最尤推定モデル (MLE): Logit, Probit, Tobit

ットを与えられた場合(例、年齢、収入、クレジットカード、あるいは抵当貸 し付け権者の教育レベル)、最高尤度測定（MLE)を使用して債務不履行の確立 をモデル化することができます。反応、あるいは従属変数Yが 2値である場合、

1と0の2法だけの確立的な結果しかでません(例、Yは、特定の条件の存在/不 在、以前のローンの債務不履行/否・債務不履行、あるディバイスの成功/失敗、

概観のはい/いいえの答え等)。また、従属変数回帰 X のベクトルを所持する事 で結果 Yを影響すると定義されています。最も一般的な最小 2乗回帰アプロ ーチは、回帰エラーが不均一分散性であり非・正常である為、無効で、測定さ れた確率測定は、1 以上、0 未満の無意味な値が結果として出ます。MLE 分析 は、これらの問題を従属変数が有限である時にログの尤度機能を最大化する為 に反復ルーチンの最適化を使用を操作します。

ロジット、あるいはロジスティック回帰は、データーをロジスティック曲線に 適合する事でイベントの発生確立を予測する為に使用されます。これは、2 項 式回帰にの為に使用される一般化された線形モデルであり、様々な回帰分析の 形式と同様に、数的、あるいは分類的のどちらかでなければいけない様々な予 測変数を利用します。2 値の多重ロジスティック分析で適応された MLE は、

特定のグループに属する予測された成功確率を定義する為に従属変数をモデル 化するために使用されます。ロジットモデルの為の測定された係数は、ロガリ ズミック確立の比率であり、確立と言う率直な解釈ではありません。初めに簡 単な計算を必要とし、アプローチは簡易です。

明確には、ロジットモデルは、測定された Y= LN[Pi/(1–Pi)] 、あるいは、逆に

言うと、Pi = EXP(測定された Y)/(1+EXP(測定された Y))として定義され、係数

βi は、ログ確立の比率である為、アンチログ、あるいは、EXP(βi)を取る事 で、Pi/(1–Pi)の確立の比率を得る事ができます。これは、βiのユニットを増加 するとログの確立の比率もこの値から増加する事を示しています。最後に、確 立での変換の比率は、dP/dX=βiPi(1–Pi)です。標準エラーは、予測された係数 がどれほど正確なのかを測定し、t 統計は、これらの標準エラーへの予測され た各係数の比率であり、測定された各パラメーターの重要性の一般的な回帰仮 説検定の為に使用されます。特定のグループに属する為の成功確率を測定する には(例、一年間に吸った煙草の本数を与え、喫煙者が肺気管の病気を発生す るかどうかを予測)、測定されたY値をMLE係数を使用して、計算します。例 えば、Y=1.1+0.005(タバコの本数)がモデルの場合、一年間に 100パックを消費 する人は、1.1+0.005(100)=1.6.が測定された Y と記述されます。次に、確立の 比率のアンチログを計算します。これは、EXP(測定された Y)/[1+EXP(測定さ

証に相当する人物は、83.20%の確立で肺気管の病気を発生する可能性を持って います。

プロビットモデルは(ノーミットモデルとも知られています)、プロビット回帰 と呼ばれるアプローチの最高尤度の測定を使用したプロビット機能を利用する 2 値対応モデルの為の代わりのポピュラーな詳述です。プロビットとロジステ ィックモデルは、とても相似した予測を生成し、ロジスティック回帰で測定さ れたパラメーターは、適切なプロビットモデルよりも 1.6 から 1.8 回上回りの 傾向を表示します。プロビットとロジットのどちらを使用するかは都合により、

最も明らかな区別は、ロジスティック分布は、極度な値を計算する為に、高い 尖度(ファット・テール)を持っています。例えば、モデル化の対象が家主の判 断とし、この反応変数は、2 値であり(家の購入、あるいは家を購入しない)、

収入、年齢等の従属変数Xiのシリーズ上に従属し、Ii=β0+β1X1+...+βnXnと 示し、Iiの値が大きいほど、家主の確立が高くなります。各家族に、重要な I*

のスレッショルドを存在させ、もしも、この値を超えた場合、家が購入され、

逆に、超えない場合には、家が購入されません。結果確立(P)は、正規的に分 配されていると定義されており、Pi=CDF(I)の様に標準正規蓄積分布関数(CDF) が使用されています。従って、測定された係数を回帰モデルと測定されたY値 を 全 く 同 様 に 使 用 し 、 標 準 正 規 分 布 を 適 用 す る 事 が で き ま す(Excel の

NORMSDIST 機能、あるいは、リスクシミュレーターの分配的な分析ツールを

正規分布を選択し、平均値を０と標準偏差を 1 と設定し、利用してください)。

最後に、プロビット、あるいは、確立的なユニットの測定を得るには、Ii+5 と 設定します(これは、たとえ確立がPi < 0.5でも、測定される結果が負の数とな る為、正規分布は、０の平均値の周辺では対照的になります)。

トビットモデル(断ち切りトビット)は、計量経済学とバイオメトリックスのモ デル化技法で、非・負の従属変数 Yiと 1つ、あるいはそれ以上の独立変数 Xi の間の官益を記述する為に使用されます。トビットモデルは、計量経済学モデ ルであり、従属変数は断ち切られています。従属変数が断ち切られているのは、

０より低い値は観測されないからです。トビットモデルは、隠された観測でき ない変数 Y*が存在する事を定義しています。この変数は、βi係数のベクトル を経て Xi 変数上で線形的に従属しており、相互関係を定義します。また、正 規的に分配されたエラーの概要 Ui があり、この相互関係上のランダムな影響 を取得します。観測できる変数 Yi は、画されている変数に相当する為に定義 されており、たとえ、画されている変数が０を上回っているとしても、Yiは、

0 として定義されます。これは、Yi=Y*,if:Y*>0 で、Yi=0,if:Y*=0 だからです。

Xi上で観測できるYiの相互関係のパラメーターβiは、通常の最小2乗回帰の

使用によって測定され、回帰測定の結果は、矛盾が多く、利回りの下向き方向 のバイアスされたスロープ係数と上回りのバイアスされた妨害が表示されます。

MLE だけが、トビットモデルに調和し、トビットモデルでは、シグマと呼ば れる補助的な統計が存在し、標準的な最小 2 乗回帰での測定の標準エラーに相 当し、測定された係数は、回帰分析と同様に使用されます。

 Excel を起動し、例証ファイルの高度な予測モデル、MLE のワーク

シートを開き、ヘッダーを含めたデーター設定を選択し、リスクシ ミュレーター | 予測 | 最高の尤度を選択してください。

 下記のリスト(図 3.20 を参照)から従属変数を選択し、OK をクリッ クして、モデルとレポートを実行してください。

図3.20 最高尤度のモジュール