第 9 章 輻射補正
9.6 応用
図19 外場による電子の散乱(教科書の図9.15(p.212))
となる．これは磁気能率が−2me ( 1 +2πα)
であることを表し，g因子のずれとして書けば ae≡g−2
g = α
2π = 0.00116 となる*8．
α4のオーダーまで補正した理論値は
1012ae= 1159652183±8 であり，実験値
1012ae= 1159652181±7 と驚異的な精度で一致する．
9.6.1について
■最低次のFeynman振幅(9.66)について 外場Aeにスラッシュを付け忘れている．
■Feynman振幅(9.67)について 式(9.65)は輻射補正をする前の元のダイヤグラムと併せて考えた結果であ
ることに注意し，付加的な項を取り出せば良い．ここで教科書の図9.15(p.212)(b)のダイヤグラムを考える 際には，式(9.65a)の光子伝播関数 −k2ig+iεαβ の部分を外場Aeµ(q)に置き換えれば良いと考えられる．ただし式 (9.16)に取り込んだ伝播関数の両端の電荷e02の繰り込みe0→e=e0Z31/2について，今の場合「この因子 Z31/2の一方は，外場Aeµ(q)の源として働く電荷の繰り込みへと吸収される」(p.212，l.3,4)．
■式(9.69)の確認 式(9.68)の対数部分を展開すると e2Πc(q2) =−2α
π
∫ 1 0
dzz(1−z) {
−q2z(1−z)
m2 +O((q m
)4)}
=2α π
q2 m2
∫ 1 0
dzz2(1−z)2+O ((q
m )4)
= α 15π
q2
m2 +O((q m
)4)
: (9.69) を得る．
9.6.2 Lambシフト
Dirac理論によれば水素原子の2s1/2準位と2p1/2準位は縮退しているが，実験的にはこれらの準位の間に は，Lambシフトと呼ばれる約1000MHzのエネルギー差があることが明らかになった．本節では水素原子の エネルギー準位に対する輻射補正からこれを説明する．
前節の静的ポテンシャルによる電子の散乱においては，電子の自己エネルギーを表す図19(d)–(g) の
Feynmanダイヤグラムは観測可能な輻射補正を生じなかった．一方これから見るように，水素原子内の束縛
状態では電子の自己エネルギーが重要となる．
ここではBetheのアプローチに従い，非相対論的な近似によってLambシフトを計算しよう．1.4節のよう
に電子を捕獲している原子核Coulomb場を非摂動ハミルトニアンに含める束縛相互作用を採用し，相互作用
*8このようにQEDの立場からすれば，異常磁気能率は 正常 である．
ハミルトニアンを式(1.62):
HI = 1 2m
{−2eA·p+ (eA)2}
→ −e mA·p
にとる*9．ここでは電子と(横波)光子の相互作用が摂動として扱われていることになる．水素原子内の状態
|nl⟩(nは主量子数，lは角運動量量子数)の準位ずれは，2次の摂動論により δE(nl) =−∑
λ
∑
k
∑
r=1,2
| ⟨λ, nr(k) = 1|HI|nl⟩ |2 Eλ+k−En
で与えられる．ここに|λ⟩は完全系を成す水素原子状態の1つを表し，EλとEnはそれぞれ状態|λ⟩と|nl⟩ のエネルギー固有値である．また|nr(k) = 1⟩は横波光子が1つある状態である．このδE(nl)は束縛状態の 電子の自己エネルギーと解釈される量である．[|λ, nr(k) = 1⟩を中間状態にとっていることが，電子の自己 エネルギーに対応していると考えられる．] 行列要素⟨B, nr(k) + 1|HI|A, nr(k)⟩の式(1.65)(A, Bは原子状 態)を用い，重要な寄与を持つ仮想光子の波長はBohr半径よりも充分長く(k·r ≪1，rは場Aの引数)， eik·r ≃1として，1.3節と同様にこれを評価すると
δE(nl) =− 1 6π2
(e m
)2∫ ∞
0
dkk∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2 Eλ+k−En
(129) を得る．
さて，ここで自己エネルギー効果の一部は，計算に裸の質量ではなく物理的な電子質量を用いることによっ て既に考慮されていることに注意しよう．したがって真の準位ずれは，束縛電子の自己エネルギーと，自由電 子のそれとの差に対応する．そこで自由電子の自己エネルギーδEf(nl)を求めよう．そのためには式(129) において束縛状態|λ⟩,|nl⟩を平面波状態pに置き換えて
∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2
Eλ+k−En → p2 k とし，次いで状態|nl⟩の運動量分布についてp2の期待値をとって
δEf(nl) =− 1 6π2
(e m
)2
