面圧依存性，速度依存性評価式のパラメータ設定 -

②回帰分析方法

まず，回帰分析に関する一般的な事項を以下に整理する。

回帰分析は，2 変数間の変動傾向または関係を求めるために用いる統計処理方法の一つである。最も単純なモデルは，線形モデルであり，従属変数と独立変数は直線の関係となる。しかし，データによっては，非線形の関係となる場合があり，このときには重回帰分析によって，幾つかの変数を予測することになる。

1)線形回帰

変数xとyの相関を線形とし，y=α+βxと表す（ここで，α，βは定数）。

これに対し，最小二乗法の考え方に準じ，観測値y_iと直線y_i^' =α+βx_iとの差y_i−y_i^' に着目して，

二乗誤差の和

∑ ( ) ∑ ( )

= − = − −

= ⁿ

i i i

n i

' i

i y y x

2 1

2 2 α β

Δ が最小となるα，βを求める。

このとき，α，βは以下の式により与えられる。

x y β α= −

( )( )

( )

2 1

1 2 2 1

x xy n

i i

i i i

i i

i i i

S S x

y y x x x

n x

y x n y

x =

−

= −

−

= −

∑

β =

ここで，x,yはそれぞれの平均値，nはデータ数，S_xyは変数x，yの共分散，S_x²はxの分散を示す。

また，ばらつきの指標として，この直線周りでの分散（条件付き分散）を求めると，

( ) ( )

_^

 − − −

= −

∑ ∑

= =

n i

i i

i y x x

n y S n

1 1

2 2 2 2

2 1

2 β

により与えられる。

決定係数r²およびYの標本分散S_Y²は，

2 2

2 1

r = − S ，

∑ ( )

= −

= − ⁿ

i i

Y y y

S n

2 2

1 1

により求めることができる。

2)重線形回帰

観測値yを特定するための変数が 2 つ以上ある場合の回帰方法であり，対象となる従属変数yを m個の変数x1，x2，・・・，xmの一次関数で表記する。

m mx x

y=β0+β1 1+β2 2+L+β ここで，

(

x x

)

(

xm xm

)

y=α+β1 1− 1 +L+β − と置き換えて，前述と同様な解法によると，

( ) [ ( ) ( ) ]

1 1 1 1

2 ∑ 2 ∑

−

= ⁿ

i i i m mi m

n i

' i

i y y x x x x

y α β β

Δ L

これを最小とする条件は，

=y α

(

x₁_i−x₁

)

²+ ₂

(

x₁_i−x₁

)(

x₂_i−x₂

)

+ + _m

(

x₁_i−x₁

)(

x_mi−x_m

) (

= x₁_i−x₁

)(

y_i−y

)

1Σ βΣ βΣ Σ

β L

．．．

(

^xmi−^xm

)(

^xi−^x

)

+βΣ

(

^xmi−^xm

)(

^xi−^x

)

+ +βmΣ

(

^xmi−^xm

)

=Σ

(

^xmi−^xm

)(

^yi−^y

)

β₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ L ²

となる。

上記の m 元連立一次方程式を解くことにより，βmを求めることができ，β0 に関しては，

m mx

x β

β α

β0= − 1 1−L− により求まる。

また，分散は下式により与えられる。

2 2

−

= − m

S n Δ

3)非線形回帰

独立した任意の関数を含む場合の回帰について，

y=α+βg

( )

を，ここで，x^' =g

( )

x とおくと，

y=α+β

となり，これは，線形回帰の問題に帰着させることができる。

以上の手法を参考に，下記に用いられている 4 つのパラメータの回帰分析方法を考える。

( )

^σ^,^v ^A^σ^B

(

^e^Dv

)

^C^σ^B^e^Dv

μ = 1− +

( )

σ,v

μ のモデルを観測値yiから回帰分析により求めるためにはσ，vの 2 つの変数を有するため先に示した重回帰分析が必要となる。しかしながら，本モデル式では独立した変数への置換が困難であるため，ここでは回帰分析を 2 段階に分割して，下記のような手法によりパラメータの設定を考えることとした。

a)面圧依存性の回帰

( )

^σ ^Aσ^B

μ = に着目し，面圧依存性の特性を定めるパラメータA，Bを求める。

なお，このときに使用するデータは可能な限り同程度の加振速度による観測値を対象とし，また，

後述する速度依存性に関する回帰において，一定値に収束する速度レンジによるものとする必要がある。

b)速度依存性の回帰

( )

^σ^,^v ^A^σ^B

(

^e^Dv

)

^C^σ^B^e^Dv

μ = 1− + の式を上記 a)をふまえてパラメータC，Dの回帰を行う。

ここでは，面圧条件を同一に設定して回帰を行うことが原則となる。

③回帰例（任意サンプルによる回帰計算例）

a)面圧依存性の回帰

( )

