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擬微分作用素の合成則

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 96-103)

第 7 章 擬微分作用素 87

7.4 擬微分作用素の合成則

この節ではgをadmissible metricでさらに(7.3.16)と(7.3.17)を満たすも のし,migadmissibleとするときai ∈S(mi, g)に対してop(a1)op(a2)の

合成則を証明する.まずa(x, ξ),b(x, ξ)∈ S(R2n)とする.op(a)op(b) = op(c) であるとしてc(x, ξ)を求めてみよう.まずop(a)op(b) = op(c)より

(2π)2n Z

ei(xy)η+i(yz)ζa((x+y)/2, η)b((y+z)/2, ζ)u(z)dzdζdydη がすべてのu∈ Sについて

(2π)n Z

ei(xz)θc((x+z)/2, θ)u(z)dzdθ に等しいのでR

ei(xz)θc((x+z)/2, θ)は (2π)n

Z

ei(xy)η+i(yz)ζa((x+y)/2, η)b((y+z)/2, ζ)dζdydη に等しい.x+z= 2˜x,z−x= 2˜z,y= ˜yとおきさらにη+ζ= 2˜η,η−ζ= 2 ˜ζ と変数変換するとR

e2i˜cx, θ)πn

Z

e2ixy) ˜˜ζ2i˜z˜ηa((˜x−z˜+ ˜y)/2˜+ ˜ζ)b((˜x+ ˜z+ ˜y)/2˜−ζ)d˜˜ ydζd˜˜ η と等しい.ところでR

e2i˜cx, θ)は(Fc)(2˜z)であるからFourierの反転 公式より

cx, θ) =π2n Z

e2ixy) ˜˜ζ2i˜z( ˜ηθ)a((˜x−˜z+ ˜y)/2˜+ ˜ζ)

×b((˜x+ ˜z+ ˜y)/2˜−ζ)d˜˜ ydζd˜˜ ηd˜z が従う.η˜→η˜+θ, ˜y→y˜+ ˜xと平行移動すると右辺は

π2n Z

e2i˜yζ˜2i˜z˜ηax+ (˜y−z)/2,˜ η˜+ ˜ζ+θ)

×bx+ (˜z+ ˜y)/2˜−ζ˜+θ)d˜ydζd˜˜ ηd˜z

に等しい.最後にη˜+ ˜ζ=η, ˜η−ζ˜=ζ, ˜y−z˜= 2y, ˜y+ ˜z= 2zと変数変換 してy˜ζ˜+ ˜z˜η=zη−yζに注意すると

cx, θ) =π2n Z

e2i()ax+y, θ+η)bx+z, θ+ζ)dydζdηdz を得る.記号を簡単にするためX = (x, ξ),Y = (y, η),Z = (z, ζ)と書くと

c(X) =π2n Z

e2(Y,Z)a(X+Y)b(X+Z)dY dZ とかける.

補題7.4.1. gをR2n上のadmissible metricで(7.3.16),(7.3.17)を満たすと する.またm1,m2g admissibleとしa∈S(m1, g),b∈S(m2, g)とする.

このとき振動積分で定義される R(X;a, b;θ) =π2n

Z

e2(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)dY dZ, |θ| ≤1 (7.4.20) はθに一様にS(m1m2, g)に属す.

証明. 証明ではΘ = (α, β) N2n, XΘ = αxξβなどと書くことにする.つ ぎに

G(X) = ϕ(X)I O O ψ(X)I

!

, In次単位行列

とおくとgX(t) =hG1(X)t, G1(X)ti,gXσ(t) =hG(X)σt, G(X)σti,t∈R2n と表せる.χ(s)∈C0(R)を0≤χ(s)1で|s| ≤1/2で1,|s| ≥2で0とし

χ(ξ, η) =χ(hηi/chξiγ), χc(ξ, η) = 1−χ(ξ, η) とおく.

