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実効的双曲型作用素の初期値問題

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Academic year: 2024

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C∞ が適切であるためには、その微分演算子の主シンボルは、p(x, ξ) の特性変化のすべての点における基本行列 (今日ではハミルトニアン行列と呼ばれることが多い) です。オペレーターの体重を使用します。エネルギー法と特異点伝播結果を使用します。

初期値問題の適切性

P の初期値問題は適度に原点に近く、x0 方向の C∞ P の初期値問題は適度に原点に近い。この時点で原点。

初期値問題の可解性

P の初期値問題が原点付近の x0 方向の C∞ に適しているとします。次に、それぞれの f(x)∈C0∞(ω) と uj(x')∈C0∞(ω∩ {x0=τ}) について、古典的な初期値 を の開区間とする次の問題を解きます。最初の定理と同じ仮定の下で。

波面集合 11

古典的擬微分作用素

この場合、任意の k∈N に対して a∈Sm0 および a−X.0 aj となるような a∈Sm が存在するというステートメントであるとします。

波面集合

が続きます。 Nは任意なので引数を示します。ことに注意してください。任意の N ∈N に対して、F(βiκ∗u)(ξ)≤Chξi−Nkvkq が成り立ちます。

1階双曲型作用素 21

解作用素の有限伝播性

前のセクションでは、P =Dt+ op(λ(t)) の初期値問題を解決しましたが、この解演算子は初期値が G です。ここで、G はいくつかの l∈R とすべての s∈R; について次を満たします。

実効的双曲型特性点 33

実効的双曲型特性点での Hamilton 写像

Fp(ρ) が 0 以外の実固有値を持つ場合、 Γ∩ImFp6={0} まず、λ6= 0 が実固有値のとき、−λ も Fp の固有値であることを示します。 Fp は実数行列であるため、FpX+=λX+, 06=X+∈V、Q は対称であり、σ は非対称二次形式であるため、Fp は σ および 0 =σ((Fp−λ)X+, Y ) に関して非対称です。 = σ( X+,(−Fp−λ)Y),Y ∈V が成り立ちます。これは、Fp+λ が全射値ではないため、−λ が固有値であることを示しています。固有値がある場合は、C∩KerFp={0 } となります。

実効的双曲型特性点の幾何的特徴付け

存在する場合 (実際に存在します)、この極限が表面 f = 0 にわたることがわかります。命題 4.3.1 の証明を続けます。 dψ が ρ′ で、0 または dxd に平行な場合、オイラーの恒等式により、ℓ = 0、q = a を選択します。

エネルギー評価 43

基本の metric と非負シンボルの平方根近似

という制約のもとで動作すると仮定します。したがって、λhξi−γ1≦M−2が成り立つ。前に約束したように、このセクションでは、(5.1.1) と (5.2.12) に従って動作するパラメータ λ、M、γ に依存しない C が存在し、 A≤CB が成り立つとき、 A≲B を表します。このセクションの最後に、パラメーター λ の値を調整します。命題 4.3.1 で記号 ψ の存在を証明しましたが、この ψ に関連付けられた重みの 1 つ、つまり (5.2.23) がこの場合にも当てはまります。つまり、 ̄b は許容されます。 。

基本の weight

価値があるここでは hξi−γ1≤ωhξi−γ1/2 を使用しました。したがって、s= 2 のときにこのステートメントが成り立つことがわかります。hξi−γ1/2≤ω であるため、ω2 ∈S(ω2, gϵ) であることがわかります。一般的な s∈R の場合、ωs= (ω2)s/2 と書き、その結果を ω2 に適用して、∂xα∂βξωs の推定値を取得します。 。

利用する擬微分作用素の有界性, 可逆性

この本の残りの部分では、主に w=b の場合にこの補題を使用します。が適用されます。これより、h2=q+M−1 を微分すると以下が得られます。これがそうだということを示すのは簡単です。次に、h が許容できないことを示します。これを行うには、補題 5.2.3 の証明 (の一部) を繰り返すことができます。 z = (x, ξ)、w= (y, η) と書くと、有限増分定理より |η|

エネルギー不等式

満足のいくまで選択して修正してください。上記の条件は、そのような n より大きいすべての n に当てはまります。次に、このように選択した n について、上の 2 つの式と補助定理 5.5.8 の c からさらに CM− を計算できるため、このセクションの計算が正当化されます。つまり、補助定理 5.4.2 を適用して修正できることになります。これをマイナス1/2するとνn3−CM−1/2が正となります。この場合、この特性は、選択された M より大きいすべての M に対して当てはまります。最後に、γ ≥ M4 および γ ≥ λM ̄ 2 となるように γ を選択し、それを固定します。 θ はまだ固定されていないが、移動できると仮定します。 M と γ が固定されている場合、正の定数 C と Cs が存在します。したがって、命題 5.5.2 は次のように表すことができる。 。

高次のエネルギー評価

これが成り立つので、証明は明らかです。 。

解の局所存在と一意性 69

有限伝播性

が続きます。ここで δ↓0 を設定すると、次の補題が得られます: F = op(  ̄f)。定理 3.2.1 の証明を繰り返すだけです。まず、単調減少するように ϵ < ϵj < ϵ0 を選択し、j→ ∞ の場合は ϵj↓ϵ を選択します。ここでも Fj=Fϵj,fj =fϵj と書き、これが l+j/4≤s0 となる j に当てはまることを j に関する帰納法によって示します。 fj, gj ∈S0 を定理 3.2.1 の証明と同じとする。 。

解の局所一意性

彼はそれをパスします。したがって、Q がヘッセ行列 p から決定される二次形式の場合、 になります。次に、KσtK =σ であることに注意してください。これは、tK がシンプレクティック行列であることを意味します。これを確認するために、λ′(0)κ′(0) = I とすると、Cκ′(0) は対称行列であると言えます。 したがって、σQ˜ = σtKQK =K−1(σQ)K, σQ˜と σQ は類似しており、それらの固有値は一致します。任意の |y| の根。

擬微分作用素 87

シンボルクラスと擬微分作用素

それを証明するには、ライプニッツの公式を適用するだけです。 2 番目の命題は、ライプニッツの公式を b = 1/a として ba = 1 に適用することにより、帰納法によって簡単に示すことができます。疑似微分演算子 opt(a) を で定義します。ここで、0≤t≤1。

本書で扱う metric

擬微分作用素の合成則

が当てはまります。任意の N に対して h2(X) = supgX/gXσ とします。

擬微分作用素の有界性

クマノソウ ([20]) に従って次の補題を証明しましょう。と表現されます。 2n0 > n であるため、被積分関数は y˜ν−1 に関して積分可能です。 ηj に関して積分を実行するには、Rnηj を 3 つの部分に分割します。 。

擬微分作用素の可逆性

4] L.H¨ormander, Uniqueness theorems and wavefront sets for solutions of linear differential equations with analytic coefficients, Comm. 13] V.Ja.Ivrii, Linear Hyperbolic Equations, In: Partial Differential Equations IV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences,33, Springer (1988), pp. 33] T.Nishitani, Effectively Hyperbolic Cauchy Problem, In: Phase Space Analysis of Partial Differential Equations, vol. II, Publ.

参照

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