σ Aσ^B μ =

のモデルに対する回帰を行うため，非線形回帰の手法から式の展開を考える。

まず，両辺の自然対数をとると，

( )

^σ

(

^σ

)

^σ

μ log A logA Blog

log = ^B = +

となり，ここで，X =logσ，Y=logμ

( )

σ，α=logA，β=Bとおけば，

X Y=α+β

と表現でき，（μ,σ）の非線形回帰は（Y，X）の線形回帰に帰着する。

＜計算例＞ ※xi：面圧σ，yi：摩擦係数μ（観測値），( )付き変数：各変数の平均値を示す ※下表は同一の速度条件となる載荷実験のデータ

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

(Xi-(X))

*(Yi-(Y))

1 5 0.148 1.609 -1.912 -0.774 0.600 0.168 -0.130 0.0004 0.155 -0.007 0.0000

2 20 0.108 2.996 -2.228 0.612 0.374 -0.149 -0.091 0.0004 0.106 0.002 0.0000

3 20 0.109 2.996 -2.215 0.612 0.374 -0.136 -0.083 0.0003 0.106 0.003 0.0000

4 3 0.168 1.099 -1.784 -1.285 1.652 0.295 -0.379 0.0016 0.178 -0.010 0.0001

5 5 0.167 1.609 -1.790 -0.774 0.600 0.289 -0.224 0.0015 0.155 0.012 0.0001

6 5 0.156 1.609 -1.857 -0.774 0.600 0.222 -0.172 0.0008 0.155 0.001 0.0000

7 5 0.150 1.609 -1.895 -0.774 0.600 0.185 -0.143 0.0005 0.155 -0.004 0.0000

8 8 0.130 2.079 -2.037 -0.304 0.093 0.042 -0.013 0.0000 0.136 -0.006 0.0000

9 10 0.147 2.303 -1.917 -0.081 0.007 0.163 -0.013 0.0004 0.128 0.019 0.0004

10 10 0.150 2.303 -1.898 -0.081 0.007 0.182 -0.015 0.0005 0.128 0.022 0.0005

11 10 0.116 2.303 -2.157 -0.081 0.007 -0.077 0.006 0.0001 0.128 -0.012 0.0001

12 20 0.110 2.996 -2.208 0.612 0.374 -0.128 -0.079 0.0003 0.106 0.004 0.0000

13 20 0.110 2.996 -2.206 0.612 0.374 -0.127 -0.077 0.0003 0.106 0.004 0.0000

14 30 0.087 3.401 -2.445 1.017 1.035 -0.366 -0.372 0.0017 0.095 -0.008 0.0001

15 30 0.087 3.401 -2.447 1.017 1.035 -0.368 -0.374 0.0017 0.095 -0.008 0.0001

16 5 0.146 1.609 -1.926 -0.774 0.600 0.154 -0.119 0.0003 0.155 -0.009 0.0001

17 20 0.104 2.996 -2.261 0.612 0.374 -0.182 -0.111 0.0005 0.106 -0.002 0.0000

18 20 0.106 2.996 -2.248 0.612 0.374 -0.168 -0.103 0.0005 0.106 0.000 0.0000

合計 246 2.298 42.910 -37.431 0.000 9.079 0.000 -2.493 0.012 Δ²= 0.00161

(x) (y) (X) (Y)

平均値 14 0.128 2.384 -2.080

yi-yi' (yi-yi')² (Xi-(X))² Yi-(Y) (yi-(y))² yi'

No. xi yi X=log(xi) Y=log(yi) Xi-(X)

前出の計算式から，

よって，Y =−1.4250−0.2746Xを得る。

したがって，

( )

^σ ^σ

μ . . log log =−14250−02746

( )

σ=e⁻¹^.⁴²⁵⁻⁰^.²⁷⁴⁶^log^σ=0.241σ⁻⁰^.²⁷⁵ 以上から，

となる。

※S²：条件付き分散，S：条件付き標準偏差，Sy²：yの標本分散，r²：決定係数 β= -0.2746

α= -1.4250

A= 0.241 B= -0.275

0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200

0 10 20 30 40

±2Sの範囲

S²= 0.0001 S = 0.0100 Sy²= 0.0007 r²= 0.857

b)速度依存性の回帰

^μ

( )

^σ^,^v ⁼^A^σ^B

(

¹⁻^e^Dv

)

⁺^C^σ^B^e^Dv

のモデルに対する回帰を行うため，非線形回帰の手法から式の展開を考える。

まず，取り扱うデータを一定の面圧条件（ここではσ=20N/mm²）に限定し，上記 a)の結果をふまえると，

a=Aσ^B=0.1057，b=σ^B=0.4387

が得られ，これらは定数となり既知である。このことから速度vに着目した形で，

^μ

( )

