断面二次極モーメントを用いた別解 直径Dの円形断面において，任意の半径rとr+ ∆rの２つの円に囲まれ る円環の微小断面積∆Aはランダウ記号のスモールオーを用いて，
∆A=π(r+ ∆r)2−πr2=πr2+ 2πr∆r+π(∆r)2−πr2= 2πr∆r+π(∆r)2
= 2πr∆r+o(∆r)
のように表され，これは∆r→0のとき，微分記号表記を用いて dA= 2πrdr
のように表記される．円形断面の図心Gを貫くx軸の周りでの断面二次極モーメントIpは，
Ip≡
∫
Ar2dA=
∫ D/2
0 r2×2πrdr= 2π [r4
4 ]D/2
0
=π 2
(D 2
)4
= πD4 32
である．円の図心を通り直交するy軸，z軸に関する断面二次モーメントをそれぞれ，Ix，Iyとすると，対称性 からこれらは等しいので，
Iy=Iz でなければならない．また，r2=y2+z2であるから，
Ip=
∫
r2dA=∫ (
y2+z2) dA=
∫
y2dA+
∫
z2dA=Iy+Iz
= 2Iz が成立する．よって，
Iz=Ip
2 =πD4/32
2 = π
64D4 が導かれる．
図 21: ねじりモーメントが作用する２つの仮想断面で挟まれた微小領域．
3.2.1 中空丸軸のせん断応力分布
せん断応力τ [Pa]はフックの法則
τ=Gγ (22)
により，横弾性係数G[Pa]とせん断ひずみγの積として表される．ここで，θ¯≪1とすると，円形断面の中心 からの距離r[m]における回転形式のせん断ひずみγは半径r，ねじれ角θ¯[rad]の円弧長さθr¯ [m]の丸軸長さ l [m]に対する比として近似され，
γ= tanγ+o(γ) =θ¯
lr+o(θ¯)
=θr+o(θ), (
|γ| ≤¯¯
¯¯θ¯ lr¯¯
¯¯=|θr| ≤¯¯¯r lθ¯¯¯¯≪ r
l ≤ R l
)
のように表される．ここで，θ
θ=θ¯ l
は比ねじれ角と呼ばれ，[rad/m]で表記される単位長さあたりの角度変位の単位であり，通常の丸軸はl > Rで ある．結局，回転形式のせん断応力τはねじれ角θ¯を用いて
τ(r) =G· θ¯
lr (23)
のように表される．今，中空丸棒に外力たるトルクT が作用しており，これとせん断応力分布τ=τ(r)に基づ く円形断面の力のモーメント和がつりあわねばならない．すなわち，
T−
∫
Aτ dA·r= 0 が成立する．ここで，dA= 2πrdrであるので，ねじりモーメントTは
T =
∫
Aτ(r)·r·dA=
∫ R
nRG· θ¯
lr·r·2πrdr=Gθ¯ l
∫ R
nR2πr3dr=Gθ¯ l ×2π
[r4 4
]R
nR
=Gθ¯ l ·π
2R4( 1−n4)
=Gθ¯
l ·Ip(R, n) すなわち，
T =GIp
θ¯
l, θ¯= T l
GI , ( Ip=π
2R4(1−n4))
(24)
のように表される．括弧内の断面二次極モーメントIpの導出は次節を参照せよ．上式を用いて，応力の式を書 き直すと，
τ(r) = T
Ipr (25)
が得られる．0< n <1の中空丸軸，n= 0相当の中実丸軸の両方とも，最大せん断ひずみτmaxはr=R=d/2 のときに生じ，
τmax= T IpR= 2
π· T
R3(1−n4) (26)
と表される．同様にねじれ角θ¯(≡lγ/r)は θ¯= T l
GIp = 2
π· T l
GR4(1−n4) (27)
と書け，比ねじれ角θ (≡θ/l)¯ は
θ= T GIp = 2
π· T
GR4(1−n4) (28)
である．
3.2.2 中空丸軸の断面二次極モーメントの導出
断面積A，長さl，半径Rの丸軸の位置xの円形仮想断面において，半径がrとr+ ∆rの円に囲まれる円環 の微小断面積∆Aは
∆A=π(r+ ∆r)2−πr2=πr2+ 2πr∆r+π(∆r)2−πr2= 2πr∆r+π(∆r)2
= 2πr∆r+o(∆r)
のように表され，これは∆r→0のとき，微分記号表記を用いて dA= 2πrdr