⟨nl|p2|nl⟩
∫ ∞
0
dk
=− 1 6π2
(e m
)2∑
λ
| ⟨λ|p2|nl⟩ |2
∫ ∞
0
dk (130)
とすれば良い．物理的な電子質量を用いて状態|nl⟩の準位ずれを計算するのであれば，自己エネルギー δEf(nl)は繰り込み済みであり，上で述べたように観測される準位ずれは
∆E(nl) =δE(nl)−δEf(nl)
= 1 6π2
(e m
)2∑
λ
| ⟨λ|p2|nl⟩ |2
∫ ∞
0
dk Eλ−En
Eλ−En+k (131)
で与えられる．k→ ∞において式(129)，式(130)は1次で発散するのに対し，式(131)は対数的にしか発 散しない．
*9A2の項は電子の運動量に依存しない．したがってこれは束縛電子に関しては同じ電子の自己エネルギーを生成し，準位の相対的 なずれには寄与を持たない．
• 式(129)を収束させるために，積分の上限を有限の切断値k=K∼mに置き換える．
– これは電子の非相対論的な取扱いが有効であるためには，
電子がエネルギーkの仮想光子を放出したときの反跳エネルギーが質量に比べて 充分小さくなければならないことk≪mから正当化される．
• λの和を評価できる形にするために，次式で定義される平均励起エネルギー⟨E−En⟩を導入する．
∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2(Eλ−En){ln⟨E−En⟩ −ln|Eλ−En|}= 0.
• 水素原子内の状態ϕnl(x)≡ ⟨x|nl⟩の具体形を用いて式(9.77):
⟨λ|p|nl⟩=
∫
d3xϕλ∗(x)(−i∇)ϕnl(x) に対して和(9.86): ∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2(Eλ−En) を評価する．
以上の手順により，最終的な結果として
∆E(nl) = 8 3π
α3
n3Ry ln K
⟨E−En⟩δl0
を得る．ここにRy ≡e2/(8πa)はRydbergエネルギー，a ≡4π/(me2)はBohr半径である．これによれ ばs状態l = 0だけが電子の自己エネルギー効果による準位ずれを起こす．Betheは数値計算に基づいて
⟨E−E2s⟩= 17.8Ryという値を用い，またK=mと置いて，lambシフトの予想値として E(2s1/2)−E(2p1/2) = 1040MHz
を得た．[自己エネルギー効果を考慮しない理論において2s1/2準位と2p1/2準位は縮退しているため，s状態 のみに起こる準位ずれ∆E(nl)が2準位間のエネルギー差であるLambシフトを与えることになる．]これは 実験値1057.8±0.1Mhzとよく一致している．
9.6.2について
■2次の摂動論における準位ずれの式(9.74)について 縮退のある場合の時間を含まない摂動論の公式
∆l(1) =⟨l(0)|V|l(0)⟩, ∆l(2)= ∑
k /∈D
|Vkl|2 ED(0)−Ek(0) を参照する[1, p.414,p.416]．
■式(9.76)の導出 δE(nl)の式(9.74)における行列要素⟨λ, nr(k) = 1|HI|nl⟩は，⟨B, nr(k) + 1|HI|A, nr(k)⟩ の式(1.65)においてnr(k) = 0と置いたものに対応するから，
⟨λ, nr(k) = 1|HI|nl⟩=−e m
1
(2V k)1/2⟨λ|εr(k)·p|nl⟩eiωkt
である(eik·r ≃1の近似を用いた)．これを式(9.74)に代入したときに現れる和は，p.15の計算と同様に
∑
r=1,2
|εr(k)· ⟨λ|p|nl⟩ |2=| ⟨λ|p|nl⟩ |2sin2θ
となる．ここにθはkとpの成す角である．よってδE(nl)の式(9.74)は δE(nl) =−∑
λ
∑
k
(e m
)2 1 2V k
| ⟨λ|p|nl⟩ |2 Eλ+k−Ensin2θ と書き換えられる．状態数の式(1.47)を考慮してkに関する和を
∑
k
→
∫ dkdΩV k2 (2π)3 と積分に置き換えると，
δE(nl) = 1 2(2π)3
(e m
)2(∫
dΩ sin2θ ) ∫ ∞
0
dkk∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2 Eλ+k−En
=− 1 6π2
(e m
)2∫ ∞
0
dkk∑
λ
| ⟨λ|p|nl⟩ |2
Eλ+k−En : (9.76) を得る(∫
dΩ sin2θ= 8π3 )．
■式(9.83)の導出
∫ K 0
dk Eλ−En
Eλ−En+k =(Eλ−En)[ln|Eλ−En+k|]K0 = (Eλ−En) ln
Eλ−En+K Eλ−En
≃(Eλ−En) ln K
|Eλ−En| による．