利用する擬微分作用素の有界性, 可逆性

と評価できる．同様にg^1/2ϵ,z(w)≥M⁻¹hξi⁻γ^1/2|η|に注意すると|h(z+w)− h(z)| ≤ Chξi^−γ3/2|η| ≤ CMhξi⁻γ¹g^1/2ϵ,z(w)≤ Cω(z)g^1/2ϵ,z(w)を得る． ゆえに (5.3.31)より

|ω(z+w)−ω(z)| ≤Cω(z)g^1/2_ϵ,z(w) (5.3.33) が成立する．(5.3.30)と合わせてωはg_ϵadmissibleである．次にϕについて 考える．ϕ=ω+fよりϕ(z+w)−ϕ(z)は次のように書ける．

(f(z+w)−f(z))(ϕ(z+w) +ϕ(z)) +h²(z+w)−h²(z)

ω(z+w) +ω(z) . (5.3.34)

(5.3.32)より|f(z+w)−f(z)| ≤Chξi⁻γ^1/2g^1/2ϵ,z(w)である．また|h²(z+w)− h²(z)| ≤CMhξi⁻γ^3/2gϵ,z^1/2(w)も容易である．これらの評価を(5.3.34)に代入 すると

|ϕ(z+w)−ϕ(z)| ≤C

hξi⁻γ^1/2

ω(z+w) +ω(z)(ϕ(z+w) +ϕ(z)) + Mhξi^−γ3/2

ω(z+w) +ω(z)

g^1/2_ϵ,z(w)

(5.3.35)

を得る．(5.3.24)よりϕ(z)≥Mhξi⁻γ¹/Cであるから

|ϕ(z+w)−ϕ(z)| ≤C(ϕ(z+w) + 2ϕ(z)) hξi⁻γ^1/2

ω(z+w) +ω(z)g^1/2_ϵ,z(w) が従う．もしChξi^−γ1/2g^1/2ϵ,z(w)

(ω(z +w) +ω(z)) < 1/3 ならばϕ(z + w)/ϕ(z)−1≤(ϕ(z+w)/ϕ(z) + 2)/3より

2ϕ(z+w)/5≤ϕ(z)≤4ϕ(z+w) (5.3.36) が成立する．もしChξi⁻γ^1/2gϵ,z^1/2(w)

(ω(z+w)+ω(z))≥1/3ならばC²gϵ,z(w)≥ hξiγ(ω(z+w)+ω(z))²/9≥2hξiγω(z+w)ω(z)/9であるからϕ(z)≥ hξi⁻γ¹/(2ω(z)) に注意し，自明な不等式2ω(z+w)≥ϕ(z+w)を利用すると

18C²(1 +g_ϵ,z(w))≥ϕ(z+w) ϕ(z) が得られ(5.3.36)と合わせてϕはg_ϵ admissibleである．

証明. まずa⁻¹∈S(m⁻¹, gϵ)は容易にわかる．定理7.4.1よりa#a⁻¹= 1−r, r∈S(M⁻¹, gϵ)と書ける．g_ϵ≤g¯よりr∈S(M⁻¹,g)¯ ゆえ

|r|^(l)_S(1,¯g)= sup

|α+β|≤l,(x,ξ)∈R^2d

hξi⁽γ^{|β|−|α|)/2}∂_x^α∂_ξ^βr≤C_lM⁻¹ が成り立つ．定理7.6.1よりMを適当に大きく選ぶとP_∞

ℓ=0r^#ℓはS(1,g)¯ で 収束するのでk=P_∞

ℓ=1r^#ℓ∈S(1,g)¯ とおく．このとき実はk∈S(M⁻¹, gϵ) であることを示そう．任意のν ∈Nに対して0≤l≤νのとき

suphξi⁽γ^{|β|−|α|)/2}∂_x^α∂^β_ξk≤C_α,β,νM^−1−l, ϵ(α, β)≥l (5.4.37) が成立することを示せば十分である．ここでϵ(α, β)は(5.2.10)で定義したも のである．(7.6.46)より|k|^(l)_S(1,¯g)≤Cl|r|^(l_S(1,¯^′)_g)≤C_l^′M⁻¹を得るのでν= 0の ときは成立する．いま0≤l≤νに対して(5.4.37)が成立すると仮定する．k は (1−r)#(1 +k) = 1, すなわちk=r+r#kを満たすのでこの式より

