擬微分作用素の合成則

この節ではgをadmissible metricでさらに(7.3.16)と(7.3.17)を満たすも のし,m_iをgadmissibleとするときa_i ∈S(m_i, g)に対してop(a₁)op(a₂)の

合成則を証明する．まずa(x, ξ),b(x, ξ)∈ S(R²ⁿ)とする．op(a)op(b) = op(c) であるとしてc(x, ξ)を求めてみよう．まずop(a)op(b) = op(c)より

(2π)⁻²ⁿ Z

e^{i(x−y)η+i(y−z)ζ}a((x+y)/2, η)b((y+z)/2, ζ)u(z)dzdζdydη がすべてのu∈ Sについて

(2π)⁻ⁿ Z

e^i(x−z)θc((x+z)/2, θ)u(z)dzdθ に等しいのでR

e^i(x−z)θc((x+z)/2, θ)dθは (2π)⁻ⁿ

Z

e^{i(x−y)η+i(y−z)ζ}a((x+y)/2, η)b((y+z)/2, ζ)dζdydη に等しい．x+z= 2˜x,z−x= 2˜z,y= ˜yとおきさらにη+ζ= 2˜η,η−ζ= 2 ˜ζ と変数変換するとR

e^−2i˜zθc(˜x, θ)dθは π⁻ⁿ

Z

e^{2i(˜x−y) ˜˜ζ−2i˜z˜η}a((˜x−z˜+ ˜y)/2,η˜+ ˜ζ)b((˜x+ ˜z+ ˜y)/2,η˜−ζ)d˜˜ ydζd˜˜ η と等しい．ところでR

e^−2i˜zθc(˜x, θ)dθは(Fc)(2˜z)であるからFourierの反転 公式より

c(˜x, θ) =π⁻²ⁿ Z

e^{2i(˜x−y) ˜˜ζ−2i˜z( ˜η−θ)}a((˜x−˜z+ ˜y)/2,η˜+ ˜ζ)

×b((˜x+ ˜z+ ˜y)/2,η˜−ζ)d˜˜ ydζd˜˜ ηd˜z が従う．η˜→η˜+θ, ˜y→y˜+ ˜xと平行移動すると右辺は

π⁻²ⁿ Z

e^{−2i˜yζ˜−2i˜z˜η}a(˜x+ (˜y−z)/2,˜ η˜+ ˜ζ+θ)

×b(˜x+ (˜z+ ˜y)/2,η˜−ζ˜+θ)d˜ydζd˜˜ ηd˜z

に等しい．最後にη˜+ ˜ζ=η, ˜η−ζ˜=ζ, ˜y−z˜= 2y, ˜y+ ˜z= 2zと変数変換 してy˜ζ˜+ ˜z˜η=zη−yζに注意すると

c(˜x, θ) =π⁻²ⁿ Z

e^{−2i(zη−yζ)}a(˜x+y, θ+η)b(˜x+z, θ+ζ)dydζdηdz を得る．記号を簡単にするためX = (x, ξ),Y = (y, η),Z = (z, ζ)と書くと

c(X) =π⁻²ⁿ Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+Y)b(X+Z)dY dZ とかける．

補題7.4.1. gをR²ⁿ上のadmissible metricで(7.3.16),(7.3.17)を満たすと する．またm1,m2をg admissibleとしa∈S(m1, g),b∈S(m2, g)とする．

このとき振動積分で定義される R(X;a, b;θ) =π⁻²ⁿ

Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)dY dZ, |θ| ≤1 (7.4.20) はθに一様にS(m1m2, g)に属す．

証明. 証明ではΘ = (α, β) ∈ N²ⁿ, ∂_X^Θ = ∂^α_x∂_ξ^βなどと書くことにする．つ ぎに

G(X) = ϕ(X)I O O ψ(X)I

!