^v ⁼^a

(

¹⁻^e^Dv

)

⁺^Cbe^Dv ⁼^a⁺

(

^Cb⁻^a

)

^e^Dv

と与えられる。（残りの未知のパラメータはC，Dの 2 つ）

しかしながら，上記の回帰式はその構成上，通常の手法では線形化することができない。そこで，

下記に示すような「収束計算による手法」によりパラメータの同定を考える。

まず，回帰を行うための式の整理として，

( )

v,x v,D ,M Cb a

y=μ = =α+β = − およびY =y−a−Be^α^x,X =Mxe^α^xとおくと，

( )^x ^a ^Me ^x^e ^x ^a ^M

(

)

^e ^x

e M a

y= + × ^α⁺^β = + ^α ^β = + 1+β ^α

x Mxe

a+ ^α +β ^α

x Mxe

Me a

y− − ^α =β× ^α

と変換でき，これにより「Y=β×X 」の線形回帰に帰着できる。

注）上記の展開では，

α：パラメータDを得るための変数（収束計算による結果を代入するための変数）

β：収束計算の過程に生じる真値Dに対する誤差を表す係数として導入しており，また，e^β^xの展開では，

+L + + +

= !

! x x e^x

3 1 2

3 2

となり，特にx≈0であればe^x =1+xと近似できることを利用して誘導を行っている。（βは誤差を表す数値であるため，収束計算後の最終的な回帰結果を得るときには十分に小さくなっていると考えられる。したがって，x≈0の仮定が成立する。）

次に，実際に 2 つの未知数のC（→M =Cb−a），D（→D=α+β）を求めるため，まずCを実験データの分布からある値に仮定する（これは任意でよい）。その上で，Dを同定するために回帰分析を行い，誤差βがゼロ（付近）となるまでαを更新しながら計算を反復させ，収束後の決定係数 r²を記録する。r²が十分に大きくない場合は仮定値Cを変更して同様な操作を繰り返し行うと，C に対するr²の相関図が得られる。これは，無数にあるCとDの組み合わせの中で回帰結果の残差が最小となる時にr²は極値として最大値を取ることになるため，これを最終的なパラメータの同定結果として採用するものとする。

なお，ここでの回帰は「Y=β×X 」となる切片のないモデルである。

このときのβの算出法は，先と同様に残差の平方和を最小とする条件として，

( ) ∑ ⁽ ⁾

∑

= − = = −

= ⁿ

i i i

n i

' i

i y y x

2 1

2 2 β

Δ から，

∑

= =_n

i i

i i i

x y x

1 2

β 1

により得られる。

＜計算例＞ ※xi：速度v，yi：摩擦係数μ（観測値），( )付き変数：各変数の平均値を示す ※下表は面圧条件を 20N/mm²として行った載荷実験のデータ

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

1 0.5 0.055 0.0 -0.002 0.001 0.000 0.001 0.057 -0.002 0.000 2 0.6 0.055 0.0 -0.002 0.001 0.000 0.001 0.057 -0.002 0.000

3 1.0 0.061 0.0 0.002 0.002 0.000 0.000 0.059 0.002 0.000

4 5.0 0.082 -0.1 0.006 0.022 -0.001 0.000 0.076 0.006 0.000 5 8.0 0.083 -0.2 -0.002 0.029 0.000 0.000 0.085 -0.002 0.000 6 10.0 0.091 -0.2 0.002 0.029 0.000 0.000 0.089 0.002 0.000 7 10.0 0.082 -0.2 -0.007 0.029 0.001 0.000 0.089 -0.007 0.000 8 20.0 0.105 -0.1 0.005 0.012 -0.001 0.001 0.100 0.005 0.000 9 30.0 0.099 -0.1 -0.005 0.003 0.000 0.000 0.104 -0.005 0.000 10 30.0 0.103 -0.1 -0.001 0.003 0.000 0.000 0.104 -0.001 0.000

合計 115 0.816 -0.979 -0.004 0.131 0.000 0.003 Δ²= 0.00015

(x) (y) (X) (Y)

平均値 12 0.082 -0.098 0.000

C= 0.123 仮定値 S²= 0.00002 （条件付き分散） C= 0.123

α= -0.111 計算結果 S = 0.004 （条件付き標準偏差） D= -0.111

β= 0.000 誤差 Sy²= 0.00036 （yの標本分散）

r²= 0.95 （決定係数）

X² XY yi'

No. xi yi X Y (yi-(y))² yi-yi' (yi-yi')²

以上のことから，摩擦特性評価式は，

( )

^σ^,^v ⁼^A^σ^B

(

¹⁻^e^Dv

)