∂_x^α∂_ξ^βk=∂_x^α∂_ξ^βr+ X

α′+α′′=α,β′+β′′=β

C_α′,β^′ ∂_x^α′′∂_ξ^β′′r

# ∂_x^α′∂_ξ^β′k

(5.4.38) が従う．いまϵ(α, β)≥ν+1とする．右辺第2項を評価しよう．ϵ(α^′, β^′)≥ν+1 なら(5.4.37)より∂_x^α′∂_ξ^β′k∈S(M^−1−νhξi⁽γ^{|α′|−|β′|)/2},¯g)ゆえr∈S(M⁻¹,g)¯ に注意すると ∂_x^α′′∂_ξ^β′′r

# ∂_x^α′∂^β_ξ^′k

∈ S(M^−2−νhξi⁽γ^{|α|−|β|)/2},¯g)を得る．

ϵ(α^′, β^′) ≤ ν の項については (5.4.37)でl = ϵ(α^′, β^′)として∂_x^α′∂_ξ^β′k ∈ S(M^{−1−ϵ(α′,β′)}hξi^{(γ|α′|−|β′|)/2},g)¯ なのでr ∈ S(M⁻¹, gϵ) より定理 7.4.1に よると

∂_x^α′′∂_ξ^β′′r

# ∂_x^α′∂^β_ξ^′k

∈S(M^{−2−ϵ(α,β)}hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2},g)¯

⊂S(M^−3−νhξi⁽γ^{|α|−|β|)/2},¯g)

となる．(5.4.38)の右辺第1項は∂_x^α∂^β_ξr ∈ S(M^{−1−ϵ(α,β)}hξi^{(γ|α|−|β|)/2},g)¯ ⊂ S(M^−2−νhξi⁽γ^{|α|−|β|)/2},¯g)であるから以上より(5.4.37) が0 ≤ l ≤ ν + 1 に対して成立する．したがって帰納法によればすべてのν に対して成立し k∈S(M⁻¹, gϵ)が示された．˜kに対しても同様である．

補題 5.4.2. m_i > 0, i = 1, . . . , lは g_ϵ admissibleで m_i ∈ S(m_i, g_ϵ)と する．mをg¯ admissible でa ∈ S(mm1· · ·ml,¯g)とするとa˜i ∈ S(m,¯g), i= 1, . . . , l+ 1が存在して

a= m₁#· · ·#m_i−1

#˜a_i# m_i#· · ·#m_l

, i= 1, . . . , l+ 1 (m_l+1= 1) と書ける．mがgϵadmissible でa∈S(mm1· · ·ml, gϵ)ならば˜ai ∈S(m, gϵ) で˜a_i= (m₁· · ·m_l)⁻¹a+r_i,r_i∈S(M⁻¹m, g_ϵ)で与えられる．

証明. l = 1とする．補題 5.4.1より m⁻₁¹#(1 + k)#m1 = 1, m1#(1 + k)#m˜ ⁻₁¹ = 1となる k,k˜ ∈ S(M⁻¹, gϵ)がある．˜a1 = a#m⁻₁¹#(1 +k),

˜

a₂ = (1 + ˜k)#m⁻₁¹#aとおくとこの ˜a₁,˜a₂ ∈ S(m,g)¯ が求めるものであ る．mも gϵ admissible で a ∈ S(mm1, gϵ)ならば定理 7.4.1を適用すれ ば ˜a_i −m⁻₁¹a ∈ S(M⁻¹m, g_ϵ) は容易である．m_i がl 個のとき正しいと 仮定しl + 1個のときを考える．a ∈ S(mmi

Ql+1

j=1,j̸=imj,g)¯ でmmiはg¯ admissible であるから帰納法の仮定よりaˆi ∈ S(mmi,g)¯ が存在してa = (m₁#· · ·#m_i−1)#ˆa_i#(m_i+1#· · ·#m_l+1)と書ける．またmがg_ϵ admissi- bleでa∈S(mm1· · ·ml+1, gϵ)ならばˆai∈S(mmi, gϵ)である．従ってaˆiに l = 1のときの結果を適用すれば個数がl+ 1のときも成立することがわか る．

