古典電磁場

自由電磁場の正準量子化に先立ち，ここでは古典電磁場について論じる(pp.87–92)．古典電磁気学におい て自由電磁場はLagrangian密度

L=−1

4F_µνF^µν (53)

によって記述され，特に電磁場A^µとしてLorenz条件

∂µA^µ = 0 (54)

を満たすものを考えると，場の方程式として波動方程式

∂ν∂^νA^µ= 0 (55)

が導かれる．Lorenz条件を採用することの利点は，その式(54)が座標変換に対して共変的であることと，場 の方程式が波動方程式(55)に単純化されることにある．

ここで便宜的に空間を一辺L，体積V =L³の立方体領域と見なして周期境界条件 A^µ(0, y, z, t) =A^µ(L, y, z, t), etc.

を課すと，離散的な4元波数ベクトル

k= (ω_k,k), k= 2π

Ln, ω_k ≡ |k| を用いて(nは整数を成分に持つベクトル)，波動方程式(55)の解は

A^µ(x) =A^µ+(x) +A^µ−(x), (56)

A^µ+(x)≡∑

k,r

( 1 2V ω_k

)1/2

ε_r^µ(k)ar(k)e^−ik·x, (57)

A^µ−(x)≡∑

k,r

( 1 2V ωk

)1/2

ε_r^µ(k)a_r^†(k)e^ik·x (58) とFourier展開される(r= 0,1,2,3)．このように体積V =L³の空間を考えることにより，これ以降に現れ る周期境界条件の下で許される波数ベクトルkについての和はそのまま，L→ ∞^{の極限での}kについての 積分の解釈になる．ただしk·x=ωkt−k·xは4元内積である(x≡(t,x))．また，この段階では展開係数 ar(k), a_r^†(k)は演算子ではなく通常の数であり，後の都合のために因子(1/2V ωk)^1/2をくくり出してある．

展開係数ar(k), a_r^†(k)を互いに複素共役にとりε_r^µ(k)を実数の4元ベクトルとすると，電磁場A^µが実数で あることが保証される．ε_r^µ(k)は偏極ベクトルと呼ばれる．

例えば特定の波数ベクトルkを考えk/|k|= (0,0,1)となる座標系をとり，ε₁(k),ε₂(k),ε₃(k)≡k/|k|^を 互いに直交する単位ベクトル

ε1(k) = (1,0,0), ε2(k) = (0,1,0), ε3(k) = (0,0,1)

として

ε₀^µ=n^µ≡(1,0), (59)

ε_r^µ=(0,εr(k)), r= 1,2,3 (60)

とすると，電磁場A^µ≡(ϕ,A)のFourier展開(56),(57),(58)においてr= 0の項はスカラーポテンシャルϕ を，r= 1,2の項はベクトルポテンシャルAの横波成分を，r= 3の項はベクトルポテンシャルAの縦波成 分を成す．このためε₀^µはスカラー偏極，ε₁^µ, ε₂^µは横偏極，ε₃^µは縦偏極と呼ばれる．このように電磁場を 横波成分に限定せずに4つの偏極ベクトルを導入したことにより，電磁場のFourier展開(56),(57),(58)は座 標変換に対して共変的な形となる．ところが電磁波は本来，横波だから，r= 0,3の2つの偏極状態は系の実 際に持つ自由度に比べて余分な自由度であることになる．これについては4.2節で改めて論じられる．

任意の座標系では偏極ベクトルの成分は式(59)，式(60)のように具体的には指定されず，

ζ0=−1, ζ1=ζ2=ζ3= 1 として偏極ベクトル(59),(60)の満たす性質

εr(k)·εs(k)≡εrµ(k)ε_s^µ(k) =−ζrδrs, r, s= 0,1,2,3, (61)

∑

r

ζrε_r^µ(k)ε_r^ν(k) =−g^µν (62)

のみが要請される(上式(61)最右辺ではrについて和をとらない)．座標系を変えるとベクトルの成分は変化 するため，偏極ベクトルの具体的な表式(59),(60)は特定の座標系でしか成り立たないのに対し，偏極ベクト ルの正規直交性(61)と完全性の条件(62)は座標変換に対して共変的であり，任意の座標系で成り立つ関係式 である．

電磁場に正準量子化を施す際，電磁場A^µと共役な場 π^µ= ∂L

∂A˙µ

(ドットは時間微分を表す)をHeisenberg描像の演算子と見なして同時刻交換関係

[A^µ(x, t), π^ν(x^′, t)] =ig^µνδ(x−x^′) (63) を課す．ところがLagrangian密度(53)に対して共役な場は

π^µ =−F^0µ, ∴π⁰= 0 (64)

となり，これは交換関係(63)を満たすことができない．そこでLagrangian密度を L=−1

2(∂µAν)(∂^µA^ν) (65)

に改める．これはFermiによって提案されたものである．このときLorenz条件の下で再び場の方程式(55) が導かれるため，電磁場のFourier展開(56),(57),(58)は変更されない．またLagrangian密度(65)はどの成 分もゼロとならない共役な場

π^µ=−A˙^µ (66)

を与えるため，正準量子化に適している．

5.1( 古典電磁場 ) について

■偏極ベクトルの性質(61),(62)