⁺^C^σ^B^e^Dv ⁼⁰^.²⁴¹^σ⁻⁰^.²⁷⁵

(

¹⁻^e⁻⁰^.¹¹¹^v

)

⁺⁰^.¹²³^σ⁻⁰^.²⁷⁵^e⁻⁰^.¹¹¹^v

と表現することができる。

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 低速時の摩擦係数　μ0

決定係数　r2

C（→^μ^′′

( )

^σ^{）対する決定係数}r²の相関図から判断すると，^μ^′′

( )

^σ=0.054（C=0.123）のとき極値を取り，推定精度が最も良い

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0

( )

^σ ^Cσ^B

μ′′ = であるため，C の設定は低速時の摩擦係数を求めていることになる

※本マニュアル(案)4.2.2 項参照 ^μ′′

( )

^σ

このように定めたパラメータによる実験結果全体に対する推定精度は下記の通りである。

S²= 0.00007

S = 0.00845 2S= ±0.017 Sy= 0.00107

r²= 0.93

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 予測値

観測値

20%

30%

④参考資料-6 の振動台実験に用いた各支承タイプの依存性評価式パラメータの計算

＜タイプ 1 ：充填材入り PTFE – SUS（No.3 以上）のケース＞

a)面圧依存性の回帰

使用データ・・・速度 30cm/sec（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

(Xi-(X))

*(Yi-(Y))

1 6 0.191 1.792 -1.655 -0.707 0.500 0.178 -0.126 0.0008 0.201 -0.010 0.0001

2 12 0.173 2.485 -1.754 -0.014 0.000 0.079 -0.001 0.0001 0.161 0.012 0.0002

3 25 0.122 3.219 -2.104 0.720 0.519 -0.270 -0.195 0.0017 0.126 -0.004 0.0000

4 6 0.194 1.792 -1.640 -0.707 0.500 0.194 -0.137 0.0010 0.201 -0.007 0.0001

5 12 0.171 2.485 -1.766 -0.014 0.000 0.067 -0.001 0.0001 0.161 0.010 0.0001

6 25 0.121 3.219 -2.112 0.720 0.519 -0.278 -0.201 0.0018 0.126 -0.005 0.0000

7 6 0.194 1.792 -1.640 -0.707 0.500 0.194 -0.137 0.0010 0.201 -0.007 0.0001

8 12 0.173 2.485 -1.754 -0.014 0.000 0.079 -0.001 0.0001 0.161 0.012 0.0002

9 25 0.124 3.219 -2.087 0.720 0.519 -0.254 -0.183 0.0015 0.126 -0.002 0.0000

10 6 0.197 1.792 -1.625 -0.707 0.500 0.209 -0.148 0.0012 0.201 -0.004 0.0000

11 12 0.172 2.485 -1.760 -0.014 0.000 0.073 -0.001 0.0001 0.161 0.011 0.0001

12 25 0.122 3.219 -2.104 0.720 0.519 -0.270 -0.195 0.0017 0.126 -0.004 0.0000

合計 172 1.954 29.982 -22.002 0.000 4.074 0.000 -1.324 0.011 Δ²= 0.00085

(x) (y) (X) (Y)

平均値 14 0.163 2.499 -1.834

yi-yi' (yi-yi')² (Xi-(X))² Yi-(Y) (yi-(y))² yi'

No. xi yi X=log(xi) Y=log(yi) Xi-(X)

回帰結果

b)速度依存性の回帰

使用データ・・・面圧 12N/mm²（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

1 0.5 0.063 0.0 -0.008 0.002 0.000 0.009 0.071 -0.008 0.000

2 0.5 0.079 0.0 0.008 0.002 0.000 0.006 0.071 0.008 0.000

3 10.0 0.159 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.159 0.000 0.000

4 10.0 0.153 0.0 -0.006 0.000 0.000 0.000 0.159 -0.006 0.000

5 10.0 0.163 0.0 0.004 0.000 0.000 0.000 0.159 0.004 0.000

6 10.0 0.162 0.0 0.003 0.000 0.000 0.000 0.159 0.003 0.000

7 30.0 0.173 0.0 0.012 0.000 0.000 0.000 0.161 0.012 0.000

8 30.0 0.171 0.0 0.010 0.000 0.000 0.000 0.161 0.010 0.000

9 30.0 0.173 0.0 0.012 0.000 0.000 0.000 0.161 0.012 0.000

10 30.0 0.172 0.0 0.011 0.000 0.000 0.000 0.161 0.011 0.000

11 110.0 0.177 0.0 0.016 0.000 0.000 0.000 0.161 0.016 0.000

12 110.0 0.177 0.0 0.016 0.000 0.000 0.000 0.161 0.016 0.000

13 110.0 0.177 0.0 0.016 0.000 0.000 0.000 0.161 0.016 0.000

14 110.0 0.177 0.0 0.016 0.000 0.000 0.000 0.161 0.016 0.000

合計 601 2.176 -0.144 0.113 0.005 0.000 0.017 Δ²= 0.00182

(x) (y) (X) (Y)

