実効的双曲型特性点の幾何的特徴付け

p= 0は単純根しかもたずp=−(τ−p

ℓ²+q)(τ+p

ℓ²+q)と分解される．

τ±p

ℓ²+qのHamiltonベクトル場と超曲面f = 0の交わり方をみるため hH_τ

±√

ℓ²+q,∇fi= 1∓ {ℓ²+q, ψ}/(2p ℓ²+q)

= 1∓ {ℓ, ψ}ℓ/p

ℓ²+q∓ {q, ψ}/(2p ℓ²+q)

≥1− |{ℓ, ψ}| −{q, ψ}|/(2p ℓ²+q)

を考える．{ψ,{ψ, q}}はqのH_ψ方向の2階微分であるからq≥0よりGleaser の不等式によれば|{ψ, q}|²≤C|{ψ,{ψ, q}}|qが得られ(4.3.9)より(0, ed)の 近傍を縮めれば右辺第3項はいくらでも小さくできる．したがって(4.3.9)よ りあるc >0があってhH_τ±√

ℓ²+q,∇fi≥cが従う．ゆえにτ±p

ℓ²+qの Hamiltonベクトル場(の長さを1に正規化したもの)のf = 0への極限が存

在すれば (実際に存在する)この極限は曲面f = 0と横断的であることがわ

かる．

命題4.3.1の証明: 局所座標系xの線形変換によってξ¯= (0, . . . ,0,1) =e_dと 仮定できる．またρ= (0,0, ed)∈R^1+d×R^d,ρ^′= (0, ed)∈R^d×R^dと表す ことにする．補題4.2.2より06=X∈Γ∩ImFp∩ hθi^σを選ぶことができる．

(4.2.4)よりXはHϕj(ρ)の1次結合でありX=Pr

j=1αjHϕj(ρ) +α0Hϕ0(ρ) と書けるがX ∈ hθi^σより0 =σ(X, θ) =−α0= 0である．fを

f(t, x, ξ) = Xr j=1

αjϕj(t, x, ξ)/|ξ|

で定めるとX =H_f(ρ) =σ∇f(ρ)∈Γより(4.2.5)に注意するとρで∂f /∂t <

0が成り立つ．したがって陰関数定理によればψ(x, ξ)が存在してf(t, x, ξ) = e(t, x, ξ)(t−ψ(x, ξ))と書ける．ここでe(ρ)<0である．(4.2.2) よりc >0 が存在して

a(t, x, ξ)≥c(t−ψ(x, ξ))²|ξ|² (4.3.12) が成立する．Hf(ρ) =e(ρ)Ht−ψ(ρ)∈Γと(4.2.3)より

1>

Xr j=1

h∇ϕ_j(ρ), H_t−ψ(ρ)i²= Xr j=1

{ϕ_j, ψ}²(ρ)

が従う．(4.2.2)を用いて{ψ,{ψ, g}}(ρ) = 0に注意して{ψ,{ψ, a}}を計算す ると∇²g(ρ) =Oより

{ψ,{ψ, a}}(ρ)= 2X^r

j=1

{ψ, ϕ_j}²(ρ)<2 (4.3.13) が得られる．ここで次のよく知られた補題を準備しよう．

補題 4.3.1. ρ^′でdψ 6= 0はdx_dに平行ではないとする．このときρ^′の周り の局所座標系x= (x1, . . . , xd)をdψ=dξ1またはdψ =dx1+cdxd (c∈R) がρ^′で成立するように選べる．

証明. 斉次関数に関するEulerの恒等式より∂ξ_dψ(ρ^′) = 0となるのでρ^′ の 周りのTaylor展開よりψ(x, ξ) = h˜a,ξ˜i+h˜b,x˜i+b_dx_d+r(x, ξ)と書ける．

ここでξ˜= (ξ1, . . . , xd−1), ˜x= (x1, . . . , xd−1)でrはρ^′で2次で0になる．

もし˜a = 0なら仮定より˜b 6= 0なので座標系x˜の線形変換を行うとρ^′ で dψ =dx1+bddxdとできる．もし˜a 6= 0なら座標xj, 1 ≤j ≤d−1の番 号の付け替えと伸縮でh˜a,ξ˜i=ξ1+· · ·+ξkと仮定してよい．次に座標 xd

