第 10 章
本 論 文 で は 第 I部 ( 第2章 第4章 ) に お い て ， 境 界 要 素 法 と 宵 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 組 み 込 む 方 法 を 提 案 し ， そ の 実 用 性 に つ い て の 検 討 を 行 い ， 第 日 部 ( 第5章 第 9章 ) で は ， 異 極 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 意 義 と 解 析 手 法 に つ い て 論 じ ， 異 糧 材 界 面 き 裂 の 破 壊 実 験 を 行 っ て 破 壊 基 準 に つ い て 議 論 し た . 編 集 の 都 合 上 ， 上 記 の よ う な 構 成 と な っ た が ， 実 際 の 内 容 は ， 第 I部 と第 E部 の 第 6章 第 8章 が 境 界 要 素 法 を 用 い た 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 の 開 発 に 関 す る 研 究 に つ い て 述 べ て お り ， 第 E部 全 体 が 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 ， 解 析 手 法 ， お よ び 静 的 混 合 モ ー ド 破 壊 基 準 へ の 適 用 に 関 す る ， 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 に 関 す る 総 合 的 な 研 究 内 容 を ま と め た も の で あ る た め ， 第 6章 第 8章 は 第 I部 と 第E部 に ま た が っ た 内 容 と な っ て い る . したがって，
本 章 の 総 括 結 論 に お い て は ， 各 境 界 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 に つ い て そ の 特 色 を 総 指 し (1節‑....3節 ) ， 最 後 に 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 と そ の 静 的 破 壊 基 準 へ の 適 用 方 法 に つ い て の 結 論 を 述 べ る (4節 ).
1 O. 1 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 し た 応 力 拡 大 係 数 の 解 析
ま ず ， 第2章 に お い て ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 提 案 し ， こ の 方 法 が 二 次 元 単 一 モ ー ド き 裂 問 題 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 に 有 効 に 適 用 で き る こ と を 示 し ， 第 3章 に お い て 二 次 元 1 .
r r
混 合 モ ー ド き 裂 問 題 ， 第4章 に お い て 軸 対 称 き 裂 問 題 へ の 適 用 例 を 示 し た . さ ら に ， 第6章 に お い て ， 接 着 継 ぎ 手 の 薄 い 接 着 剤 中 の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 お よ び 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 精 度 良 く 行 え る こ と を 示 し た. こ の 方 法 に つ い て の 結 論 を 以 下 に 示 す .( 1 ) 本 手 法 に よ れ ば ， 二 次 元 混 合 モ ー ド き 裂 問 題 ， 軸 対 称 き 裂 問 題 ， 異 種 材 界 面 き 裂 問 題 の 応 力 拡 大 係 数 を 1% 以 内 の 精 度 で 求 め る こ と が 期 待 で き る. 本 手 法 は ， 境 界 の み の 離 散 化 で 解 析 が で き る た め 入 力 デ ー タ の 量 を 大 幅 に 軽 減 で き る 境 界 要 素 法 の 特 質 と ， 簡 便 に 高 精 度 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る 仮 想 、 き 裂 進 展 法 の 特 質 を 共 に 生 か す こ と が で き る .
( 2 ) 直線き裂の場合， き 裂 先 端 部 に か な り 大 き な 有 限 要 素 を 配 置 す る こ と が 可 能 で あ る . 本 論 文 で の 結 果 で は ， き 裂 の 代 表 寸 法Gに 対 す る き 裂 端 有 限 要 素 の 代 表 寸 法 fの 割 合 (l /
a )
を O.2 ‑.... O. 4と し て も 解 の 精 度 の 低 下 は わ ず か で あった. た だ し ， 円 弧 形 き 裂 の よ う な 曲 線 き 裂 の 場 合 ， き 裂 先 端 の ほ ぼ 直 線 と 見 な せ る 小 さ な 部 分 に 有 限 要 素 を 配 置 す る 必 要 が ある.( 3 ) 1 'NO rdが64bitsの 倍 精 度 計 算 を 行 え ば ， 仮 想 き 裂 進 展 量L1
a
は10‑3 l‑ 176 ‑
‑‑10‑101の 間 で 選 べ ば 良 い .