式(59) :ε₀^µ= (1,0), 式(60) :ε_r^µ= (0,εr), r= 1,2,3 で与えられる偏極ベクトルε_r^µ= (ε₀^µ,εr)は正規直交性(61):

εr·εs=ε_r⁰ε_s⁰−εr·εs

=







(ε₀⁰)²= 1 =−ζ0δ00 (r=s= 0)

0·1−0·εs= 0 =ζ0δ0s (r= 0, s= 1,2,3)

−ε_r·ε_s=−δ_rs=−ζ_rδ_rs (r, s= 1,2,3)

=−ζrδrs

を満たす．

また

ε₁= (1,0,0), ε₂= (0,1,0), ε₃= (0,0,1) よりi, j= 1,2,3に対して

(ε₁ⁱ)²+ (ε₂ⁱ)²+ (ε₃ⁱ)²= 1,

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j = 0, i̸=j であり，これらを

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j=−g^ij (67)

とまとめられることに注意すると，完全性の条件(62):

∑

r

ζrε_r^µε_r^ν=−ε₀^µε₀^ν+

∑3 r=1

ε_r^µε_r^ν

=

















−(ε₀⁰)²=−1 =−g⁰⁰ (µ=ν= 0)

−1·0 + 0·

∑3 r=1

ε_rⁱ= 0 =−g⁰ⁱ ((µ, ν) = (0, i)，i= 1,2,3)

∑3 r=1

ε_rⁱε_r^j =−g^ij ((µ, ν) = (i, j)，i, j= 1,2,3，∵^式(67))

=−g^µν が満たされていることが分かる．

■Lagrangian密度(53):L=−¹₄FµνF^µν から導かれる共役な場(64):π^µ =−F^0µ 自由電磁場のLagrangian 密度を式(53):L=−¹₄FµνF^µνで与えると，電磁場に共役な場の式(64):π^µ=−F^0µが導かれる．実際，

π^λ≡ ∂L

∂(∂0Aλ)=−1 4

∂

∂(∂0Aλ)FµνF^µν

において Fµν

∂

∂(∂0Aλ)F^µν =Fµν

∂

∂(∂0Aλ)(g^µαg^νβFαβ) = (g^µαg^νβFµν) ∂

∂(∂0Aλ)Fαβ=F^αβ ∂

∂(∂0Aλ)Fαβ

に注意すると π^λ=−2×1

4 { ∂

∂(∂0Aλ)Fµν

}

F^µν =−2×1 4

{ ∂

∂(∂0Aλ)(∂µAν−∂νAµ) }

(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−2×1

4(δ⁰_µδ^λ_ν−δ⁰_νδ^λ_µ)(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−(∂⁰A^λ−∂^λA⁰) =−F^0λ: (64) を得る．

■Lagrangian密度(53),(65)の等価性 自由電磁場のLagrangian密度(53):

L=−1

4FµνF^µν とFermiによって提案されたLagrangian密度(65):

LFermi=−1

2(∂_µA_ν)(∂^µA^ν)

が，Lorenz条件の下で同じ場の方程式へと導くことを示す．

L=−1

4F_µνF^µν

=−1

4(∂_µA_ν−∂_νA_µ)(∂^µA^ν−∂^νA^µ)

=−1

2(∂_µA_ν)(∂^µA^ν) +1

2(∂_µA_ν)(∂^νA^µ)

=LFermi+1

2∂_µ(A_ν∂^νA^µ) (∵Lorenz条件(54) :∂_µA^µ= 0) のように，2つのLagrangian密度の差はAν∂^νA^µ/2の4元発散である．

ここで作用は時空のある領域ΩにわたるLagrangian密度の積分であることを思い出すと，一般に場の関数 Λ^µの4元発散∂µΛ^µだけ異なる2つのLagrangian密度は，領域Ωの表面にわたるΛ^µの積分だけ異なる2 つの作用を与える．ところで最小作用原理において領域Ωの表面での場の値，したがってΛ^µの値は固定され ているから，2つの作用の差は変分をとると落ちる．よって作用が停留値をとる条件に他ならない場の方程式 は，2つのLagrangian密度に対して共通となる．

■Lagrangian密度(53):L =−¹₂(∂_µA_ν)(∂^µA^ν)から導かれる共役な場(66):π^µ =−A˙^µ Fremiの提案した Lagrangian密度(53):L=−¹₂(∂µAν)(∂^µA^ν)に対して共役な場が式(66):π^µ =−A˙^µで与えられることが次 のように確かめられる．

π^λ= ∂L

∂(∂0Aλ) =−2×1

2(∂^µA^ν) ∂

∂(∂0Aλ)(∂µAν)

=−(∂^µA^ν)δ⁰_µδ^λ_ν

=−∂⁰A^λ

=−∂0A^λ.

ここで以上のノートとの内容の重複を厭わずに，5.2節について再びまとめる．はじめに要点を述べ，次い で節を改めて式の導出などの補足を行う．ただし以下では自然単位系(6.1節)を採用し，c= 1,ℏ= 1とする．

ドキュメント内 【PDF】F.マンドル/Gショー『場の量子論 第1巻 量子電磁力学』 (ページ 47-52)