裂の応力拡大係数解析 (経路積分法の適用)

‑ 127  ‑

8.  1 緒

第 7章 に お い て ， 著 者 ら は き 裂 先 端 に 仮 想 的 な 有 限 要 素 を 想 定 し ， こ れ に 仮 想、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 提 案 し ， こ れ に よ り 異 種 材 界 面 き 裂 を含む 混合モー

ド き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と を 示 し た .

本 章 で は ， 適 応 的 自 動 積 分 法 [1 ] を 用 い て 境 界 要 素 法 解 析 に お け る 境 界 近 く の 内 点 の 応 力 解 析 精 度 を 改 善 し ， さ ら に 径 路 積 分 法 に お け る 積 分 に も 適 応 的 自 動 積 分

を 用 い る こ と に よ っ て ， 少 な い 入 力 デ ー タ で ， 高 精 度 の 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と を 示 す .

有 限 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 で は ， エ ネ ル ギ 法 の 一 種 で あ る 仮 想 き 裂 進展法や， J積 分 法 な ど の 径 路 積 分 法 が 多 用 さ れ て い る が ， 境 界 要 素法に お い て は 変 位 外 挿 法 ・ 応 力 外 挿 法 な ど が よ く 用 い ら れ ， エ ネ ル ギ 法 や 径 路 積 分 法 は あ ま り 用 い ら れ て い な い .

こ の 理 由 は 種 々 考 え ら れ る が ， ま ず エ ネ ル ギ 法 に つ い て は ， 境 界 要 素 法 で は 有 限 要 素 法 に お け る 仮 想 、 き 裂 進 展 法 の よ う な 洗 練 さ れ た エ ネ ル ギ 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 法 が な い た め に ， 微 小 き 裂 進 展 前 後 の 応 力 解 析 を 行 い エ ネ ル ギ 解 放 率 を 求 め る 必 要 が あ る と い う 点 が 問 題 と な っ て い る . ま た 径 路 積 分 法 に つ い て は ， 内 点 の 応 力 評 価 を 必 要 と す る 点 が 境 界 要 素 法 に 不 向 き と さ れ て い る が ， そ の 他 に

も 境 界 内 部 に 径 路 積 分 の た め の 径 路 の 要 素 分 割 が 必 要 と な る た め ， 余 分 の デ ー タ 入 力 の 労 力 と 計 算 時 間 が 必 要 と な る こ と や ， 境 界 要 素 法 に よ っ て 内 点 の 応 力 を 求 め る 際 に ， 境 界 に 非 常 に 近 い 点 で は 計 算 の 際 に 特 異 積 分 が 現 れ 精 度 が 低 下 す る た め に ， 径 路 積 分 の 計 算 値 の 精 度 が 必 ず し も 他 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 法 に 比 べ て 高 く な い こ と な ど も そ の 理 由 で あ る と 思 わ れ る .

し か し な が ら ， エ ネ ル ギ 法 や 径 路 積 分 法 は ， 本 来 ， 比 較 的 組 い 要 素 分 割 で も 精 度 の 高 い 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る 長 所 を 有 し て お り ， また， J積 分 法 な ど は ， 非 線 形 問 題 へ の 拡 張 が 可 能 で あ る な ど ， 境 界 要 素 法 に お い て も こ れ ら の 手 法 が 活 用 で き る よ う に す る こ と は 意 義 が あ る と 考 え ら れ る .

ま た ， 異 種 材 界 面 き 裂 に 対 す る 径 路 積 分 法 の 適 用 法 と し て ， Chen  and  Shield  [ 2 ] に よ っ て 均 質 体 中 の 混 合 モ ー ド き 裂 の 解 析 法 と し て J積 分 法 を 改 良 し た 方 法 と して提案され， Yau  and  Wang[3]に よ っ て 異 種 材 界 面 き 裂 の モ ー ド 分 離 に 応 用 さ れ たMl積 分 法 が あ る . 本論文では， こ の 方 法 を 用 い る こ と に よ っ て 異 種 材 界 面 き 裂 の 解 析 を 行 っ た .