補題 5.4.3. mi > 0, i = 1, . . . , lはgϵ admissibleでmi ∈ S(mi, gϵ)とし {1, . . . , l}=I₁∪I₂でI₁とI₂は互いに素とする．いまmをg¯admissibleと しa∈S(mm1· · ·ml,g)¯ とするとa˜∈S(m,g)¯ が存在し

(op(a)u, v)≤ kop(˜a) Π

i∈I₁op(m_i)ukk Π

i∈I₂op(m_i)vk, kop(a)uk ≤ k Π

i∈I₁op(mi)op(˜a) Π

i∈I₂op(mi)uk

が成立する．m >0をg_ϵadmissibleでm∈S(m, g_ϵ)またa∈S(mm₁· · ·m_l, g_ϵ) とする．このとき˜a= (m1· · ·ml)⁻¹a∈S(m, gϵ)とおくと

|(op(a)u, v)| ≤ kop(˜a) Π

i∈I1

op(mi)ukk Π

i∈I2

op(mi)vk +CM⁻¹kop(m) Π

i∈I₁op(m_i)ukk Π

i∈I₂op(m_i)vk が成立する．また

kop(a)uk ≤ kop(˜a)Π^l_i=1op(m_i)uk+CM⁻¹kop(m)Π^l_i=1op(m_i)uk が成立する．

証明. 最初の2つの主張は補題5.4.2から明らかである．I₁={i₁, i₂, . . . , i_s}, I2={j1, j2, . . . , jt}としよう．補題5.4.2よりr∈S(M⁻¹m, gϵ)があってa= (mj_t#· · ·#mj₁)#(˜a+r)#(mi₁#· · ·#mi_s)と書ける．ゆえに(op(a)u, v)≤ kop(˜a+r) Π

i∈I₁op(m_i)ukk Π

i∈I₂op(m_i)vkが従う．補題5.4.2よりr= ˜r#m, ˜r∈ S(M⁻¹, gϵ)と書くと定理7.5.1よりkop(˜a+r)vk ≤ kop(˜a)vk+CM⁻¹kop(m)vk であるから結論を得る．他の主張の証明も同様である．

系 5.4.1. m >0をg_ϵ admissibleでm∈S(m, g_ϵ)とする．このときC >0 が存在し(op(m)u, u)≥(1−CM⁻¹)kop(√

m)uk²が成立する．

証明. √

mはg_ϵadmissibleで√

m∈S(√

m, g_ϵ)であるからm∈S(√ m√

m, g_ϵ) と考えて補題5.4.2を適用するとm=√

m#(1 +r)#√

m,r∈S(M⁻¹, gϵ)と 書けるから後は明らかである．

補題 5.4.4. mi > 0, i = 1, . . . , lはgϵ admissibleでmi ∈ S(mi, gϵ)とし {1, . . . , l} = I₁ ∪I₂, I₁, I₂は互いに素とする．w > 0はg¯ admissible で w∈S(w,g)¯ でさらにw#w˜ =w# ˜w= 1となるw˜ ∈S(w⁻¹,g)¯ が存在すると する．いまa∈S(m₁· · ·m_lw²,g)¯ とするとC >0が存在して

(op(a)u, v)≤Ckop(w) Π

i∈I₁op(mi)ukkop(w) Π

i∈I₂op(mi)vk

が成立する．またa∈S(m₁· · ·m_lw,¯g)とするとC >0が存在して次が成り 立つ．

kop(a)uk ≤Ck Π

i∈I1

op(mi)op(w) Π

i∈I2

op(mi)uk.