, Iはn次単位行列

とおくとgX(t) =hG⁻¹(X)t, G⁻¹(X)ti,g_X^σ(t) =hG(X)σt, G(X)σti,t∈R²ⁿ と表せる．χ(s)∈C₀^∞(R)を0≤χ(s)≤1で|s| ≤1/2で1，|s| ≥2で0とし

χ(ξ, η) =χ(hηi/chξiγ), χ^c(ξ, η) = 1−χ(ξ, η) とおく．

補題 7.4.2. |α+β| ≥1のとき

∂_ξ^α∂_η^βχ(ξ, η), ∂_ξ^α∂_η^βχ^c(ξ, η)≲ψ(X)^−|α+β|. 証明. まず

∂_ξ^α∂_η^βχ(ξ, η)≲X χ^(k)(hηi/chξiγ)∂_ξ^α1∂_η^β1(hηi/chξiγ)· · ·∂^α_ξ^k∂_η^βk(hηi/chξiγ)

≲X χ^(k)(hηi/chξiγ)(hηi/chξiγ)^khξi^−|γ ^α|hηi^−|β|≲hξi^−|γ ^α|hηi^−|β| に注意する．χ^(k)(hηi/chξiγ)6= 0,k≥1ならhηi ≈ hξiγ であるから(7.3.16) に注意すればよい．

次に(7.4.27)を考える．積分の前のπ⁻²ⁿは評価には関係ないので R(X;a, b;θ) =

Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)dY dZ (7.4.21) とおく．1 =χ(ξ, η) +χ(ξ, ζ)χ^c(ξ, η) +χ^c(ξ, η)χ^c(ξ, ζ)とかいて

R(X;a, b;θ) = Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χ(ξ, η)dY dZ +

Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χ(ξ, ζ)χ^c(ξ, η)dY dZ +

Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+θY)b(X+Z)χ^c(ξ, η)χ^c(ξ, ζ)dY dZ= I + II + III とおく．ここでσ(Y, Z) =hσY, Ziであった．つぎに

L= 1 + 4⁻¹g_X^σ(σD_Y), Φ = 1 +g_X^σ(Z), M = 1 + 4⁻¹gX(σDZ), Ψ = 1 +gX(Y)

(7.4.22) とおくとΦ^−NL^Ne^−2iσ(Y,Z) = e^−2iσ(Y,Z)とΨ^−ℓM^ℓe^−2iσ(Y,Z) =e^−2iσ(Y,Z) は明らか．したがって∂_X^ΘIを評価するには部分積分を行なって次を評価すれ ばよい．Z

e^−2iσ(Y,Z)Φ^−NL^NΨ^−ℓM^ℓ ∂_X^Θ1a(X+θY)∂_X^Θ2b(X+Z)∂_X^Θ3χ(ξ, η) dY dZ.

(7.4.23)

ここでΣiΘi = Θである．g_X^σ(σDY) = hG(X)DY, G(X)DYiであるから G(X)D_Y を考えると任意のΘ˜ に対し(G(X)D_Y)^Θ˜Ψ^−ℓ≲Ψ^−ℓは容易であ る．χ(ξ, η)6= 0なら(7.3.17)より|θ| ≤1に一様にgX ≈gX+θY でありm1は gasmissibleよりm₁(X+θY)≲m₁(X)(1+g_X(Y))^N1であるからχ(ξ, η)6= 0 のとき

(G(X)DY)^Θ˜∂^Θ_X¹a(X+θY)≲m1(X)(1 +gX(Y))^N1Πg^1/2_X (ti) も容易である．ここで∂^Θ_X¹= Π∂_X^ti,|ti|= 1,ti∈N²ⁿである．また補題7.4.2 より

(G(X)D_Y)^Θ˜∂_X^Θ3χ(ξ, η)≲Πg^1/2_X (t_k), ∂_X^Θ3 = Π∂^t_X^k, |t_k|= 1 も明らかである．次にg_X(σD_Z) =hG⁻¹(X)σD_Z, G⁻¹(X)σD_Ziに注意して G⁻¹(X)σDZを考える．任意のΘ˜ に対して

(G⁻¹(X)σDZ)^Θ˜∂_X^Θ2b(X+Z)≲m2(X+Z)

