携帯電話の呼損率

携帯電話の使用回線数の時間変化

もしこのシステムが時間的に安定（平衡とも言います）しているとすると、単位時間（たとえ ば、１分）あたりの呼の到着数は一定と考えても良いので、それを定数λで表すことにします。

十分に長い時間を観察したとき、使用中の回線がkである時間帯の合計をT_kとしましょう。そ の間に到着する呼の数はだいたいλT_k^{で、到着すると状態は}k^からk+ 1^{へ推移しますので、状} 態k^から状態k+ 1^{へジャンプする回数は}λT_k^{回あります。}

一方、状態k^からk−1への推移が起きるのは、通話中のk回線のどれかが通話を終了すると いうことです。たとえば、１通話の平均時間を3^{分とすると、}1^分間ではk^{回線のうちの}3^分 の1が通話を終えるはずです。一般に、１通話の平均時間をm^{分とすると、}1^分間でk/m^回線 が通話を終えるはずです。したがって、Tk時間の間に状態k^から状態k−1^{へ推移する回数は} Tk×k/mと言って良いでしょう。

ところで、上の図でも分かるように、状態k−1(≥0)から状態kへ推移する回数と、状態k から状態k−1へ推移する回数は同じです（状態が2以上変化しないと仮定したから！）。した がって、上の考察を参考にして

λT_k−1= k mT_k

という式が成り立っていることが分かります。観測時間全体の長さをT ^{とすれば、}T_k/T ^は使用 回線数がkの確率と考えることが出来るのでそれをp_k^{と書くと、}M を使用可能な回線数として

p_k= λm

k p_k−1 (k= 1,2, ..., M)

という漸化式が得られました。この連立方程式を平衡方程式と言います。この方程式を導くため に仮定した条件（性質）はマルコフ性と呼ばれ、待ち行列事象の分析には欠かせない道具になっ ています。

9.5.2 平衡方程式を解く

a=λm と置くと

p_k= a

kp_k−1= a k

a

k−1p_k−2=· · ·= a^k

k!p₀ (k= 1,2, ..., M)

となりますが、Tkを合計すると観測時間全体になるので、pkを合計すると1^{にならなければい} けません。そこで、

p₀+p₁+· · ·+p_M = 1

という確率条件の式にこれらの式を代入すると、

p₀= µ

1 +a+a² 2! +a³

3! +· · ·+a^M M!

¶₋₁

したがって、

pk=

a^k k!

1 +a+a² 2! +a³

3! +· · ·+a^M M!

(k= 0,1, ..., M)

が導かれます。

9.5.3 呼損率

携帯電話の回線設計で一番重要な指標の一つは、通話要求の何パーセントに回線を提供できる か、あるいは何パーセントの通話要求を断らなければいけないか、という数値です。後者の比率 を呼損率と言う、ということは前に説明しました。呼が到着したときにM ^{本の回線がすべてふ} さがっているということが呼損の条件ですから、上で計算したことにより、呼損率は

pM =

a^M M! 1 +a+a²

2! +a³

3! +· · ·+a^M M! によって与えられることが分かります。

a= 1つまり、一人の通話時間中に平均一人が新たな通話要求をするとした場合、95%^の通話 要求がつながるためには回線が何本あればよいか、というような問題を、この呼損率公式を使っ て解くことが出来ます。a= 1を上の式に代入して、p_M <0.05となる最小のM を求めればよ いのです。

M 1 2 3 4

pM 0.5 0.2 0.0625 0.0154

計算の結果はM = 4^{となります。}95%^{ということは}20の通話要求のうち一つは犠牲にしても 良い、ということです。年末年始の特別な場合を除いて携帯電話でつながらない、ということは ほとんどないので、この5%はつながらないというのはかなりサービスの悪い施設ということに なり、客を失うかもしれません。

一人の通話時間を１分くらいとすると、a= 1ということは１分間に一人通話要求をするとい うことで、現実離れしていますが、たとえばa= 20というような値でも上の式を使って直ちに 計算することが出来ます。その結果、aの値、つまり需要量がある程度正確に把握できれば、要 求サービス品質（5%^{にするのか}1%^{、あるいは}0.01%にするのか）によって、最適な回線数が 計算される、というのがこの式のすごいところです。

この式はアーランの損失公式（呼損式）と呼ばれています。アーランErlang^{は１世紀前のス} エーデンの電話技師で、電話交換機の設計問題を解くためのモデル化を考え、評価式を導きまし た。この公式に含まれるaは単位時間あたりの通話要求の個（呼）数λ^{と平均通話時間}m^の積 によって与えられる定数で、呼量と呼ばれ、回線の使用頻度（混雑度合い）を表すパラメータで す。この呼量の単位は、アーランの先駆的な業績を讃えてアーランと名付けられています。この たった一つのパラメータさえ分かれば、回線の数をいくつにしたとき呼損率はいくつになる、と いうことがたちどころに分かってしまうという意味で、画期的な公式です。

実際、この公式はリトルの公式と同じように、とてもシンプルですが、有用な公式として、回 線設計の問題に使われています。人間の気まぐれな、しかしそれなりに意図的な行動から決まっ てくる、複雑に絡み合った集団の動きが、確率論を使った単純なモデルによって説明できている というのも、興味深いものがあります。

練習9.11 平衡方程式が成り立つことを説明し、それを解くことによって、呼損率pM の式が上 の式で与えられることを導きなさい。

解答：

練習9.12 a= 20^{のとき、呼損率を}0.05以下に抑えるためには回線の数M ^{をいくつ以上にす} る必要がありますか、Excelを使って計算しなさい。

解答：

9.5.4 参考

呼損率の計算には、次のような漸化式が便利です。

1

p_M =1 +a+^a_2!² +^a_3!³ +· · ·+_(M−1)!^aM−1

a^M M!

+ 1 = 1 +M a

1 p_M−1

⇒p_M = 1 1 + _ap^M_M−1