をxd−Pk

j=1bjx²_j/2に変換するとh˜b,x˜i+bdxd=Pd

j=k+1bjxjと仮定でき，

さらに座標xdをxd−x1

Pd

j=k+1bjxjに変換するとbk+1 =· · ·=bd = 0と できる．最後に座標系(x₁, . . . , x_k)の線形変換を行うとρ^′でdψ =dξ₁とな る．

命題4.3.1の証明を続ける．dψがρ^′で0あるいはdx_dに平行ならばℓ = 0, q = aと選べばよい．実際，Eulerの恒等式より∂_ξ²

da(ρ) = 0なので {ψ,{ψ, a}}(ρ) = 0が従う． 次にdψ(ρ^′) 6= 0でdxd に平行ではないとす る．補題 4.3.1よりdψ =dξ₁またはdψ =dx₁+cdx_dと仮定できる．まず a≥0,a(ρ) = 0より∇a(ρ) = 0に注意しておく．最初にρ^′ でdψ =dξ1 の ときを考えよう．{ψ, a}=∂_x1a+rと書けrはρで2次で0になる．従って

∂_x²₁a(ρ) = 0なら{ψ,{ψ, a}}(ρ^′) = 0ゆえℓ = 0,q=aと選べる．そうでな ければMalgrangeの準備定理(例えば [6, Theorem 7.5.5])よりρの錐近傍で

a(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)((x₁−h(t, x^′, ξ))²+g(t, x^′, ξ)), x^′= (x₂, . . . , x_d) と表すことができる．ここでeはρで正でh, gはρで0でξに関して斉次0 次の滑らかな関数である．ℓとqを

ℓ(t, x, ξ) =e^1/2(t, x, ξ)(x1−h(t, x^′, ξ)), q(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)g(t, x^′, ξ) で定義しψ1(t, x^′, ξ) =ψ(h(t, x^′, ξ), x^′, ξ)とおく．このときdψ1(ρ) =dξ1は 明らかである．a(t, h, x^′, ξ) =e(t, h, x^′, ξ)g(t, x^′, ξ)であるから(4.3.12)より

q(t, x, ξ)≥c(t−ψ1(t, x^′, ξ))²|ξ|², c >0

が成り立つ．ρで∂ψ1/∂t= 0であるからt−ψ1(t, x^′, ξ)に陰関数定理を適用す るとt−ψ₁(t, x^′, ξ) =e^′(t, x^′, ξ)(t−ψ₂(x^′, ξ))と表せる．dψ₂(ρ^′) =dψ₁(ρ) = dξ1でg ≥ 0はx1によらないので{ψ2,{ψ2, q}}(ρ) = 0は容易である．し たがって(4.3.13)から{ℓ, ψ₂}²(ρ)<1が従いこのψ₂ が求めるものである．

dψ =dx1+cdxd のときも同様に証明できる．{ψ, a}=−∂ξ₁a−c∂ξ_da+rと 書く．ここでrはρで2次で0になる．Eulerの恒等式によれば∂_ξ²

jξ_da(ρ) = 0 なので∂²_ξ1a(ρ) = 0のときは{ψ,{ψ, a}}(ρ) = 0となりℓ = 0,q=aと選べ る．そうでなければMalgrangeの準備定理よりρの錐近傍で

a(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)((ξ₁−h(t, x, ξ^′))²+g(t, x, ξ^′)), ξ^′= (ξ₂, . . . , ξ_d)

と表すことができる．ℓとqを

ℓ(t, x, ξ) =e^1/2(t, x, ξ)(ξ₁−h(t, x, ξ^′)), q(t, x, ξ) =e(t, x, ξ)g(t, x, ξ^′) で定義しψ1(t, x, ξ^′) =ψ(x, h(t, x, ξ^′), ξ^′)とおき，Eulerの恒等式に注意しな がらdψ=dξ₁の場合の証明を繰り返えせばよい．最後に補題4.3.1で用いた 座標変換はAを正則行列，q(x)をxの2次形式としてy=Ax+q(x)の形 をしていたのでq(x)をx= 0の小さな近傍の外側で切り落とし，外側に0で 拡張するとこの座標変換はR^dの微分同相でx= 0の近傍の外では線形変換 Axとなっている．