‑128 ‑

8.  2  内 点 の 変 位 ・ 応 力 の 精 度 の 改 善

8.  2.  1 解 析 方 法

境 界 要 素 法 に J積 分 法 を 適 用 し ， 高 い 精 度 の 解 を 得 る た め に は 内 点 の 変 位 ・ 応 力 の 解 析 値 が 高 い 精 度 を 有 す る こ と が 前 提 条 件 と な る . 物 体 力 を 無 視 し た 境 界 要 素 法 解 析 に お け る 離 散 化 さ れ た 積 分 方 程 式 は ， 次 式 の よ う に 示 さ れ る .

C i; ( 川 (げP)

+  会れ ( げ f r

^九昆k.P i ; t (げP.Q)川Uj(ωQ)

は

d九 N r ̲ 

= 

t ; r  

{Jr k. Ui;~

( P .  Q) 

pj 

(Q) 

dfkJ  (8.1)  こ こ で，P j， U j ， は 表 面 力 ベ ク ト ル と 変 位 ベ ク ト ル ， P i /'， Uij'f.は基本解，

C_{ijは 係 数 ，}Pは基本解の特異点， Qは 境 界 上 の 点 を 示 し て い る . また， f且は 境界要素を表し， fl‑‑fNに よ っ て 境 界 は 閉 じ ら れ て い る . こ の と き ， 点P_が 近 接 す る 境 界 要 素 に お け る 積 分 は 特 異 積 分 と な る . 境 界 上 の 変 位 と 表 面 力 を 求 め る 際 は ， 剛 体 移 動 条 件 を 用 い る こ と に よ っ て 特 異 積 分 の 処 理 を 間 接 的 に 処 理 で き る た め 精 度 上 の 問 題 は 少 な い が ， 境 界 近 く の 内 点 の 変 位 ・ 応 力 を 求 め る 際 に は ， こ の 特 異 積 分 の 処 理 が 問 題 と な る . こ の 解 決 策 と し て ， 要 素 の サ ブ エ レ メ ン ト 分 割 を 行 う 方 法 や 二 重 指 数 関 数 積 分[4][5]を 用 い る こ と に よ っ て 特 異 積 分 を 処 理 す る 方 法 が 提 案 さ れ て い る . 本 論 文 で は ， 新 た に 適 応 的 自 動 積 分[1]によって特 異 積 分 を 行 う 方 法 を 提 案 す る. な お ， 解 析 の た め の 境 界 要 素 は ， い ず れ も 二 次 要 素 を 用 い ， 計 算 は 倍 精 度 で 行 っ た .

本 解 析 に 用 い た 境 界 要 素 法 コ ー ド は ， 特 異 点Pと 積 分 対 象 の 境 界 要 素 の 距 離 に . よ っ て 積 分 点 の 数 を2‑‑10ま で 変 化 さ せ た Legendre‑Gauss積 分 を 用 い ， 点Pと境 界 要 素 が 近 接 す る 場 合 に は 次 に 示 す 四 つ の 方 法 で 処 理 し た .

(α)  積 分 点 数 10のLegendre‑Gauss積 分

(b) 

Fig.8.1に 示 す よ う な サ プ エ レ メ ン ト 分 割 を 行 っ て 各 サ プ エ レ メ ン ト に 6点 の Legendre‑Gauss積 分 を 用 い る .

(  c  ) 

二 重 指 数 関 数 積 分 公 式 を 用 い る . ( d )  適 応 的 自 動 積 分 を 用 い る .

上 記 の (α) ( b ) に つ い て は ， 特 に 説 明 の 必 要 は な い と 思 わ れ る の で ， (c)  (d)  に つ い て の み 簡 単 に 説 明 す る .

まず， (c) 二 重 指 数 関 数 積 分 は ， 次 式 の よ う な 積 分 を 行 う 際 に

‑ 129  ‑

1=

， L

^f (ξ)dξ 

次 の よ う な 変 数 変 換 を 行 う こ と に よ り 得 ら れ る . ただし ，f (ξ)  は 被 積 分 関 数 で あ り ，1は 積 分 値 で あ る .

ξ=tanh ( ~

^s i nh 

^{t )} 

こ の と き ， 次 の よ う な 二 重 指 数 積 分 公 式 が 得 ら れ る .