Πjg_X+Z^1/2 (tj)

× 1 +ϕ⁻¹(X)ψ⁻¹(X+Z) +ψ⁻¹(X)ϕ⁻¹(X+Z)_|Θ^˜|

≲m2(X+Z)

Πg^1/2_X+Z(tj) 1 +ψ(X)/ψ(X+Z) +ϕ(X)/ϕ(X+Z)_|Θ^˜|

が従う．ここでϕ⁻¹(X)ψ⁻¹(X) = (supgX/g^σ_X)^1/2≤1を使った．また∂_X^Θ2 = Π∂^t_X^j,|t_j|= 1である．m₂はg admissibleであるからg緩増加ゆえm₂(X+ Z)≲m2(X)(1 +g^σ_X+Z(Z))^N2 ≲m2(X)(1 +g^σ_X(Z))^N2′ が成り立つ．同様に して

gX+Z(tj)≲gX(tj)(1 +g^σ_X+Z(Z))^N3 ≲gX(tj)(1 +g_X^σ(Z))^N3′ (7.4.24) を得る．また(7.1.7)より

ψ(X)/ψ(X+Z) +ϕ(X)/ϕ(X+Z)≲(1 +g_X+Z^σ (Z))^N4 ≲(1 +g_X^σ(Z))^N4′ が成立する．以上から

|(G⁻¹(X)σD_Z)^Θ˜∂_X^Θ2b(X+Z)|≲m₂(X)(1 +g^σ_X(Z))^N5Πg_X^1/2(t_j) と評価される．ここでN₅は|Θ˜| ≤ℓにもよっている．したがって

(7.4.23)の被積分項≲(1 +g^σ_X(Z))^{−N+N6(Θ,ℓ)}(1 +g_X(Y))^−ℓ+N1

×(m₁m₂)(X) Π

ig^1/2_X (t_i)Π

jg^1/2_X (t_j)Π

kg_X^1/2(t_k)

が成り立つ．ここでℓをℓ−N1≥n+ 1,NをN−N6(Θ, ℓ)≥n+ 1に選び Z

(1 +g^σ_X(Z))⁻ⁿ⁻¹(1 +g_X(Y))⁻ⁿ⁻¹dY dZ <+∞ (X によらない)

に注意すると

∂^Θ_XI≲(m₁m₂)(X)Πg_X^1/2(t_j) (7.4.25) と評価される．ここでも前と同様に∂_X^Θ= Π∂_X^tj,|tj|= 1である．(7.4.22)でY とZを入れ替え，また補題7.4.2と(7.1.9)から|(G⁻¹(X)σD_Y)^Θ˜χ^c(ξ, η)|≲1 が任意のΘ˜ について成立することに注意して同じ議論を繰り返すことによっ て∂_X^ΘIIについても(7.4.25)と同じ評価を得る．最後に∂_X^ΘIIIを評価しよう．

χ^c(ξ, η)6= 0ならchξiγ ≤2hηiであるから(7.3.16)より g_X^σ(Y) =ψ²(X)|y|²+ϕ²(X)|η|²

≲hξi²γ|y|²+|η|²≲hηi²|y|²+|η|²≲(1 +|Y|²)²

(7.4.26) が成り立つ．χ^c(ξ, ζ)6= 0なら同様にg^σ_X(Z)≲(1 +|Z|²)²である．次にL, M を

L= 1 +|DY|², Φ = (1 +|Z|²), M = 1 +|DZ|², Ψ = (1 +|Y|²) とすると部分積分を行なって

Z

e^−2iσ(Y,Z)Φ^−NL^NΨ^−NM^N ∂^Θ_X¹a(X+θY)∂_X^Θ2b(X+Z)

×∂_X^Θ3χ^c(ξ, η)∂_X^Θ4χ^c(ξ, ζ)

dY dZ, Σ⁴_i=1Θi= Θ

を評価することになる．任意のΘ˜ に対して|D_Y^Θ˜Ψ^−N|≲Ψ^−N は明らかであ る．仮定(7.3.16)より，χ^c(ξ, η)6= 0のときϕ⁻¹(X+θY)≲hξ+θηi^δγ ≲hηi^δ が成り立つので

