電磁的相互作用とゲージ不変性

ここで以上のノートとの内容の重複を厭わずに，4.5節について改めてまとめる．ただし以下では自然単位 系(6.1節)を採用し，c= 1,ℏ= 1とする．また各種レプトンl=e, µ, τを考え(7.4節)，さらにLagrangian 密度において自由電磁場項(5.1節)を考慮する．

QEDのLagrangian密度 QEDのLagrangian密度は

L=∑

l

ψ¯l(i/∂−ml)ψl+e∑

l

ψ¯lAψ/ l−1

4FµνF^µν

で与えられる．ただしここでは複数の荷電レプトンl=e, µ, τ を考え，それぞれにDirac場ψlをあてがって いる(p.141)．Dirac場を含む項は自由Dirac場のLagrangian密度(34):L=∑

l

ψ¯l(i/∂−ml)ψlにおいて

∂µ → Dµ ≡∂µ−ieAµ (39)

と置き換えて得られる．言い換えると，このDµを用いてQEDのLagrangian密度は L=∑

l

ψ¯l(iD/ −ml)ψl−1

4FµνF^µν (40)

と書ける．

置き換え∂_µ→D_µは極小置換と呼ばれる．極小置換を古典物理学の観点からボトムアップ式に意味付けよ う．質量m，電荷qの粒子を古典的に考え，粒子の速度をv，粒子を記述するLagrangianをL，Hamiltonian をH と書く．P ≡ ^∂L_∂v は粒子の正準運動量である．粒子の力学的運動量p ≡ ^{√ mv}

1−(^v_c)^{2 とエネルギー} E≡√

m²c⁴+p²c²は電磁場がある場合，

p=P → p=P −q

cA, (41)

E=H → E=H−qϕ (42)

と置き換わる．この結果は極小置換∂µ→Dµに対応している(p.82)．

ゲージ不変性

電磁ポテンシャルをAµ →Aµ+∂µf と変化させても導かれる電磁場E,Bは変化しない．また電磁場の ゲージ変換Aµ→Aµ+∂µfと同時にDirac場に局所的な位相変換

ψl(x)→ψl(x)e^ief(x), ψ¯l(x)→ψ¯l(x)e^−ief(x)

を施せばLagrangian密度(40)は不変に留まる(この位相変換が局所的と呼ばれるのは，位相±ef(x)がx に依存するからである)．逆に言えば，Dirac場の局所的位相変換に対して不変なLagrangian密度を得るに はAµ → Aµ+∂µf と変換するゲージ場Aµを導入して，極小置換∂µ →Dµ ≡∂µ−ieAµ を施せば良い (pp.83–84,p.141) [4, pp.218–219]．

特にf(x)がxに依らない定数εであるような大域的位相変換に対してLagrangian密度(40)が不変である ことから，

s^α(x) =−e∑

l

ψ¯_l(x)γ^αψ_l(x) (43)

を電流密度とするような電荷に対する保存則(連続の式)

∂_αs^α= 0 (44)

が導かれる(p.70)．

4.5 ^について

極小置換

極小置換(39)に対応する古典的な関係式(41),(42)は次のように得られる．古典物理学において，重力場が ないときの1粒子の系のLagrangianは

L=−mc²

√ 1−(v

c )2

+q

cA·v−qϕ

で与えられる(ただしここでは粒子の質量をm，電荷をq，速度をvと書き，Lagrangianにおける興味のな い自由電磁場の項− 1

16π

∫

F^µνFµνd³xを省いた)．これは正準運動量 P ≡∂L

∂v =p+q cA を与える．ここにp ≡ mv

√ 1−(_v

c

)2

は粒子の力学的運動量である．これを粒子の速さについて逆に解くと (v

c )2

= p²

m²c²+p^{2 となるので}Hamiltonianは H =P·v−L= mc²

√ 1−(_v

c

)2 +qϕ=√

m²c⁴+p²c²+qϕ=E+qϕ

と表される．ここにE≡√

m²c⁴+p²c²は粒子のエネルギーである[5, pp.51–52]．

以上より電磁場と相互作用する粒子の力学的運動量pとエネルギーEは，電磁場がない場合と比べて 式(41) :p=P → p=P −q

cA, (42) :E=H → E=H−qϕ

と変化する．これに対応して非相対論的量子力学では，ψを波動関数とした自由粒子のSchr¨odinger 方程式 1

2m(−iℏ∇)²ψ=iℏ∂

∂tψ において

−iℏ∇ → −iℏ∇−q

cA, iℏ∂

∂t → iℏ∂

∂t−qϕ と置き換えると電磁場中の粒子の正しい波動方程式

1 2m

(−iℏ∇−q cA

)2

ψ= (

iℏ∂

∂t−qϕ )