補題 7.4.2. +β| ≥1のとき

ξαηβχ(ξ, η), ξαηβχc(ξ, η)≲ψ(X)−|α+β|. 証明. まず

ξαηβχ(ξ, η)≲X χ(k)(hηi/chξiγ)ξα1ηβ1(hηi/chξiγ)· · ·∂αξkηβk(hηi/chξiγ)

≲X χ(k)(hηi/chξiγ)(hηi/chξiγ)khξi−|γ α|hηi−|β|hξi−|γ α|hηi−|β| に注意する.χ(k)(hηi/chξiγ)6= 0,k≥1ならhηi ≈ hξiγ であるから(7.3.16) に注意すればよい.

次に(7.4.27)を考える.積分の前のπ2nは評価には関係ないので R(X;a, b;θ) =

Z

e2(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)dY dZ (7.4.21) とおく.1 =χ(ξ, η) +χ(ξ, ζ)χc(ξ, η) +χc(ξ, η)χc(ξ, ζ)とかいて

R(X;a, b;θ) = Z

e2(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χ(ξ, η)dY dZ +

Z

e2(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χ(ξ, ζ)χc(ξ, η)dY dZ +

Z

e2(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χc(ξ, η)χc(ξ, ζ)dY dZ= I + II + III とおく.ここでσ(Y, Z) =hσY, Ziであった.つぎに

L= 1 + 41gXσ(σDY), Φ = 1 +gXσ(Z), M = 1 + 41gX(σDZ), Ψ = 1 +gX(Y)

(7.4.22) とおくとΦNLNe2(Y,Z) = e2(Y,Z)とΨMe2(Y,Z) =e2(Y,Z) は明らか.したがってXΘIを評価するには部分積分を行なって次を評価すれ ばよい.Z

e2(Y,Z)ΦNLNΨM XΘ1a(X+θY)XΘ2b(X+Z)XΘ3χ(ξ, η) dY dZ.

(7.4.23)

ここでΣiΘi = Θである.gXσ(σDY) = hG(X)DY, G(X)DYiであるから G(X)DY を考えると任意のΘ˜ に対し(G(X)DY)Θ˜Ψ≲Ψは容易であ る.χ(ξ, η)6= 0なら(7.3.17)より|θ| ≤1に一様にgX ≈gX+θY でありm1gasmissibleよりm1(X+θY)≲m1(X)(1+gX(Y))N1であるからχ(ξ, η)6= 0 のとき

(G(X)DY)Θ˜ΘX1a(X+θY)≲m1(X)(1 +gX(Y))N1Πg1/2X (ti) も容易である.ここでΘX1= ΠXti,|ti|= 1,tiN2nである.また補題7.4.2 より

(G(X)DY)Θ˜XΘ3χ(ξ, η)≲Πg1/2X (tk), XΘ3 = ΠtXk, |tk|= 1 も明らかである.次にgX(σDZ) =hG1(X)σDZ, G1(X)σDZiに注意して G1(X)σDZを考える.任意のΘ˜ に対して

(G1(X)σDZ)Θ˜XΘ2b(X+Z)≲m2(X+Z)

ΠjgX+Z1/2 (tj)

× 1 +ϕ1(X)ψ1(X+Z) +ψ1(X)ϕ1(X+Z)|Θ˜|

m2(X+Z)

Πg1/2X+Z(tj) 1 +ψ(X)(X+Z) +ϕ(X)(X+Z)|Θ˜|

が従う.ここでϕ1(X)ψ1(X) = (supgX/gσX)1/21を使った.またXΘ2 = ΠtXj,|tj|= 1である.m2g admissibleであるからg緩増加ゆえm2(X+ Z)≲m2(X)(1 +gσX+Z(Z))N2m2(X)(1 +gσX(Z))N2 が成り立つ.同様に して

gX+Z(tj)≲gX(tj)(1 +gσX+Z(Z))N3gX(tj)(1 +gXσ(Z))N3 (7.4.24) を得る.また(7.1.7)より

ψ(X)(X+Z) +ϕ(X)(X+Z)≲(1 +gX+Zσ (Z))N4 ≲(1 +gXσ(Z))N4 が成立する.以上から

|(G1(X)σDZ)Θ˜XΘ2b(X+Z)|m2(X)(1 +gσX(Z))N5ΠgX1/2(tj) と評価される.ここでN5|Θ˜| ≤ℓにもよっている.したがって