N+ 

1 (h) 

= 乞

f(a i)・ωz

i = ‑ N ‑

ai=tanh ( ~

^s i nh 

^{( i}   h ) ) 

( 8.  3) 

ωi = 

h { ~

^cosh (i 

h) レ{ COSh2 ( ~

^sinh (ih))} 

こ こ で ，aiは標本点の座標， ωtは 重 み ， tは 変 換 空 間 で の 座 標 ， hは 変 換 空 間 座 標 で の 標 本 点 の 刻 み 幅 で あ り，1 (h)  は 刻 み 幅hで の 数 値 積 分 値 を し め す .

E  E  ^{Q  u  a  d  r  a  t  i  c} 

。 。 。 Boundary 

c = l   ^Element 

S U B ‑ l   S U B ‑ 3  

S  i  n  g  u  ¹  a  r  i  t  y 

~

。

S U B ‑ 2   S U B ‑ 4   a  t  N o d e  

S U B ‑ l   S U B ‑ 2   S U B ‑ 5   S U B ‑ 6  

。↓ ￨↓b‑.‑d↓￨  ↓。 S  i  n  g  u  1  a  r  i  t  y 

/T~

a t   N o d e  

^II 

S U B ‑ 3   S U B ‑ 4  

Fig.  8.1  An  example  of  sub‑element  division  for  a boundary  element  containing singularity  at node  1 or  II 

‑130  ‑

(  i  )  や

(  i  i  )  (  i  ) 

Fig. 8.2  Concept  of  adaptive  automatic  integration. 

また ， i =‑N‑‑‑‑N+は 標 本 点 の 番 号 で あ り ， 変 換 空 間 座 標 tと 刻 み 幅hの 聞 に は t 

= 

i h の 関 係 が あ る .

こ こ で ， 重 みωiは， iの 増 大 に と も な っ て 急 速 に 減 衰 す る た め ， N+， N‑は 適 当 な 大 き さ で 打 ち 切 る こ と が で き る . ま た ， 分 点 の 座 標^{Q i}お よ び 重 みωiはあら かじめ計算し， Data  Fi leと し て 準 備 す る こ と に よ っ て 無 駄 な 計 算 時 間 を 消 費 し な い よ う 配 慮 し た . 実JIみ 幅hは ， 次 式 の よ う な 基 準 を 満 た さ な い 場 合 は hn+ 1 

=(1/2)hnに 分 割 し ， 自 動 的 に 目 的 の 精 度 を 達 成 す る よ う に し た ( た だ し ， ho=O.5， n=O‑‑6). 

l 

^{f(hvl)‑I(れ}

L I

^{云 r}

1 (h 

n) 一 ー

ここで ， eは 目 的 精 度 で あ る .

(8. 5) 

二重 指 数 関 数 積 分 で は ， 変 換 空 間 で の 標 本 点 が 等 間 隔hで と ら れ る た め ， 前 の ス テ ッ プ で 計 算 し た 標 本 点 の 関 数 値 は そ の ま ま つ ぎ の ス テ ^yプ に 持 ち 越 さ れ る .

また， ( d ) 適 応 的 自 動 積 分[1] と は ， 被 積 分 が 積 分 区 間 内 に お い て 特 異 性 を も っ 場 合 に ， 特 異 性 を も っ 部 分 を 自 動 的 に 再 分 割 す る 事 に よ っ て 自 動 的 に 目 的 の 積 分 精 度 を 確 保 す る 数 値 積 分 方 法 で あ る . この積分方法は， F i g.  8.  2に 示 す よ う な 簡 単 な メ カ ニ ズ ム で 達 成 さ れ る . 例えば， 5点 の Newton‑Cotes積分の場合，

( i ) の よ う に 積 分 区 間 に 等 間 隔 に 積 分 点 が 配 置 さ れ る . 次に， (i i )のように(i )  の 積 分 点 の 中 間 に 新 た に 積 分 点 が 配 置 さ れ ， 積 分 区 間 は 2等 分 さ れ る . ここで，

Eq. (8.5)と 同 様 に (i )と(i i ) の 計 算 値 の 差 が 許 容 誤 差 内 に あ れ ば 計 算 を 打 ち 切 り ， も し そ う で な け れ ば ( i i ) の 二 つ の 区 聞 を そ れ ぞ れ (i ) の 一 つ の 区 間 と 考 え て 再 分 割し， こ れ を 繰 り 返 す 事 に よ っ て 特 異 性 の 高 い 部 分 は 細 か く ， そ う で な い 部 分 は 粗 く 分 割 し ， 必 要 な 積 分 精 度 を 得 る Newton‑Cotes積 分 の よ う に 等 分 割 に 積 分 点が 配 置 さ れ る 積 分 法 に よ る 適 応 的 自 動 積 分 で は ， 二 重 指 数 関 数 積 分 同 様 ， 前 の

ステ ップで計算 し た 標 本 点 の 関 数 値 は ， そ の ま ま つ ぎ の ス テ yプ に 持 ち 越 さ れ る .