ψ

が得られる[2, p.177]．この置き換えは

∂µ → Dµ ≡∂µ+iq ℏcAµ

とまとめられる．ここで電荷qを電子の電荷−eにとり，自然単位系を採用してc=ℏ= 1としたものが極小 置換の式(39)である(p.82)．

ゲージ不変性

QEDのLagrangian密度(40)のゲージ不変性を確かめる．まず，電磁テンソルF_µνは，従ってLagrangian 密度(40)における自由電磁場の項−¹₄F^µνF_µν はゲージ変換A_µ→A_µ+∂_µf に対して不変である．実際あ る電磁ポテンシャルA^µから作られる電磁テンソルをF_µν，f を時空座標の任意の関数として電磁ポテンシャ ルA^′µ≡A^µ+∂^µf から作られる電磁テンソルをF^′_µνと書くと，

F^′µν ≡∂µA^′ν−∂νA^′µ=∂µ(Aν+∂νf)−∂ν(Aµ+∂µf) =∂µAν−∂νAµ=Fµν

である．そこで自由Dirac場の項L0≡∑

l

ψ¯l(i/∂−ml)ψlと相互作用項LI≡e∑

l

ψ¯lAψ/ lに対してL0+LI

の不変性を示せば十分である．ゲージ変換

A_µ→A_µ+∂_µf, ψ_l→ψ_le^ief, ψ¯_l→ψ¯_le^−ief (45) に対して

L0 → ∑

l

( ¯ψle^−ief)(i/∂−ml)(ψle^ief) =L0+∑

l

ψ¯li(ie/∂f)ψl=L0−e∑

l

ψ¯l(/∂f)ψl, LI → e∑

l

( ¯ψ_le^−ief)( /A+ /∂f)(ψ_le^ief) =LI+e∑

l

ψ¯_l(/∂f)ψ_l だからL0+LIは不変である．

次に電荷保存則(44)を導く．

一般に場ϕr(x)の変化ϕr(x)→ϕr(x) +δϕr(x)の下でLagrangian密度L^{が不変であるとき，}

f^α≡ ∂L

∂(∂αϕr)δϕ_r (46)

は連続の式∂αf^α= 0を満たし，保存する流れ(4元流束密度)と呼ばれる: 0 =δL=∂L

∂ϕr

δϕ_r+ ∂L

∂(∂αϕr)δ(∂_αϕ_r)

= (

∂α

∂L

∂(∂_αϕ_r) )

δϕr+ ∂L

∂(∂_αϕ_r)δ(∂αϕr) (∵Euler-Lagrange方程式)

=∂αf^α.

以上，場の種類rについても和をとる(pp.37–38)． 式(45)でf を無限小の定数εとしたゲージ変換

A_µ → A_µ ∴δA_µ= 0,

ψ_l → e^iεψ_l≃(1 +iε)ψ_l ∴δψ_l=iεψ_l, ψ¯l → e^−iεψ¯l≃(1−iε) ¯ψl ∴δψ¯l=−iεψ¯l

に対してLagrangian密度(40)は不変である．

∂L

∂(∂αψl) =iψ¯_lγ^α, δA_µ= 0 に注意すると保存する流れ(46)は

f^α=∑

l

(iψ¯lγ^α)(iεψl) =−ε∑

l

ψ¯lγ^αψl

となるので^*3，

s^α≡ −e∑

l

ψ¯lγ^αψl

は連続の式∂αs^α= 0を満たす．

*3 ψlに共役な場πψ_l=iψ_l^†に当たるψ¯lを，保存する流れの式(46)においてψlとは別にもう1種類の場ϕrとして考慮すると いう立場もあり得る．その場合にも ^∂L

∂(∂αψ¯_l) = 0なので，この結果に変わりはない．

Dirac方程式をEuler-Lagrange方程式として導出する際にはDirac場ψとψ¯≡ψ^†γ⁰を独立な場と見なすのに対し，正準量 子化の手続きやHamiltonianの計算ではψ¯をψと独立なもう一種類の場とは見なさないのは，一貫性に欠ける．ψとψ¯を独立 な場として扱うのが正確だが，これには 特異系の量子化 の手続きが必要になる[3, p.41]．

γ 行列の積のトレースに対する公式

ここで後に有用となる，γ行列の積のトレースに対する公式(A.16),(A.17)(p.251)について触れておく．γ 行列を定義付ける反交換関係(32):{γ^µ, γ^ν}= 2g^µν だけから次のことが導かれる．

まず，奇数個のγ行列γ^α, γ^β,· · ·, γ^µ, γ^νの積のトレースはゼロになる:

tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν) = 0. (47)

また偶数個のγ行列の積に対するトレースの公式としては，次の2つを挙げておけば十分である:

tr(γ^αγ^β) =4g^αβ, (48)

tr(γ^αγ^βγ^γγ^δ) =4(g^αβg^γδ−g^αγg^βδ+g^αδg^βγ). (49)