平均値 43 0.155 -0.010 0.008

Y (yi-(y))² yi' yi-yi' (yi-yi')²

No. xi yi X X² XY

0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250

0 5 10 15 20 25 30

2S S²= 0.0001

S = 0.0092 Sy²= 0.0010 r²= 0.914

A= 0.36

B= -0.325

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

回帰結果

c)パラメータのまとめ全体の推定精度

よって，

( )

^σ^,^v ⁼⁰^.³⁶⁰^σ⁻⁰^.³²⁵

(

¹⁻^e⁻⁰^.⁴⁴¹^v

)

⁺⁰^.¹¹⁰^σ⁻⁰^.³²⁵^e⁻⁰^.⁴⁴¹^v

μ を得る。

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 v

S²= 0.00015 S = 0.012 Sy²= 0.00135 r²= 0.887 C= 0.110 D= -0.441

S²= 0.00014

S = 0.01194 2S= ±0.024 Sy= 0.00185

r²= 0.92 回帰パラメーター

A = 0.360 B = -0.325 C = 0.110 D = -0.441

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

予測値

観測値

20%

30%

0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200

0 10 20 30 40

＜タイプ 2 ：充填材入り PTFE – SUS（鏡面仕上げ）のケース＞

a)面圧依存性の回帰

使用データ・・・速度 30cm/sec（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

(Xi-(X))

*(Yi-(Y))

1 8.8 0.142 2.175 -1.954 -0.629 0.396 0.226 -0.142 0.0007 0.144 -0.002 0.0000 2 17.5 0.120 2.862 -2.123 0.058 0.003 0.057 0.003 0.0000 0.111 0.009 0.0001 3 29.2 0.095 3.374 -2.355 0.570 0.325 -0.175 -0.100 0.0004 0.091 0.004 0.0000 4 8.8 0.144 2.175 -1.939 -0.629 0.396 0.241 -0.151 0.0008 0.144 0.000 0.0000 5 17.5 0.122 2.862 -2.100 0.058 0.003 0.080 0.005 0.0001 0.111 0.012 0.0001 6 29.2 0.088 3.374 -2.426 0.570 0.325 -0.246 -0.140 0.0007 0.091 -0.002 0.0000 7 8.8 0.138 2.175 -1.982 -0.629 0.396 0.198 -0.125 0.0005 0.144 -0.006 0.0000 8 17.5 0.106 2.862 -2.246 0.058 0.003 -0.066 -0.004 0.0001 0.111 -0.005 0.0000 9 29.2 0.082 3.374 -2.496 0.570 0.325 -0.316 -0.180 0.0011 0.091 -0.008 0.0001

合計 167 1.037 25.233 -19.622 0.000 2.173 0.000 -0.834 0.004 Δ²= 0.00038

(x) (y) (X) (Y)

平均値 19 0.115 2.804 -2.180

yi-yi' (yi-yi')² (Xi-(X))² Yi-(Y) (yi-(y))² yi'

No. xi yi X=log(xi) Y=log(yi) Xi-(X)

回帰結果

b)速度依存性の回帰

使用データ・・・面圧 17.5N/mm²（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

1 0.2 0.064 0.0 0.009 0.000 0.000 0.001 0.055 0.009 0.000

2 0.2 0.043 0.0 -0.012 0.000 0.000 0.003 0.055 -0.012 0.000

3 0.2 0.052 0.0 -0.003 0.000 0.000 0.002 0.055 -0.003 0.000

4 10.0 0.115 0.0 0.004 0.000 0.000 0.000 0.110 0.004 0.000

5 30.0 0.120 0.0 0.009 0.000 0.000 0.000 0.111 0.009 0.000

6 60.0 0.113 0.0 0.003 0.000 0.000 0.000 0.111 0.003 0.000

7 10.0 0.122 0.0 0.012 0.000 0.000 0.001 0.110 0.012 0.000

8 30.0 0.122 0.0 0.012 0.000 0.000 0.001 0.111 0.012 0.000

9 60.0 0.114 0.0 0.004 0.000 0.000 0.000 0.111 0.004 0.000

10 10.0 0.103 0.0 -0.007 0.000 0.000 0.000 0.110 -0.007 0.000

11 30.0 0.106 0.0 -0.005 0.000 0.000 0.000 0.111 -0.005 0.000

12 60.0 0.103 0.0 -0.007 0.000 0.000 0.000 0.111 -0.007 0.000

合計 301 1.178 -0.050 0.020 0.000 0.000 0.009 Δ²= 0.00076

(x) (y) (X) (Y)