証明. I_iを補題 5.4.3の証明と同じとすると補題 5.4.2よりa˜ ∈S(w²,g)¯ が あってa= (mj_t#· · ·#mj₁)#˜a#(mi₁#· · ·#mi_s)と書ける．従って仮定の

˜

w ∈S(w⁻¹,g)¯ を用いて˜a=w#( ˜w#˜a# ˜w)#wと書けばw#˜˜ a# ˜w∈ S(1,g)¯ より結論を得る．つぎにa∈ S(m₁· · ·m_lw,g)¯ とすると補題5.4.2よりa= mi₁#· · ·#mi_s#˜a#mj₁#· · ·#mj_t, ˜a ∈ S(1,g)¯ と書けるがa˜ = (˜a# ˜w)#w と書きm_i1#· · ·#m_is#(˜a# ˜w)∈S( Π

i∈I₁m_i,¯g)に注意して再び補題5.4.2より これをˆa#mi₁#· · ·#mi_s, ˆa∈S(1,¯g)と書けばよい．

以下本書では主にw=bとしてこの補題を利用する．

補題 5.4.5. q∈S(1, G)としある定数cについてq≥cが成り立っていると する．このときC >0が存在し次が成立する．

op(q)u, u

≥(c−CM⁻¹)kuk². (5.4.39) 証明. q−cを考えることによりc= 0と仮定できる．q∈S(1, G)より|∂_x^αq| ≤ CM², |∂_ξ^βq| ≤ CM²hξi⁻γ² (|α| = |β| = 2)である．q ≥ 0より Glaeser の不等式から|α+β| = 1のとき|∂_x^α∂_ξ^βq| ≤ CMhξi^−γ1/2hξi^{(γ|α|−|β|)/2}√q ≤ CM⁻¹hξi^{(γ|α|−|β|)/2}√qが従う．ゆえにh(x, ξ) = q(x, ξ)+M⁻¹1/2

≥M^−1/2 とおくと|α+β|= 1のとき

|∂^α_x∂_ξ^βh| ≤CM⁻¹hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}

√q/h≤CM^−1/2hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}h

が成り立つ．これから出発してh²=q+M⁻¹を微分することによってつぎ を得る．

|h∂_x^α∂_ξ^βh|≲ X

0<|α^′+β^′|<|α+β|

|∂_x^α′∂_ξ^β′h||∂_x^α′′∂_ξ^β′′h|+|∂_x^α∂_ξ^βq|.

ここで|∂_x^α∂_ξ^βq|≲M^|α+β|hξi^−|γ ^α+β|/2hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}≲M^−|α+β|+1hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}h² に注意すると帰納法で

|∂_x^α∂_ξ^βh| ≤C_αβM^−|α+β|/2hξi⁽γ^{|α|−|β|)/2}h (5.4.40)

が成立することを示すのは容易である．次にhが¯gadmissibleであることを 示そう．それには補題 5.2.3の証明 (の一部)を繰り返せばよい．z = (x, ξ), w= (y, η)と書くことにすると|η|<hξiγ/2のときは有限増分の定理より

|h(z+w)−h(z)| ≤CM^−1/2g¯^1/2_z (w)≤C h(z)(1 + ¯g_z(w))^1/2 (5.4.41) が成立する．つぎに|η| ≥ hξiγ/2とすると¯g_z(w)≥ hξiγ/4 ≥M⁴/4である から

|h(z+w)| ≤C≤CM^−1/2M^1/2≤C h(z)(1 + ¯g_z(w))^1/8 (5.4.42) が成立する．ゆえにhはg¯ admissible でh ∈ S(h,¯g)である．したがって (5.4.40)と命題 7.4.1よりq+M⁻¹ =h#h+r ここでr ∈S(M⁻²h²,¯g) ⊂ S(M⁻²,g)¯ である．定理7.5.1をop(r)に適用すると

(op(q+M⁻¹)u, u) =kop(h)uk²+ (op(r)u, u)≥ −CM⁻²kuk² が得られ証明が終わる．

系 5.4.2. q∈S(1, G)とする．このときC >0 が存在し次が成り立つ．

kop(q)uk ≤ sup|q|+CM^−1/2 kuk.

証明. kop(q)uk² = (op(¯q#q)u, u)で q#q¯ = |q|²+r, r ∈ S(M²hξi⁻γ¹,¯g), M²hξi⁻γ¹≤M⁻²であるから(op(|q|²)u, u)を考えればよい．(sup|q|)²−|q|²≥ 0に補題5.4.5を適用すると

(op(|q|²)u, u)≤ (sup|q|)²+CM⁻¹)kuk²≤(sup|q|+CM^−1/2)²kuk² が得られ，これより結論が従う．

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 59-63)