( 4 ) 仮想、き裂進展法に Ml積 分 法 の 考 え 方 を 取 り 入 れ る こ と に よ っ て 解 析 を行 う重ね合わ せ の 方法を 適 用 す る こ と に よ り ， 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数のモ ード分離 を 可 能 と し た . こ の 際 ， 仮 想 き 裂 進 展 の 方 法 と し て は ， き 裂 先 端 に 接 する 有 限 要 素 を 変 形 せ ず に 平 行 移 動 し て ， 一つ 外 側 の 要 素 の 形 状 を 変形し て き 裂 を 進展さ せ る 必 要 が あ る .
1 O. 2 境 界 要 素 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 し た 応 力 拡 大 係 数 解 析
つ ぎ に ， 第 7章 に お い て 先 の 方 法 を一歩進め， き 裂 先 端 の 周 り に 仮 想 的 な 有 限 要 素 を 想 定 す る と い う 考 え 方 を 用 い て ， 通 常 の 境 界 要 素 法 の 応 力 解 析 結 果 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 提 案 し た . こ の 方 法 を 用 い る こ と に よ り ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 プ ロ グ ラ ム を 用 意 し な け れ ば な ら な い と い う 以 前 の 方法 の 欠 点 を 克 服 し た . すなわち，
( 1 ) 仮 想 有 限 要 素 を 設 定 す る こ と に よ っ て 境 界 要 素 法 の 線 形 弾 性 解 析 デ ー タ に 対 し て 仮 想 き 裂 進 展 法 を 適 用 で き る こ と を 確 認 し た . こ の 方 法 は ， 汎 用 の 境 界 要 素 法 コ ー ド に よ る 応 力 解 析 結 果 を 有 限 要 素 法 用 の 仮 想、き 裂 進 展 法 ポ ス ト プ ロ セ ッ サ と ほ ぼ 同 じ プ ロ グ ラ ム で 処 理 す る こ と に よ っ て も 実 現 で き る . ただし，
こ の 手 法 に お け る 仮 想 き 裂 進 展 の 方 法 と し て は ， き 裂 先 端 に 援 す る 有 限 要 素 を 変 形 せ ず に一つ 外 側 の 要 素 の 形 状 を 変 形 し て き 裂 を 進 展 さ せ る 必 要 が あ る .
( 2 ) 本 手 法 に よ れ ば ， 異 種 材 界 面 き 裂 を 含 め た 混 合 モ ー ド き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 精 度 良 く 解 析 す る こ と が で き る .
1 O. 3 境 界 要 素 法 に 径 路 積 分 法 を 適 用した 応 力 拡 大 係 数 解 析
さ ら に に 第8章 に お い て は 境 界 要 素 法 の 内 点 の 変 位 ・応 力 を 求 め る 際 の 特 異 積 分 を 適 応 的 自 動 積 分 法 に よ っ て 効 果 的 に 処 理 し て 応 力 解 析 精 度 を 向 上 さ せ る 方 法を提案し， さ ら に こ の 適 応 的 自 動 積 分 を J積 分 法 やM，積分法と い っ た 径 路 積分 法 に 適 用 す る 方 法 を 開 発 し た . こ れ に よ っ て ， つ ぎ の よ う な 結 果 を 得 た.
( 1 ) 適 応 的 自 動 積 分 を 利 用 す る こ と に よ っ て ， 境 界 要 素 法 に お け る 境 界 近 傍 の 内 点 の 解 析 精 度 の 低 下 を 防 ぐ 方 法 を 開 発 し た .
‑ 177 ‑
( 2 ) 径 路 償 分 法 に 適 応 的 自 動 積 分 法 を 用 い る こ と に よ り ， 境 界 要 素法によ っ て高精 度 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 が 行 え る . こ の 方 法 に よ れ ば ， わずかな径路 積分 のた め の 入 力 デ ー タ で 解 析 が 行 え ， か っ 常 に一定 の 積 分 精 度 が 確 保 で き る .
( 3 ) 本 手 法 に よ れ ば ， 均 質 体 中 の き 裂 の 場 合 ， き 裂 先 端 に 応 力 の 特異性 を 内 挿 で き る き 裂 端 特 異 要 素 を 用 い る こ と で ， き わ め て き 裂 先 端 に 近 い 積 分 径 路 を 設 定 し て も 高 い 精 度 の J積 分 解 析 が 行 え る .