平均値 25 0.098 -0.004 0.002

X² XY

No. xi yi X Y (yi-(y))² yi' yi-yi' (yi-yi')²

2S S²= 0.0001

S = 0.0074 Sy²= 0.0005 r²= 0.900 A= 0.332 B= -0.384

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 v

S²= 0.00007

S = 0.00865 2S= ±0.017 Sy= 0.00100

r²= 0.92

回帰パラメーター A = 0.332 B = -0.384 C = 0.147 D = -0.475 回帰結果

c)パラメータのまとめ全体の推定精度

よって，

( )

^σ^,^v ⁼⁰^.³³²^σ⁻⁰^.³⁸⁴

(

¹⁻^e⁻⁰^.⁴⁷⁵^v

)

⁺⁰^.¹⁴⁷^σ⁻⁰^.³⁸⁴^e⁻⁰^.⁴⁷⁵^v

μ を得る。

S²= 0.00008 S = 0.009 Sy²= 0.00080 r²= 0.91 C= 0.147 D= -0.475

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

予測値

観測値

20%

30%

＜タイプ 3 ：焼結金属系すべり材 – SUS（No.2B 相当）のケース＞

a)面圧依存性の回帰

使用データ・・・速度 30cm/sec（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

(Xi-(X))

*(Yi-(Y))

1 15 0.316 2.708 -1.153 0.043 0.002 -0.047 -0.002 0.0003 0.328 -0.012 0.0001 2 7.5 0.349 2.015 -1.054 -0.650 0.423 0.052 -0.034 0.0003 0.389 -0.041 0.0017 3 15 0.319 2.708 -1.143 0.043 0.002 -0.037 -0.002 0.0002 0.328 -0.009 0.0001 4 22.2 0.269 3.100 -1.315 0.435 0.189 -0.209 -0.091 0.0041 0.297 -0.029 0.0008 5 15 0.314 2.708 -1.158 0.043 0.002 -0.052 -0.002 0.0003 0.328 -0.013 0.0002 6 15 0.316 2.708 -1.153 0.043 0.002 -0.047 -0.002 0.0003 0.328 -0.012 0.0001 7 15 0.322 2.708 -1.133 0.043 0.002 -0.027 -0.001 0.0001 0.328 -0.005 0.0000

8 15 0.345 2.708 -1.065 0.043 0.002 0.041 0.002 0.0002 0.328 0.017 0.0003

9 7.5 0.409 2.015 -0.894 -0.650 0.423 0.212 -0.138 0.0059 0.389 0.020 0.0004

10 15 0.351 2.708 -1.046 0.043 0.002 0.060 0.003 0.0004 0.328 0.024 0.0006

11 22.2 0.295 3.100 -1.220 0.435 0.189 -0.114 -0.049 0.0014 0.297 -0.002 0.0000

12 15 0.345 2.708 -1.063 0.043 0.002 0.043 0.002 0.0002 0.328 0.018 0.0003

13 15 0.358 2.708 -1.027 0.043 0.002 0.079 0.003 0.0007 0.328 0.030 0.0009

14 15 0.346 2.708 -1.061 0.043 0.002 0.045 0.002 0.0002 0.328 0.018 0.0003

合計 209 4.654 37.310 -15.484 0.000 1.242 0.000 -0.310 0.014 Δ²= 0.00587

(x) (y) (X) (Y)

平均値 15 0.332 2.665 -1.106

yi-yi' (yi-yi')² (Xi-(X))² Yi-(Y) (yi-(y))² yi'

No. xi yi X=log(xi) Y=log(yi) Xi-(X)

回帰結果

b)速度依存性の回帰

使用データ・・・面圧 15N/mm²（振動台実験に用いた供試体による試験データ）

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

1 5.0 0.489 1.0 -0.037 0.990 -0.037 0.015 0.527 -0.037 0.001 2 5.0 0.501 1.0 -0.025 0.990 -0.025 0.018 0.527 -0.025 0.001

3 5.0 0.529 1.0 0.003 0.990 0.003 0.026 0.527 0.003 0.000

4 5.0 0.573 1.0 0.046 0.990 0.046 0.042 0.527 0.046 0.002

5 10.0 0.431 1.1 -0.009 1.262 -0.010 0.004 0.440 -0.009 0.000

6 10.0 0.486 1.1 0.046 1.262 0.052 0.014 0.440 0.046 0.002

7 30.0 0.316 0.3 -0.023 0.117 -0.008 0.003 0.339 -0.023 0.001 8 30.0 0.319 0.3 -0.020 0.117 -0.007 0.002 0.339 -0.020 0.000 9 30.0 0.314 0.3 -0.025 0.117 -0.009 0.003 0.339 -0.025 0.001 10 30.0 0.316 0.3 -0.023 0.117 -0.008 0.003 0.339 -0.023 0.001 11 30.0 0.322 0.3 -0.017 0.117 -0.006 0.002 0.339 -0.017 0.000