‑ 131  ‑

数 値 積 分 に お け る 計 算 時 間 の ほ と ん ど は ， 保 本 点 の 関 数 値 の 計 算 に 費 や さ れ ， こ れ に 比 べ る と 標 本 点 の 関 数 値 に 重 み を か け て 和 を と る と い う 操 作 の 計 算 時 間 は 無 視 で き る 程 度 で あ る の で ， こ の 性 質 に よ っ て ， 効 率 的 な 数 値 積 分 が 行 え る .

本 手 法 で は ， 任 意 の 関 数 に 関 し て ， 二 重 指 数 関 数 積 分 お よ び 9点Newton‑Cotes 積 分 に よ る 適 応 的 自 動 積 分 を 行 う 汎 用 の サ ブ ル ー チ ン を 開 発 し ， こ れ に よ り ， 境 界 近 く の 内 点 の 解 析 を 行 う 際 の 特 異 積 分 を 処 理 し た.

8.  2.  2 解 析 結 果

特 異 積 分 の 処 理 方 法 と 内 点 の 解 析 精 度 の 関 係 を 調 べ る た め に ， F i g.  8.  3に 示 す よ う な 矩 形 板 が 一 様 引 張 り を 受 け る 場 合 の 内 点 の 変 位 ・ 応 力 の 解 析 を 行 っ た . F i g.  8.  4に 示 す よ う に ， 境 界 上 の 節 点 に 向 か つ て 解 析 対 象 点 を 近 づ け る 例 と し て ， χt =4.0(mm)の線上を節点、に向かつてχ2→ Oに 近 づ け る 場 合(Case1)を， また，

節 点 か ら わ ず か に 離 れ た 境 界 上 に 近 づ け る 例 と し て ， χt=4.2(mm)の 線 上 をX2→

Oに 近 づ け る 場 合(Case 2)の 解 析 を 行 っ た . 解 析 結 果 の う ち，χ2座 標 の 変 化 に 対 す る χ2方 向 変 位U2の 精 度 の 変 化 をFigs. 8.5， 8.7に， また，そ の 場 合 の 一 つ の 内 点 の 解 析 を 行 う た め に 必 要 な 境 界 積 分 の 総 積 分 評 価 点 数 をFigs. 8.6， 8.8に 示 し た . ま た ， 二 重 指 数 関 数 積 分 お よ び 適 応 的 自 動 積 分 に お け る 解 析 の 目 的 精 度 は ε =l.OX10‑⁴とした.

w  =  l ~ ( mm)

σ 。 = ~， ~~7(MPa)

制￨ E  =    . 1 _{~ô x l~ lJ (MPa )}

円 I y y + H I ^{X1  ν =   O .   3} 

σ 。 Plane  Stress 

Fig.  8.3  A rectangular plate under uniform tension. 

‑ 132 ‑

0 0 0   A  B 

0 

u  n  d  a  r  y 

E I   ement  ー 。 う

6  .  0 

X  1  (  m  m )  

e 

χ 1  

A boundary  element  mesh  for  a rectangular  plate.  8. 4 

F i g. 

(  a )  

/ ' ¥ /  

FOR DISPLACEMENT 

Xl=4.0  (mm)  5 0  

。

(災)ぽ

O E U

1 0   10‑ ¹ 

1  0‑

⁴ 

1  0‑

³ 

1  0‑

² 

X2(mm) 

1 0 ‑ ⁵ 

にU

ハ

U01I 

Rd  

Fig. 8.5  Influence  of  distance  between an  internal point  and  the  boundary  on  the  accuracy  of  the displacement  solution U2 (Xl =4. Omm) 

133  ‑

i  ^X  l=4.0(m m) 

/  ( d )  

い~--ーヂ-~ ( c )  

ドキュメント内 境界要素法による応力拡大係数の解析(界面き裂への 適用) (ページ 134-141)