( 4 ) 異 種 材 界 面 き 裂 の 場 合 ， き 裂 先 端 に 接 す る ー 要 素 よ り 遠 く に 積 分 径 路 を 設 定 す る こ と に よ り ， モ ー ド 分 離 を 含 め た 高 い 精 度 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 が 行 え る .
( 5 ) 本手法は， こ こ ま で に 示 し た三つ の 手 法 の う ち で 最 も 高 い 精 度 の 解 析 を 行 う こ と が で き る . ま た ， 境 界 要 素 法 解 析 の 要 素 分 割 の 不 備 な ど に よ り ， 境 界 要 素 法 解 析 の 精 度 が 低 下 し た 場 合 に は ， 異 な っ た 径 路 の 積 分 値 が一致 し な く な る こ と か ら 容 易 に 精 度 の 低 下 を 検 出 で き る た め 解 析 値 の 信 頼 性 の 点 で も 優 れ て い る .
10. 4 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 と 破 壊 基 準 へ の 適 用
異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 は ， 界 面 き 裂 の 破 壊 に 関 す る 定 量 的 評 価 の た め の 有 力 な 評 価 ノ マ ラ メ ー タ と 考 え ら れ て い る. しかしながら， そ の 定 義 や 物 理 的 な 意 味 に つ い て は ， 十 分 に 議 論 さ れ 尽 く し た と は 言 え ず ま だ 混 乱 が あ る の が 現 状 である. ま た ， 実 際 に 破 壊 実 験 を 行 っ て ， 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 用 い た 破 壊 基 準 に よ り 有 効 に 破 壊 限 度 を 説 明 し た 研 究 も 見 あ た ら な い.
そ こ で ， 本 論 文 で は 第5章 で 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 と 物 理 的 意 味 に つ い て 考 察 し ， 第 6章 か ら 第 8章 に お い て ， 境 界 要 素 法 を 用 い た 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 の 提 案 と 解 析 例 を 述 べ ， 第9章では， こ の 解 析 手 法 を 利 用 し て ， 実 際 の 破 壊 試 験 の 結 果 か ら ， 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 に よ
る 破 壊 基 準 を 検 討 し た . 結 論 を つ ぎ に 述 べ る .
( 1 ) 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 評 価 す る 際 に は ， Eq. (5.6) Eq. (5.7)に お け る L k . の 値 と し て 統 ー し た も の を 用 い な け れ ば な ら な い Eq.(5.6)， Eq. (5.7)と は 次 の よ う な 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 式 で あ る.
K
， +
iKo=l im (2πγ) 1/2 (σ22+ i σ12)I 引
‑ lαγ ‑+0 ¥L.k1 (5. 6)
σ叶 tσ!?= K
， +
i Ko( 工 )
iα日 ほ イ
2nr ~ L k. )︑1sJ
勺l
﹁ •
︑
d
t︐ ︐ ︑
‑178 ‑
( 2 ) l k.は， そ の 距 離 の 応 力 の 比συ/σI3がKI/Ko に よ っ て 記 述 さ れ る こ と を 示 し て お り ， 界 面き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 単 位 は ， (MPa.
V m
)[lk.=lmm] の よ う にf昆 の 値 を 付 し て 記 述 さ れ る べ き で あ る .
( 3 ) l且 の 値 を 変 え た 場 合 の 応 力 拡 大 係 数 の 値 は ， Eq. (5.16)に よ っ て 求 め ら れ， l且=2aと し て 求 め て 無 次 元 化 し た 値 を ， 実 際 に 使 用 す る 際 に 変 換 し て 使 用 す る こ と が 可 能 で あ る.
( 4 ) 均 質 体 中 の き 裂 と 異 な り ， 異 種 材 界面 き 裂 の 場 合 に は き 裂 に 作 用 す る せ ん 断 力 の 作 用 方 向 が 破 壊 基 準 に 影 響 す る こ と が 考 え ら れ る . こ の こ と を 考 慮 す るため， α豆0と な る よ う に 材 料 1， 2を 配 置 し た 場 合 に き 裂 関 口 部 を左 に 見 る よ う に き 裂 先 端 の 局 所 座 標 を 設 定 し た 場 合 の 応 力 拡 大 係 数 を も っ て 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数Koの 符 号 を 決 定 す る . すなわち， α豆0と な る よ う に 材 料 1， 2を 配 置 し た き 裂 先 端 の 局 所 座 標 を 設 定 し た 場 合 に き 裂 開 口 部 を 右 に 見 る 場 合 に は ， 応 力 拡 大 係 数Koの 符 号 を 逆 転 さ せ る こ と と す る .