12 30.0 0.345 0.3 0.006 0.117 0.002 0.001 0.339 0.006 0.000

13 30.0 0.351 0.3 0.012 0.117 0.004 0.000 0.339 0.012 0.000

14 30.0 0.345 0.3 0.006 0.117 0.002 0.001 0.339 0.006 0.000

15 30.0 0.358 0.3 0.019 0.117 0.006 0.000 0.339 0.019 0.000

16 30.0 0.346 0.3 0.007 0.117 0.002 0.000 0.339 0.007 0.000

17 50.0 0.277 0.1 -0.052 0.003 -0.003 0.008 0.329 -0.052 0.003 18 50.0 0.279 0.1 -0.050 0.003 -0.003 0.008 0.329 -0.050 0.002 19 63.0 0.284 0.0 -0.044 0.000 -0.001 0.007 0.328 -0.044 0.002 20 63.0 0.317 0.0 -0.011 0.000 0.000 0.003 0.328 -0.011 0.000 21 85.0 0.289 0.0 -0.039 0.000 0.000 0.006 0.328 -0.039 0.002 22 85.0 0.314 0.0 -0.013 0.000 0.000 0.003 0.328 -0.013 0.000

合計 736 8.101 9.805 -0.244 7.664 0.001 0.168 Δ²= 0.01834

(x) (y) (X) (Y)

平均値 33 0.368 0.446 -0.011

No. xi yi X Y X² XY (yi-(y))² yi' yi-yi' (yi-yi')²

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700

0 5 10 15 20 25 30

μ 2S

A= 0.643 B= -0.249 S²= 0.0005 S = 0.0221 Sy²= 0.0011 r²= 0.56

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

回帰結果

c)パラメータのまとめ全体の推定精度

よって，

( )

^σ^,^v ⁼⁰^.⁶⁴³^σ⁻⁰^.²⁴⁹

(

¹⁻^e⁻⁰^.¹¹⁴^v

)

⁺¹^.³³⁵^σ⁻⁰^.²⁴⁹^e⁻⁰^.¹¹⁴^v

μ を得る。

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700

0.0 50.0 100.0 150.0

C= 1.335 D= -0.114 S²= 0.0009 S = 0.0303 Sy²= 0.0080 r²= 0.89

回帰パラメーター A = 0.643 B = -0.249 C = 1.335 D = -0.114 S²= 0.0010

S = 0.0309 2S= ±0.062 Sy= 0.0074

r²= 0.87

※「2S」は標準偏差 S の 2 倍の範囲を示す

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 予測値

観測値

20%

30%

＜タイプ 4 ： AFRP（繊維強化熱硬化性樹脂） – SUS（フッ素樹脂コート）のケース＞

振動台実験用試験体の特性試験結果はデータ点数が少ないことから，既往試験データよりフィッティングをおこない，最終的な確認を振動台実験用試験体の特性試験結果を用いておこなうこととした。

a)面圧依存性の回帰

使用データ・・・速度 50cm/sec

既往データの中で面圧に関するパラメータがもっとも広くとれることから 50cm/sec のデータを用いて面圧依在性の回帰を行った。

非線形回帰（分散を定数と仮定した場合）分散の計算

(Xi-(X))

*(Yi-(Y))

1 2 0.363 0.693 -1.014 -2.546 6.482 2.769 -7.050 0.1076 0.153 0.210 0.0441

2 2 0.083 0.693 -2.484 -2.546 6.482 1.299 -3.308 0.0024 0.153 -0.069 0.0048 3 2 0.086 0.693 -2.455 -2.546 6.482 1.328 -3.381 0.0026 0.153 -0.067 0.0045 4 10 0.059 2.303 -2.831 -0.937 0.877 0.952 -0.892 0.0006 0.046 0.013 0.0002 5 10 0.053 2.303 -2.940 -0.937 0.877 0.843 -0.790 0.0003 0.046 0.007 0.0000 6 10 0.055 2.303 -2.892 -0.937 0.877 0.891 -0.835 0.0004 0.046 0.010 0.0001 7 10 0.038 2.303 -3.259 -0.937 0.877 0.524 -0.491 0.0000 0.046 -0.007 0.0001 8 10 0.058 2.303 -2.850 -0.937 0.877 0.934 -0.874 0.0005 0.046 0.012 0.0001 9 10 0.036 2.303 -3.318 -0.937 0.877 0.465 -0.436 0.0000 0.046 -0.010 0.0001 10 20 0.024 2.996 -3.729 -0.243 0.059 0.054 -0.013 0.0001 0.027 -0.003 0.0000 11 20 0.037 2.996 -3.289 -0.243 0.059 0.494 -0.120 0.0000 0.027 0.010 0.0001 12 20 0.035 2.996 -3.354 -0.243 0.059 0.430 -0.105 0.0000 0.027 0.008 0.0001 13 20 0.034 2.996 -3.384 -0.243 0.059 0.400 -0.097 0.0000 0.027 0.007 0.0000 14 20 0.026 2.996 -3.669 -0.243 0.059 0.114 -0.028 0.0001 0.027 -0.002 0.0000 15 20 0.031 2.996 -3.472 -0.243 0.059 0.311 -0.076 0.0000 0.027 0.004 0.0000 16 20 0.022 2.996 -3.813 -0.243 0.059 -0.029 0.007 0.0002 0.027 -0.005 0.0000 17 30 0.018 3.401 -3.995 0.162 0.026 -0.212 -0.034 0.0003 0.020 -0.002 0.0000

