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実効的双曲型特性点の幾何的特徴付け

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 43-48)

第 4 章 実効的双曲型特性点 33

4.3 実効的双曲型特性点の幾何的特徴付け

p= 0は単純根しかもたずp=(τ−p

2+q)(τ+p

2+q)と分解される.

τ±p

2+qのHamiltonベクトル場と超曲面f = 0の交わり方をみるため hHτ

±

2+q,∇fi= 1∓ {ℓ2+q, ψ}/(2p 2+q)

= 1∓ {ℓ, ψ}ℓ/p

2+q∓ {q, ψ}/(2p 2+q)

1− |{ℓ, ψ}| −{q, ψ}|/(2p 2+q)

を考える.{ψ,{ψ, q}}qHψ方向の2階微分であるからq≥0よりGleaser の不等式によれば|{ψ, q}|2≤C|{ψ,{ψ, q}}|qが得られ(4.3.9)より(0, ed)の 近傍を縮めれば右辺第3項はいくらでも小さくできる.したがって(4.3.9)よ りあるc >0があってhHτ±

2+q,∇fi≥cが従う.ゆえにτ±p

2+qの Hamiltonベクトル場(の長さを1に正規化したもの)のf = 0への極限が存

在すれば (実際に存在する)この極限は曲面f = 0と横断的であることがわ

かる.

命題4.3.1の証明: 局所座標系xの線形変換によってξ¯= (0, . . . ,0,1) =edと 仮定できる.またρ= (0,0, ed)R1+d×Rd,ρ= (0, ed)Rd×Rdと表す ことにする.補題4.2.2より06=X∈ΓImFp∩ hθiσを選ぶことができる.

(4.2.4)よりXHϕj(ρ)の1次結合でありX=Pr

j=1αjHϕj(ρ) +α0Hϕ0(ρ) と書けるがX ∈ hθiσより0 =σ(X, θ) =−α0= 0である.f

f(t, x, ξ) = Xr j=1

αjϕj(t, x, ξ)/|ξ|

で定めるとX =Hf(ρ) =σ∇f(ρ)Γより(4.2.5)に注意するとρ∂f /∂t <

0が成り立つ.したがって陰関数定理によればψ(x, ξ)が存在してf(t, x, ξ) = e(t, x, ξ)(t−ψ(x, ξ))と書ける.ここでe(ρ)<0である.(4.2.2) よりc >0 が存在して

a(t, x, ξ)≥c(t−ψ(x, ξ))2|ξ|2 (4.3.12) が成立する.Hf(ρ) =e(ρ)Htψ(ρ)Γと(4.2.3)より

1>

Xr j=1

h∇ϕj(ρ), Htψ(ρ)i2= Xr j=1

j, ψ}2(ρ)

が従う.(4.2.2)を用いて{ψ,{ψ, g}}(ρ) = 0に注意して{ψ,{ψ, a}}を計算す ると2g(ρ) =Oより

{ψ,{ψ, a}}(ρ)= 2Xr

j=1

{ψ, ϕj}2(ρ)<2 (4.3.13) が得られる.ここで次のよく知られた補題を準備しよう.

補題 4.3.1. ρ 6= 0はdxdに平行ではないとする.このときρの周り の局所座標系x= (x1, . . . , xd)を=1または =dx1+cdxd (c∈R) がρで成立するように選べる.

証明. 斉次関数に関するEulerの恒等式よりξdψ(ρ) = 0となるのでρ の 周りのTaylor展開よりψ(x, ξ) = h˜a,ξ˜i+h˜b,x˜i+bdxd+r(x, ξ)と書ける.

ここでξ˜= (ξ1, . . . , xd1), ˜x= (x1, . . . , xd1)でrρで2次で0になる.

もし˜a = 0なら仮定より˜b 6= 0なので座標系x˜の線形変換を行うとρ =dx1+bddxdとできる.もし˜a 6= 0なら座標xj, 1 ≤j ≤d−1の番 号の付け替えと伸縮でh˜a,ξ˜i=ξ1+· · ·+ξkと仮定してよい.次に座標 xd

xdPk

j=1bjx2j/2に変換するとh˜b,x˜i+bdxd=Pd

j=k+1bjxjと仮定でき,

さらに座標xdxd−x1

Pd

j=k+1bjxjに変換するとbk+1 =· · ·=bd = 0と できる.最後に座標系(x1, . . . , xk)の線形変換を行うとρ =1とな る.

命題4.3.1の証明を続ける.ρで0あるいはdxdに平行ならば = 0, q = aと選べばよい.実際,Eulerの恒等式よりξ2

da(ρ) = 0なので {ψ,{ψ, a}}(ρ) = 0が従う. 次に(ρ) 6= 0でdxd に平行ではないとす る.補題 4.3.1より =1または =dx1+cdxdと仮定できる.まず a≥0,a(ρ) = 0より∇a(ρ) = 0に注意しておく.最初にρ =1 の ときを考えよう.{ψ, a}=x1a+rと書けrρで2次で0になる.従って

x21a(ρ) = 0なら{ψ,{ψ, a}}(ρ) = 0ゆえ = 0,q=aと選べる.そうでな ければMalgrangeの準備定理(例えば [6, Theorem 7.5.5])よりρの錐近傍で

a(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)((x1−h(t, x, ξ))2+g(t, x, ξ)), x= (x2, . . . , xd) と表すことができる.ここでeρで正でh, gρで0でξに関して斉次0 次の滑らかな関数である.q

(t, x, ξ) =e1/2(t, x, ξ)(x1−h(t, x, ξ)), q(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)g(t, x, ξ) で定義しψ1(t, x, ξ) =ψ(h(t, x, ξ), x, ξ)とおく.このとき1(ρ) =1は 明らかである.a(t, h, x, ξ) =e(t, h, x, ξ)g(t, x, ξ)であるから(4.3.12)より

q(t, x, ξ)≥c(t−ψ1(t, x, ξ))2|ξ|2, c >0

が成り立つ.ρ∂ψ1/∂t= 0であるからt−ψ1(t, x, ξ)に陰関数定理を適用す るとt−ψ1(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)(t−ψ2(x, ξ))と表せる.2(ρ) =1(ρ) = 1g 0はx1によらないので2,{ψ2, q}}(ρ) = 0は容易である.し たがって(4.3.13)から{ℓ, ψ2}2(ρ)<1が従いこのψ2 が求めるものである.

=dx1+cdxd のときも同様に証明できる.{ψ, a}=−∂ξ1a−c∂ξda+rと 書く.ここでrρで2次で0になる.Eulerの恒等式によればξ2

jξda(ρ) = 0 なので2ξ1a(ρ) = 0のときは{ψ,{ψ, a}}(ρ) = 0となり = 0,q=aと選べ る.そうでなければMalgrangeの準備定理よりρの錐近傍で

a(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)((ξ1−h(t, x, ξ))2+g(t, x, ξ)), ξ= (ξ2, . . . , ξd)

と表すことができる.q

(t, x, ξ) =e1/2(t, x, ξ)(ξ1−h(t, x, ξ)), q(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)g(t, x, ξ) で定義しψ1(t, x, ξ) =ψ(x, h(t, x, ξ), ξ)とおき,Eulerの恒等式に注意しな がら=1の場合の証明を繰り返えせばよい.最後に補題4.3.1で用いた 座標変換はAを正則行列,q(x)をxの2次形式としてy=Ax+q(x)の形 をしていたのでq(x)をx= 0の小さな近傍の外側で切り落とし,外側に0で 拡張するとこの座標変換はRdの微分同相でx= 0の近傍の外では線形変換 Axとなっている.

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