D^Θ_Y^˜∂_X^Θ1a(X+θY)≲m₁(X+θY)

Πg^1/2_X+θY(t_i1) hηi^δ|Θ˜|

≲m1(X+θY)

Πg^1/2_X+θY(ti₁) Ψ^δ|Θ˜|/2, ∂^Θ_X¹= Π∂_X^ti1

が成立する．また|D^Θ_Y^˜∂_X^Θ3χ^c(ξ, η)| ≲Πg^1/2_X (ti₃), ∂^Θ_X³ = Π∂_X^ti3 も補題 7.4.2 から明らかである．χ^c(ξ, ζ)6= 0のときも同様にして

D^Θ_Z^˜∂_X^Θ2b(X+Z)≲m2(X+Z)

Πg_X+Z^1/2 (ti₂) Φ^δ|Θ˜|/2, ∂^Θ_X²= Π∂_X^ti2 および|D^Θ_Z^˜∂_X^Θ4χ^c(ξ, ζ)| ≲ Πg^1/2_X (ti₄), ∂_X^Θ4 = Π∂^t_Xⁱ⁴ が成り立つ．m_i はg admissible, gは緩増加,また|θ| ≤1なので(7.4.24)を利用すると

被積分項≲(m1m2)(X)

Πg_X^1/2(ti₁)Πg^1/2_X (ti₂)Πg_X^1/2(ti₃)Πg^1/2_X (ti₄

×(1 +g^σ_X(θY))^N1(1 +g^σ_X(Z))^N2Ψ^−N(1−δ)Φ^−N(1−δ)

≲(m1m2)(X)

Πg_X^1/2(ti) Ψ^{−N(1−δ)+2N1}Φ^{−N(1−δ)+2N2}, ∂^Θ_X= Π∂_X^ti が得られる．ここで(7.4.26)を使った．N_iはΘにも依存している．δ < 1 なのでNをN(1−δ)−2N_i > nとなるようにN を選ぶと∂_X^ΘIIIについて も(7.4.25)と同じ評価が得られる．以上でR(X;a, b;θ)∈S(m1m2, g)がわか る．

定理 7.4.1. gをadmissible metricで(7.3.16),(7.3.17)を満たすとする．ま たm₁,m₂をg admissibleとしa∈S(m₁, g),b∈S(m₂, g)とする．このと き振動積分で定義される

c(X) =π⁻²ⁿ Z

e^−2iσ(Y,Z)a(X+Y)b(X+Z)dY dZ (7.4.27) はS(m₁m₂, g)に属す．このcをa#bと表すと

op(a)op(b)u= op(a#b)u, ∀u∈ S

が成り立つ．h²(X) = supgX/g_X^σ とおくとき任意のNに対して

a#b− X

|α+β|<N

(−1)^|α|

(2i)^|α+β|α!β!∂_ξ^β∂_x^αa ∂_ξ^α∂_x^βb∈S(h^Nm1m2, g) (7.4.28) である．また任意のl∈Nに対しC,l^′があって

a#b^(l)

S(m₁m₂,g)≤C|a|^(l_S(m^′) _1,g)|b|^(l_S(m^′) _2,g) (7.4.29) が成り立つ．(7.4.28)で|α+β| = kの和をJ_k(a, b)と表すとJ_k(a, b) = (−1)^kJk(b, a)であるから







a#b−b#a− {a, b}/i∈S(h³m1m2, g), a#b+b#a−2ab∈S(h²m1m2, g), a#b#a−ba²∈S(h²m₂m²₁, g)

(7.4.30)

が成り立つ．

証明. (7.4.28)を示すにはまずa(X+Y)をテイラー展開して a(X+Y) = X

|Θ|<N

1

Θ!∂_X^Θa(X)Y^Θ+r_N(X, Y, θ) と表す．ここでrN(X, Y, θ) =NP

|Θ|=N 1 Θ!