18 30 0.027 3.401 -3.616 0.162 0.026 0.167 0.027 0.0001 0.020 0.007 0.0000

19 30 0.027 3.401 -3.598 0.162 0.026 0.185 0.030 0.0001 0.020 0.007 0.0001

20 30 0.025 3.401 -3.698 0.162 0.026 0.086 0.014 0.0001 0.020 0.005 0.0000

21 30 0.020 3.401 -3.921 0.162 0.026 -0.138 -0.022 0.0002 0.020 0.000 0.0000 22 30 0.019 3.401 -3.967 0.162 0.026 -0.183 -0.030 0.0002 0.020 -0.001 0.0000 23 30 0.013 3.401 -4.333 0.162 0.026 -0.550 -0.089 0.0005 0.020 -0.007 0.0000 24 40 0.014 3.689 -4.279 0.450 0.202 -0.495 -0.223 0.0004 0.016 -0.002 0.0000 25 40 0.021 3.689 -3.859 0.450 0.202 -0.076 -0.034 0.0002 0.016 0.005 0.0000 26 40 0.016 3.689 -4.118 0.450 0.202 -0.335 -0.151 0.0003 0.016 0.000 0.0000 27 40 0.014 3.689 -4.246 0.450 0.202 -0.463 -0.208 0.0004 0.016 -0.002 0.0000 28 40 0.011 3.689 -4.530 0.450 0.202 -0.746 -0.336 0.0006 0.016 -0.005 0.0000 29 50 0.012 3.912 -4.425 0.673 0.453 -0.642 -0.432 0.0005 0.014 -0.002 0.0000 30 50 0.018 3.912 -3.993 0.673 0.453 -0.209 -0.141 0.0003 0.014 0.005 0.0000 31 50 0.014 3.912 -4.245 0.673 0.453 -0.462 -0.311 0.0004 0.014 0.001 0.0000 32 50 0.011 3.912 -4.518 0.673 0.453 -0.734 -0.494 0.0006 0.014 -0.003 0.0000 33 50 0.009 3.912 -4.671 0.673 0.453 -0.888 -0.598 0.0006 0.014 -0.004 0.0000 34 60 0.012 4.094 -4.402 0.855 0.731 -0.618 -0.529 0.0005 0.012 0.000 0.0000 35 60 0.016 4.094 -4.139 0.855 0.731 -0.355 -0.304 0.0003 0.012 0.004 0.0000 36 60 0.010 4.094 -4.610 0.855 0.731 -0.827 -0.707 0.0006 0.012 -0.002 0.0000 37 60 0.009 4.094 -4.708 0.855 0.731 -0.924 -0.790 0.0007 0.012 -0.003 0.0000 38 80 0.013 4.382 -4.318 1.143 1.306 -0.534 -0.611 0.0005 0.010 0.004 0.0000 39 80 0.008 4.382 -4.771 1.143 1.306 -0.988 -1.129 0.0007 0.010 -0.001 0.0000 40 80 0.007 4.382 -4.898 1.143 1.306 -1.115 -1.274 0.0007 0.010 -0.002 0.0000 41 100 0.011 4.605 -4.505 1.366 1.866 -0.722 -0.986 0.0006 0.008 0.003 0.0000

合計 1446 1.419 132.807 -155.119 0.000 37.293 0.000 -27.849 0.125 Δ²= 0.05457

(x) (y) (X) (Y)

平均値 35 0.035 3.239 -3.783

yi-yi' (yi-yi')² (Xi-(X))² Yi-(Y) (yi-(y))² yi'

No. xi yi X=log(xi) Y=log(yi) Xi-(X)

ドキュメント内 <4D F736F F D20955C8E8694E0914F8F9182AB96DA8E9F2E646F63> (ページ 101-117)