バスや電車が来ると待っている人が全部いなくなるように、待っている客を全部一時に処理し てしまうようなサービスシステムをクリアリングシステムといいます。バスの定員は制限が無 く、いくらでも乗れるものとすると（解析のための理想化！）、このシステムで客の待ち時間は、
その客の到着時刻とバスの到着時刻だけから決まり、ほかの乗客の振る舞いには無関係です。こ の場合の待ち時間を計算してみましょう。
ここで問題：ピッタリ10分間隔で到着するバスを待つ場合と、平均10分間隔で不規則に到着 するバスを待つ場合とでは、平均的にみてどちらの待ち時間が長いと思いますか。もちろん、あ らかじめバスの発車時刻は分からないものとします。次の三つの中から選んでください。そう考 える理由もメモしておいてください。
(1)どちらも同じ (2)ピッタリ来る方が短い (3)不規則の方が短い
ピッタリ10分間隔ならば、バスの発車直後に停留所に到着する不運な客と、発車直前に到着 する幸運な客のバランスをとって、平均的な待ち時間は5分というのは納得するでしょう。到着 間隔がばらついたときどうなるでしょうか。
もし、間隔が5分と15分が交互に現れるとすると5分間隔の間に到着する客の待ち時間は平 均的に2.5分、15分間隔の間に到着する客の待ち時間は平均的に7.5分、だからその平均をとれ ば5分、したがって、バスの到着間隔がばらついても乗客の平均待ち時間は変わらない、という 推論は正しいでしょうか。
練習9.6 バスの到着間隔が5分と15分を交互に繰り返すものとします。下の図の横軸は5分 刻みの目盛が付いた時間軸で、バスは図の矢印の時刻に到着するとします。時刻tに到着する客 の待ち時間をW(t)とするとき、W(t)のグラフを図に記入しなさい。
解答：
練習9.7 上のグラフの平均的高さを計算しなさい。その結果と、きっちり10分間隔で到着する 場合の平均待ち時間の関係を説明しなさい。
解答：
練習9.8 バスの到着間隔が2分と18分が交互に繰り返す場合に同じ計算をしなさい。一般にx 分と20−x分が交互に繰り返す場合はどうなりますか。
解答：
練習9.9 これらの計算結果から、バスの到着の不規則性と待ち時間の関係について分かったこ とを説明しなさい
解答：
バスの発車直後を０とし、5分後、20分後、25分後、40分後にバスが到着するものとします。
その間に40人の客が１分間隔で到着するものとしましょう。１台目のバスに乗る人の待ち時間 は平均すると2.5分、２台目のバスに乗る人の待ち時間は平均すると7.5分、のように計算する と、１台目、３台目に乗る乗客10人の平均待ち時間は2.5分、残り30人の乗客の平均待ち時間
は7.5分、結局40人全体の平均待ち時間は
2.5×10 + 7.5×30
40 = 6.25
となり、10分の半分より長くなりました。
問題を提示した直後の推論では、平均2.5分の待ち時間と、平均7.5分の待ち時間を単純に平 均して結論を導きましたが、それが間違いの元でした。客の平均待ち時間ですから、すべての客 の待ち時間の平均になっていなければいけません。間隔が長い区間に到着する客の方が短い間隔 の区間に到着する客の数より多いのですから、その数によって重みを付けなければ、「客の」平 均待ち時間にならないのです。
さて、この議論を一般化してみましょう。時刻0から時刻TまでにバスがN 台到着したもの として、その到着時刻をt1, t2, ..., tN、到着間隔をxk =tk−tk−1とします。乗客は単位時間当 たりa人来るとすると、k台目のバスに乗る客は約axk人、その人たちの平均待ち時間はxk/2 として良いでしょう。そうすると、N 台のバスに乗る約aT 人の平均待ち時間は
1 aT
XN k=1
³axk×xk 2
´= 1 T
XN k=1
x2k 2 = N
T × 1 N
XN k=1
x2k 2 となります。
さて、ここからは確率の話になります。バスの到着間隔X1, X2, ...は確率変数で、その平均 分散をm =E(X), σ2 =V(X)としましょう。上のx1, x2, ...はこの確率変数の標本です。区 間[0, T]の間にバスがN 台来たのですから、T/N はバスの平均到着間隔E(X)にほぼ等しいと 言って良いでしょう。N1 PN
k=1x2kはN が十分に大きいとすれば、大数の法則を使って、X2の 期待値（２次モーメントと言います）
E(X2) =V(X) +E(X)2=σ2+m2
と置き換えても構いません。以上により、バスの平均待ち時間wは次のように表すことが出来 ました。
w= 1 m
E(X2)
2 = 1
2m
¡σ2+m2¢
=m 2
µ 1 +³σ
m
´2¶
ここで、σ/m、つまり標準偏差σを平均mで割ったもの、は変動係数と呼ばれ、「ばらつき」の 大きさを基準化する場合に用いられる尺度です（これにより、象の心臓の重さのばらつきと、「の み」の心臓の重さのばらつきの大きさを正当に評価することができる、ということだったこと思 い出してください）
到着間隔が一定ならばσ= 0ですから、変動係数は0、したがって平均待ち時間はm/2です。
到着間隔がばらつきだすと、上の式の第２項の分だけ平均待ち時間は増加します。もし、σ=m ならば、つまり変動係数が１ならば、２倍になります。このようにして、ばらつきが平均待ち時 間を増大させることを量的に評価することが出来ました。客を待たせることを社会の損失と考え れば、損失を抑えるために、バスの到着間隔をそろえることが重要であることが分かります。
クリアリングシステムとして、工場の出荷を考えてみますと、客つまり製品の出荷を待たせる ことは在庫につながり、損失になります。したがって、安定出荷（生産）、すなわち品質をそろ える、ということがいかに重要か、ということの例にもなっています。
練習9.10 区間[a, b](b > a >0)で一様分布する確率変数の変動係数の2乗が(b−a)2/3/(a+b)2 になることを確かめ、バスの到着間隔が区間[5,15]で一様分布している場合に平均待ち時間を計 算しなさい。到着間隔が平均10の指数分布になった場合はどうですか（指数分布の密度関数は 0.1e−0.1tです）。
解答：