+DδD
µ
1−iω+ik· p p0
¶
(3.120) の形を考え、式(3.107)を満たすようにδf1 を決めたものが固有関数になる。
1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.28 ζ = 100の熱伝導の減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
0.01 0.1 1 10
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.29 ζ = 1の熱伝導の減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
0.01 0.1 1 10
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.30 ζ = 0.01の熱伝導の減衰率
これらは熱伝導の減衰率を描いた図で、Chapman-Enskog 展開が予言するように長 波長部分では減衰率が k2 に比例する。また短波長になるに従い k2 からずれてきて、
Chapman-Enskog 展開が短波長領域で近似が悪くなっていることも見て取れる。また
得られたモードは全て純虚数であり、伝播はせず純粋に減衰するモードを表している。
ζ = 1、0.01については数値計算の精度が悪くなってきたところで計算を止めている。
ζ = 100に関してはセクション3.1.3で得られた非相対論の場合の熱伝導の分散関係と
同様なものが得られており、Anderson-WittingのBGKモデルがきちんと非相対論的な 極限で非相対論の BGKモデルを再現することを確認できる。波数k の違いは規格化の 違いから現れるもので、非相対論の場合と合わせるにはζ = 100の分散関係の図の横軸k の値を∼√
ζ で割ればよい。
次に減衰音波を表すモードはζ = 100、1、0.01で次のようになる。
0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
Re (ωτ)
wave number k τ c
図3.31 ζ = 100の減衰音波の振動数
0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
Re (ωτ)
wave number k τ c
図3.32 ζ = 1の減衰音波の振動数
0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
Re (ωτ)
wave number k τ c
図3.33 ζ = 0.01の減衰音波の振動数
1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.34 ζ = 100の減衰音波の減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.35 ζ = 1の減衰音波の減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.36 ζ = 0.01の減衰音波の減衰率
これらは全てω が実数部分と純虚数部分をもっており、撹乱が伝播できる減衰音波の モードを表していると考えられる。振動数と減衰率は全てのζ で同様の振る舞いをしてい ることがわかる。
ζ = 100はセクション3.1.3 で得られた音波モードをきちんと再現できている。また
ζ = 1、ζ = 0.01ではk = 10付近で位相速度が光速を超えてしまう。これは付録Cから 真のボルツマン方程式の分散関係では現れないはずのもので、この波数でBGK近似が悪 くなっていると考えられる。そのためこの論文ではこの波数で計算をやめている。
最後にshear flowについてはζ = 100、1、0.01で次のようになる。
1e-07 1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.37 ζ = 100のshear flowの減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.38 ζ = 1のshear flowの減衰率
1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.39 ζ = 0.01のshear flowの減衰率
shear flowは減衰項のみが得られ、希薄気体中では縦波のみが伝播することを確認でき る。またshear flowはζ に関係なく同じような振る舞いをしていて、修正されたMarle のBGKモデルの場合と同様にして非相対論的な極限ζ = 100で、セクション3.1.3の非 相対論のBGKモデルの結果をきちんと再現できていることがわかる。
なおshear flowに関しては非相対論的なモードに関しては運動論的なモードが得られ
ており、次のようになる。
0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
damping rate n τ
wave number k τ c
図3.40 ζ = 100のshear flowの運動論的なモードの減衰率
0.001 0.01 0.1 1 10 100
0.01 0.1 1 10 100
Re (ωτ)
wave number k τ c
図3.41 ζ = 0.01のshear flowの運動論的なモードの振動数
このようにmoment展開が予言するような減衰率の減少は見られないことが分かる。