( 5 ) こ の と き 破 壊 基 準 を 示 すKo
一
KI混 合 モ ー ド 破 壊 靭 性 値 の 図 は ， Koの 負 の 部 分 を も ち， l昆 の 変 化 に 伴っ て 原 点を 中 心 に 回 転 す る 性 質 を 有 す る .( 6 ) 破壊試験の結果， ア ク リ ル 樹 脂ーエ ポ キ シ 系 接 着 剤 接 合 面 の き 裂 の 場 合 の 静 的 破 壊 は ， ほ ぼ エ ネ ル ギ 解 放 率 ヲ = 一 定 の 条 件 で 生 じ る と い う 結 果 が 得 ら れ た. た だ し ， 本 試 験 で はK日 が 非 常 に 大 き な 領 域 で の 試 験 は 行 っ て い な い た め ， Koがさ ら に 大 き な 領 域 で の 試 験 が 必 要 と 思 わ れ る .
( 7 ) ア ル ミ ニ ウ ム ーエ ポ キ シ 系 接 着 剤 接 合 面 の き 裂 の 場 合， l且 =O. 01mmとし た と き の 破 壊 靭 性 値 の 分 布 が ほ ぼ 均 質 体 中 の き 裂 の 静 的 破 壊 の 場 合 と 同 様 の
( KI/Klcγ)
2 +
(Kn/Koγc)2 =
1の 部 分 楕 円 で 示 さ れ る 傾 向 が 見 ら れ た .( 8 ) 広 い 範 囲 の き 裂 面 の 接 触 が な く ， 破 壊 が 界 面 上 を 進 展 す る 異 種 材 界 面 き 裂 の 静 的 混 合 モ ー ド 破 壊 基 準 と し て ， モ ー ド 1 . IIの 混 合 モ ー ド 破 壊 靭 性 値 が (K1 • Kn ) 面 上 で 部 分 楕 円 を 原 点 を 中 心 に 回 転 し た 形 状 の 分 布 で 示 さ れ る と す る 基 準 を 提 案 す る . こ の 部 分 楕 円 分 布 は ， l起 を 変 え る こ と に よ っ て 原 点 を 中 心に回転し， こ の 部 分 楕 円 の 傾 斜 が0と な る よ う な 適 当 な lk.= lれ γを 選 択 す る こ と に よ り ， 均 質 体 中 の き 裂 と 同 様 の 楕 円 の 式 Eq.(9.1) で 破 壊 基 準 が 示 さ れ る .
‑ 179 ‑
【第 10章 記 号 表 】
σ : き 裂 の 長 さ を 代 表 す る 寸 法
仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 用 い る 際 の き 裂 先 端 に 配 置 す る 有 限 要 素 の 代 表 寸 法 .Ll
a :
仮 想 き 裂 進 展 法 に お け る 仮 想 、 き 裂 進 展 重f邑 : き 裂 を 代 表 す る 任 意 の 長 さ 複 素 定 数， i2=̲ 1
σ22 : 垂 直 応 力 (χ2方向)
σ11 : 垂 直 応 力 (χ1方向)
σ12 せ ん 断 応 力 σ22+ iσ12
(γ，θ)
複 素 表 示 し た 応 力
き 裂 先 端 を 原 点 と す る 極 座 標 系 α : 異 種 材 に 関 す る 定 数(bielastic constant) KI : 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1) K日 : 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 11) KI+ iKn : 複 素 表 示 し た 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数
ヲ :
エ ネ ル ギ ー 解 放 率f昆υ . Ka
一
KI 混 合 モ ー ド 破 壊 基 準 が ， 楕 円 を 原 点 を 中 心 に 回 転 し た 形 状 に な る と き ， そ の 楕 円 の 長 軸 がK日 軸 に 一 致 す る よ う な 角 度 を と る と き の f昆の値一 180 ‑