のように書き直される．今，x軸に垂直なyz平面上に円形断面が存在し，その直径がd(= 2R)である中実丸軸 の断面二次極モーメントIpを考えると，Ipとは円形断面の中心軸であるx軸周りにおける距離の二乗のモーメ ントを意味するから，
Ip≡
∫
Ar2dA=
∫ d/2
0 r2·2πrdr= 2π [r4
4 ]d/2
0 = π 2
(d 2
)4
=π 2R4
= 1 2
(πR2) R2= 1
2AR2 (
=
∫
A(y2+z2)dA )
である．これに対して，断面内直径（中空直径）d1と断面外直径d2 (> d1)を有する中空丸軸の断面二次極モー メントは
Ip=
∫ d2/2
d1/2 r2·2πrdr=
∫ d2/2
d1/2 2πr3dr= 2π [r4
4 ]d2/2
d1/2=π 2
{(d2
2 )4
− (d1
2 )4} となる．今，R=d2/2であり，かつ，内直径の外直径に対する比を
n = d1 (<1)
図22: 端部から一定の仮想断面に力のモーメントが作用する丸軸．
と書くとすると，nR=d1/2となり，中空丸軸の断面二次極モーメントは Ip(R, n) =
∫ R
nRr2·2πrdr=θ¯ l
∫ R
nR2πr3dr= π
2R4(1−n4)
のように書き直され，これは，n= 0に相当する中実丸軸の断面二次極モーメントの(1−n4)倍である．中実丸 軸の直径dと中空丸軸の外直径d2が等しいならば，0 < d1 < d=d2であるから，中実丸軸の断面二次極モー メントが中空丸軸のそれより大きいのは自明であるが，同じ断面積の中実丸軸と中空丸軸について比較した場合 には，
π (d
2 )2
=π (d2
2 )2
−π (d1
2 )2
d21+d2=d22, d2
d22 = 1−n2 であるから，0< d1< d < d2であり，
∫ d2/2
d1/2 r2·2πrdr
∫ d
0 r2·2πrdr
= π 2
(d22 2
)4
(1−n4) π
2 (d2
2
)4 =d22 d2
(1−n4)
= 1−n4
1−n2 = 1 +n2>1
であるから，中空丸軸の方が中軸より大きい断面二次モーメントとなる．一般に，部材の重量と材料コストはそ の断面積によって決定されるため，断面積を変更せずに，断面二次極モーメントあるいは断面二次モーメントを 増強したいのであれば，中空化はそれを実現する有効な手段であるため，中空構造の部材がしばしば設計される．
ポイントを学ぶ材料力学・例題3.1 両端A，Bを固定された中空丸軸の任意の点CにねじりモーメントT が 作用するとき，荷重点Cの回転角θ¯を求めよ．
解答 ねじりモーメントに関するつりあいの条件式
T−TA−TB= 0 と点Cにおける両側のねじれ角が等しいので，
θ¯ = ¯θ = ¯θ
が成り立つ．θ¯A，θ¯Bはそれぞれ，TA，TBによって生じたものであるから，
T Ip =
∫
A{τ(r)·dA} ·r
∫
Ar2·dA =
∫
AGγ·rdA
∫
Ar2·dA =
∫ R
nRGθ¯
lr·r(2πrdr)
∫ R
nRr2·2πrdr
=Gθ¯ l
θ¯A=θAa=TAa GIp θ¯B =θBb= TBb GIp
と書けるので，θ¯A= ¯θBと連立させ，
TAa=TBb
が得られる．これとねじりモーメントに関するつりあい条件式を連立させて，
TA= b a+bT TB= a
a+bT であるので，
θ¯= a
GIpTA= a GIp · b
a+bT = ab GIp(a+b)T
が得られる．中空円柱の外直径と内直径をそれぞれd2，d1とすると，断面二次極モーメントIpは Ip=
∫
Ar2·dA=
∫ d2/2
d1/2 r2·2πrdr= 2π [r4
4 ]d2/2
d1/2= π 2
{(d2
2 )4
− (d1
2 )4}
であるので，これを上の式に代入して，
θ¯= abT G(a+b)· 1
Ip = abT
G(a+b)· 2·24
π(d42−d41) = 32ab
πG(a+b) (d42−d41)T を得る．