■証明 γ行列の積のトレースに対する公式(47),(48),(49)を導こう．

証明の準備として次のことに注意する．まず任意のn×n行列U, V に対して tr(U V) =∑

i

∑

j

UijVji=∑

j

∑

i

VjiUij = tr(V U) (50)

である．また

γ⁵≡iγ⁰γ¹γ²γ³ を導入すると，これは

{γ^µ, γ⁵}=0 (µ= 0,1,2,3), (51)

(γ⁵)²=1 (52)

を満たす(pp.250–251)．

実際，γ⁵がγ^µ(µ= 0,1,2,3)と反交換すること(51):{γ^µ, γ⁵}= 0は次のように理解できる．すなわちγ 行列γ^µは自分自身とは交換し，反交換関係(32):{γ^µ, γ^ν}= 2g^µνにより異なるγ行列γ^ν(ν ̸=µ)とは反交 換する．このことを用いて積γ^µγ⁵におけるγ^µをγ⁵ ≡iγ⁰γ¹γ²γ³の右側に移動するとγ^µγ⁵ =−γ⁵γ^µと なる．

さらに式(52):(γ⁵)²= 1について，γ行列の反交換関係(32):{γ^µ, γ^ν}= 2g^µνによれば異なるγ行列どう しは反交換するので

(γ⁵)²=(iγ⁰γ¹γ²γ³)(iγ⁰γ¹γ²γ³)

=· · ·

=i²(γ⁰)²(γ¹)²(γ²)²(γ³)² となる．ここで再び反交換関係(32):{γ^µ, γ^ν}= 2g^µνを考えると，これは

(γ⁰)²= 1, (γⁱ)²=−1 (i= 1,2,3) を意味するので式(52):(γ⁵)²= 1を得る．

以上を踏まえ，奇数個のγ行列の積γ^αγ^β· · ·γ^µγ^νのトレースがゼロになること(47):

tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν) = 0

を証明する．

tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν) =tr[(γ⁵)²γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν] (∵^式(52))

=tr(γ⁵γ^αγ^β· · ·γ^µγ^νγ⁵) (∵^式(50))

の最右辺の積γ⁵γ^αγ^β· · ·γ^µγ^νγ⁵において，反交換関係(51)を用いて左端のγ⁵を右端のγ⁵の左隣まで移動 すると，γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν は奇数個のγ行列の積だから

γ⁵γ^αγ^β· · ·γ^µγ^νγ⁵=−γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν(γ⁵)²

=−γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν (∵^式(52)) となる．よって

tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν) =−tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν), ∴tr(γ^αγ^β· · ·γ^µγ^ν) = 0 : (47) を得る(pp.252–253)．

2個のγ行列の積に対するトレースの公式(48)の証明に移ろう．γ行列の反交換関係(32)は，正確には 4×4の単位行列Iを用いて

{γ^α, γ^β}= 2g^αβI と書ける．よって両辺のトレースをとり

tr{γ^α, γ^β}=tr(γ^αγ^β) + tr(γ^βγ^α) = 2tr(γ^αγ^β), (∵^式(50)) trI=4

に注意すると公式(48):tr(γ^αγ^β) = 4g^αβを得る．

後の公式(49)の証明の見通しを良くするため，以上の証明を次のように書き換えられることに注意する．

まず恒等式(50)により

tr(γ^αγ^β) = tr(γ^βγ^α) である．ここで右辺において

γ^βγ^α=−γ^αγ^β+{γ^α, γ^β}=−γ^αγ^β+ 2g^αβI (∵^式(32)) と書き換えると再び公式(48)が導かれる．

同様に4個のγ行列の積に対するトレースの公式(49)を証明できる．実際，恒等式(50)により tr[γ^α(γ^βγ^γγ^δ)] = tr[(γ^βγ^γγ^δ)γ^α]

である．ここで右辺の積(γ^βγ^γγ^δ)γ^αにおいて，反交換関係(32)を用いて右端のγ^αを左端に戻すと (γ^βγ^γγ^δ)γ^α

=−γ^αγ^βγ^γγ^δ+{γ^α, γ^β}γ^γγ^δ−γ^β{γ^α, γ^γ}γ^δ+γ^βγ^γ{γ^δ, γ^α}

=−γ^αγ^βγ^γγ^δ+ 2g^αβγ^γγ^δ−2g^αγγ^βγ^δ+ 2g^αδγ^βγ^γ となるので

tr(γ^αγ^βγ^γγ^δ)

=g^αβtr(γ^γγ^δ)−g^αγtr(γ^βγ^δ) +g^αδtr(γ^βγ^γ)

=4(g^αβg^γδ−g^αγg^βδ+g^αδg^βγ) : (49) (∵^式(48) : tr(γ^αγ^β) = 4g^αβ) を得る．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第1巻 量子電磁力学』 (ページ 40-46)