(7.4.23)の被積分項≲(1 +gσX(Z))N+N6,ℓ)(1 +gX(Y))+N1

×(m1m2)(X) Π

ig1/2X (ti

jg1/2X (tj

kgX1/2(tk)

が成り立つ.ここでℓ−N1≥n+ 1,NN−N6, ℓ)≥n+ 1に選び Z

(1 +gσX(Z))n1(1 +gX(Y))n1dY dZ <+ (X によらない)

に注意すると

ΘXI≲(m1m2)(XgX1/2(tj) (7.4.25) と評価される.ここでも前と同様にXΘ= ΠXtj,|tj|= 1である.(7.4.22)でYZを入れ替え,また補題7.4.2と(7.1.9)から|(G1(X)σDY)Θ˜χc(ξ, η)|≲1 が任意のΘ˜ について成立することに注意して同じ議論を繰り返すことによっ てXΘIIについても(7.4.25)と同じ評価を得る.最後にXΘIIIを評価しよう.

χc(ξ, η)6= 0ならchξiγ 2hηiであるから(7.3.16)より gXσ(Y) =ψ2(X)|y|2+ϕ2(X)|η|2

hξi2γ|y|2+|η|2hηi2|y|2+|η|2≲(1 +|Y|2)2

(7.4.26) が成り立つ.χc(ξ, ζ)6= 0なら同様にgσX(Z)≲(1 +|Z|2)2である.次にL, M

L= 1 +|DY|2, Φ = (1 +|Z|2), M = 1 +|DZ|2, Ψ = (1 +|Y|2) とすると部分積分を行なって

Z

e2(Y,Z)ΦNLNΨNMN ΘX1a(X+θY)XΘ2b(X+Z)

×∂XΘ3χc(ξ, η)XΘ4χc(ξ, ζ)

dY dZ, Σ4i=1Θi= Θ

を評価することになる.任意のΘ˜ に対して|DYΘ˜ΨN|≲ΨN は明らかであ る.仮定(7.3.16)より,χc(ξ, η)6= 0のときϕ1(X+θY)≲+θηiδγhηiδ が成り立つので

DΘY˜XΘ1a(X+θY)≲m1(X+θY)

Πg1/2X+θY(ti1) hηiδ|Θ˜|

m1(X+θY)

Πg1/2X+θY(ti1) Ψδ|Θ˜|/2, ΘX1= ΠXti1

が成立する.また|DΘY˜XΘ3χc(ξ, η)| ≲Πg1/2X (ti3), ΘX3 = ΠXti3 も補題 7.4.2 から明らかである.χc(ξ, ζ)6= 0のときも同様にして

DΘZ˜XΘ2b(X+Z)≲m2(X+Z)

ΠgX+Z1/2 (ti2) Φδ|Θ˜|/2, ∂ΘX2= ΠXti2 および|DΘZ˜XΘ4χc(ξ, ζ)| ≲ Πg1/2X (ti4), XΘ4 = ΠtXi4 が成り立つ.mig admissible, gは緩増加,また|θ| ≤1なので(7.4.24)を利用すると

被積分項≲(m1m2)(X)

ΠgX1/2(ti1g1/2X (ti2gX1/2(ti3g1/2X (ti4

×(1 +gσX(θY))N1(1 +gσX(Z))N2ΨN(1δ)ΦN(1δ)

≲(m1m2)(X)

ΠgX1/2(ti) ΨN(1δ)+2N1ΦN(1δ)+2N2, ∂ΘX= ΠXti が得られる.ここで(7.4.26)を使った.NiはΘにも依存している.δ < 1 なのでNN(1−δ)2Ni > nとなるようにN を選ぶとXΘIIIについて も(7.4.25)と同じ評価が得られる.以上でR(X;a, b;θ)∈S(m1m2, g)がわか る.