R1

0(1−θ)^N−1∂_X^Θa(X+θY)dθY^Θ である. 和の部分を(7.4.21)に代入すると

X

|Θ|<N

1 Θ!

Z

e^−2iσ(Y,Z)∂^Θ_Xa(X)Y^Θb(X+Z)dY dZ

となる．ここでY^Θe^−2iσ(Y,Z)= (2i)^−|Θ| σ∂Z

Θ

e^−2iσ(Y,Z)に注意して部分積 分を行うとR

e^−2iσ(Y,Z)dY =π²ⁿδ_Zに注意して π²ⁿ X

|Θ|<N

(−1)^|Θ|

(2i)^|Θ|Θ!∂_X^Θa(X) σ∂X

Θ

b(X)

が得られる．r_N についても代入して同じ計算をすると X

|Θ|=N

N Θ!

Z 1 0

(1−θ)^N−1dθ Z

e^−2iσ(Y,Z)∂_X^Θa(X+θY)

× (σ∂_X)^Θb

(X+Z)dY dZ

= X

|Θ|=N

N Θ!

Z 1 0

(1−θ)^N−1R(X;∂_X^Θa,(σ∂X)^Θb;θ)dθ

(7.4.31)

となる．ここで∂_X^Θa(X)∈S(m₁Πg^1/2_X (t_i), g),∂_X^Θ= Π∂_X^tjおよび(σ∂_X)^Θb(X)∈ S(m2Πg_X^1/2(t^∗_i), g), (σ∂X)^Θ= Π∂_X^t∗i である．ここでσti=±t^∗_i に注意すると

g^1/2_X (ti)g_X^1/2(t^∗_i) =ϕ⁻¹(X)ψ⁻¹(X) =h(X)

であるから(7.4.31)の右辺に補題7.4.1 を適用してr_N ∈S(m₁m₂h^N, g)が 従う．

命題 7.4.1. gを(7.3.16), (7.3.17)を満たすadmissible metric,m_iをg ad- missibleでai∈S(mi, g)とする．さらに|α+β|=lのときg admissible な m^β_i,αについて∂_x^α∂^β_ξai ∈S(m^β_i,α, g)とする．このとき次が成立する．

a₁#a₂− X

|α+β|<l

(−1)^|α|

(2i)^|α+β|α!β!∂_ξ^β∂_x^αa₁∂_ξ^α∂^β_xa₂∈ X

|α+β|=l

S m^β_1,αm^α_2,β, g .

特にl= 3として次が成立する．

a₁#a₂−a₂#a₁+i{a₁, a₂} ∈ X

|α+β|=3

S m^β_1,αm^α_2,β, g .

証明. 定理 7.4.1の証明でN = lとして(7.4.31)を考える．Θ = (α, β) と すると仮定より∂_X^Θa1=∂^α_x∂_ξ^βa1∈S(m^β_1α, g)，(σ∂X)^Θa2= (−1)^|β|∂_ξ^α∂_x^βa2∈ S(m^α_2β, g)であるから補題7.4.1よりR(X;∂^Θ_Xa1,(σ∂X)^Θa2;θ)∈S(m^β_1,αm^α_2,β, g) を得る．これより主張が従う．

たとえばa∈S(hξi^sγ,g¯₀),b ∈S(m,¯g)とするときhξi^sγは¯g admissibleで

∂_x^α∂^β_ξa∈S(hξi^sγ^−|β|,g¯₀)⊂S(hξi^sγ^−|β|,¯g)であるから∂_x^β∂_ξ^αb∈S(mhξi⁽γ^{|β|−|α|)/2},g)¯ より

a#b− X

|α+β|<l

(−1)^|α|

(2i)^|α+β|α!β!∂_ξ^β∂^α_xa ∂_ξ^α∂^β_xb∈S(hξi^sγ^−l/2m,g)¯ (7.4.32) である．

ドキュメント内 実効的双曲型作用素の初期値問題 (ページ 96-103)