定理 7.4.1. gをadmissible metricで(7.3.16),(7.3.17)を満たすとする.ま たm1,m2g admissibleとしa∈S(m1, g),b∈S(m2, g)とする.このと き振動積分で定義される

c(X) =π2n Z

e2(Y,Z)a(X+Y)b(X+Z)dY dZ (7.4.27) はS(m1m2, g)に属す.このca#bと表すと

op(a)op(b)u= op(a#b)u, ∀u∈ S

が成り立つ.h2(X) = supgX/gXσ とおくとき任意のNに対して

a#b− X

|α+β|<N

(1)|α|

(2i)|α+β|α!β!ξβxαa ∂ξαxβb∈S(hNm1m2, g) (7.4.28) である.また任意のl∈Nに対しC,lがあって

a#b(l)

S(m1m2,g)≤C|a|(lS(m) 1,g)|b|(lS(m) 2,g) (7.4.29) が成り立つ.(7.4.28)で+β| = kの和をJk(a, b)と表すとJk(a, b) = (1)kJk(b, a)であるから





a#b−b#a− {a, b}/i∈S(h3m1m2, g), a#b+b#a−2ab∈S(h2m1m2, g), a#b#a−ba2∈S(h2m2m21, g)

(7.4.30)

が成り立つ.

証明. (7.4.28)を示すにはまずa(X+Y)をテイラー展開して a(X+Y) = X

|Θ|<N

1

Θ!XΘa(X)YΘ+rN(X, Y, θ) と表す.ここでrN(X, Y, θ) =NP

|Θ|=N 1 Θ!

R1

0(1−θ)N1XΘa(X+θY)dθYΘ である. 和の部分を(7.4.21)に代入すると

X

|Θ|<N

1 Θ!

Z

e2(Y,Z)ΘXa(X)YΘb(X+Z)dY dZ

となる.ここでYΘe2(Y,Z)= (2i)−|Θ| σ∂Z

Θ

e2(Y,Z)に注意して部分積 分を行うとR

e2(Y,Z)dY =π2nδZに注意して π2n X

|Θ|<N

(1)|Θ|

(2i)|Θ|Θ!XΘa(X) σ∂X

Θ

b(X)

が得られる.rN についても代入して同じ計算をすると X

|Θ|=N

N Θ!

Z 1 0

(1−θ)N1 Z

e2(Y,Z)XΘa(X+θY)

× (σ∂X)Θb

(X+Z)dY dZ

= X

|Θ|=N

N Θ!

Z 1 0

(1−θ)N1R(X;XΘa,(σ∂X)Θb;θ)

(7.4.31)

となる.ここでXΘa(X)∈S(m1Πg1/2X (ti), g),XΘ= ΠXtjおよび(σ∂X)Θb(X) S(m2ΠgX1/2(ti), g), (σ∂X)Θ= ΠXti である.ここでσti=±ti に注意すると

g1/2X (ti)gX1/2(ti) =ϕ1(X)ψ1(X) =h(X)

であるから(7.4.31)の右辺に補題7.4.1 を適用してrN ∈S(m1m2hN, g)が 従う.

命題 7.4.1. gを(7.3.16), (7.3.17)を満たすadmissible metric,mig ad- missibleでai∈S(mi, g)とする.さらに+β|=lのときg admissible な mβi,αについてxαβξai ∈S(mβi,α, g)とする.このとき次が成立する.

a1#a2 X

|α+β|<l

(1)|α|

(2i)|α+β|α!β!ξβxαa1ξαβxa2 X

|α+β|=l

S mβ1mα2, g .

特にl= 3として次が成立する.

a1#a2−a2#a1+i{a1, a2} ∈ X

|α+β|=3

S mβ1mα2, g .

証明. 定理 7.4.1の証明でN = lとして(7.4.31)を考える.Θ = (α, β) と すると仮定よりXΘa1=αxξβa1∈S(mβ1α, g),(σ∂X)Θa2= (1)|β|ξαxβa2 S(mα2β, g)であるから補題7.4.1よりR(X;ΘXa1,(σ∂X)Θa2;θ)∈S(mβ1mα2, g) を得る.これより主張が従う.

たとえばa∈S(hξisγ,g¯0),b ∈S(m,¯g)とするときhξisγは¯g admissibleで

xαβξa∈S(hξisγ−|β|,g¯0)⊂S(hξisγ−|β|,¯g)であるからxβξαb∈S(mhξi(γ|β|−|α|)/2,g)¯ より

a#b− X

|α+β|<l

(1)|α|

(2i)|α+β|α!β!ξβαxa ∂ξαβxb∈S(hξisγl/2m,g)¯ (7.4.32) である.

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